第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线、平面位置关系，系统梳理空间中点的位置向量、直线的向量表示式、平面的法向量等基础概念，递进讲解线线、线面、面面平行与垂直的向量判定方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料特色在于融入《九章算术》中鳖臑、阳马等古代数学模型设计例题，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过例题与变式分层训练发展逻辑推理的数学思维，课后提升练涵盖选择、填空、解答题，助力学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【人教A版】 模块二 空间中点、直线和平面的向量表示 【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 模块三 空间中直线、平面的平行 【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【变式2-1】（2026高二·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【变式2-3】（25-26高二上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：. 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【变式3-3】（25-26高二上·广东江门·期中）长方体中，．点为中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【变式4-3】（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 模块四 空间中直线、平面的垂直 【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【变式5-3】（25-26高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求的长. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【变式6-2】（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式6-3】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【变式7-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【变式7-3】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【题型8 空间中线、面位置关系的探索性问题】 【例8】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【变式8-1】（25-26高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式8-2】（25-26高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 3．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 4．（25-26高二上·广东·阶段检测）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）在正方体中，、分别棱，的中点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．面 D．面 6．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 7．（25-26高二上·湖北荆门·阶段检测）如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（   ）    A． B． C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 8．（25-26高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列命题正确的有（    ） A．，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在七面体中，六边形是边长为2的正六边形，四边形是矩形，，则（   ） A．四边形是矩形 B．该七面体的体积为10 C．平面平面 D．该七面体外接球的体积为 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 13．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为___________.    14．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界）， 平面，则点的轨迹的长度为_________. 四、解答题 15．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 16．（25-26高二上·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 17．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 18．（25-26高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【人教A版】 模块二 空间中点、直线和平面的向量表示 【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【解答过程】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【解答过程】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【解答过程】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 模块三 空间中直线、平面的平行 【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【解题思路】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【解答过程】证明： 证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．   【变式2-1】（2026高二·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【解答过程】证明：因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，， 则有，所以. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【解答过程】证明：如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【变式2-3】（25-26高二上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 【解答过程】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故 ； （2）证明： 故， 因此，故. 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【解答过程】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0, ,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C. 【变式3-1】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【解答过程】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 故选：A. 【变式3-2】（2026·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可； （2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可. 【解答过程】（1）证明：如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系． 设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心, 因为，所以， ， 设平面法向量为， ， ， 则， 可得， 所以,,不在平面内， 所以平面；    （2）因为，所以， 因为平面,所以， 因为,平面，平面， 所以平面， . 【变式3-3】（25-26高二上·广东江门·期中）长方体中，．点为中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用线面垂直的性质定理及判断定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意写出相应点的坐标，求出及平面的法向量的坐标，由，即可证明平面. 【解答过程】（1）证明：因为是长方体， 所以平面，而平面， 所以， 又因为，所以侧面是正方形， 因此， 因为平面， 所以平面； （2）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有， 解得， 因为， 而平面，所以有平面. 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，． 由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【解答过程】证明：（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面； （3）证法一 ：∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面， ∴平面平面， 证法二 ：设平面的法向量为 则，即，∴， 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直； （2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行； 【解答过程】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）证明：因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 【变式4-3】（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，P为线段的中点 【解题思路】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 模块四 空间中直线、平面的垂直 【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【解答过程】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【解答过程】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，，则与不垂直，故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直，故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则，则与不垂直，故D错误. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. 【解答过程】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）证明：由（1）易得， 因， 故. 【变式5-3】（25-26高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点. (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合，即可证得； （2）由（1）知，结合向量模的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为四棱锥的底面为直角梯形， ，，且底面，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，且为的中点， 可得，则， 所以， 又因为，所以，即. （2）由（1）知：，可得， 所以的长为. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【解答过程】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解题思路】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【解答过程】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【解答过程】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）证明：因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 【变式6-3】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)最大值为， 【解题思路】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可； （2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可. 【解答过程】（1）证明：以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）证明：设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【变式7-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【解答过程】（1）证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）证明：由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【变式7-3】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【解答过程】（1）证明：依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）证明：设平面的一个法向量为，， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【题型8 空间中线、面位置关系的探索性问题】 【例8】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在 【解题思路】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【解答过程】（1）证明：在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 【变式8-1】（25-26高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【解题思路】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【解答过程】（1）证明：取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， ； （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，    ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 【变式8-2】（25-26高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【解题思路】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【解答过程】（1）证明：∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面. （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵面面，面面， ， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令， 则， 假设存在点使得面， 设，， 又，，，，， 有∴， ∵面，为的法向量， ∴，即，得， 综上，存在点，即当时，点即为所求. 【变式8-3】（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【解题思路】（1）根据题意，先由线面垂直的判定定理得到平面，从而得到面面垂直； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后结合法向量与空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）证明：在中，因， 所以，所以，又， 且，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）假设存在点，使得平面平面. 取中点为，连接，则， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面. 如图所示建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，则， 设是平面的法向量，则，取. 设，其中. 则 连接，因 平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量. 设是平面的法向量， 则，取. 由平面平面，知，有，解得. 故在侧棱上存在点，使得平面平面. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【解答过程】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解题思路】利用向量的数量积得到，故，从而得到结论. 【解答过程】，， ， 是直线的方向向量， 的位置关系是垂直. 故选：A. 3．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】利用向量的数量积求解. 【解答过程】向量是直线l的一个方向向量， 向量是平面的一个法向量，， ， ，解得. 故选：D. 4．（25-26高二上·广东·阶段检测）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【解答过程】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）在正方体中，、分别棱，的中点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．面 D．面 【答案】B 【解题思路】建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量共线的基本定理可得A错误；由向量的数量积为零可得B正确，C错误；求出面的法向量，由与不垂直可得D错误. 【解答过程】 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2， 对于A，， 则， 若，则，无解，故A错误； 对于B，，， 则，所以，即，故B正确； 对于C，，，， 则，所以与不垂直，因为平面，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D，，， 设面的法向量为， 则，取，则， 所以，即与不垂直，所以与平面不平行，故D错误； 故选：B. 6．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法A；由计算两条直线的方向向量的数量积判断说法B；利用向量数量积验证垂直关系判断说法C；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法D. 【解答过程】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系，    设正方体的棱长为， 则。 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 若，解得， 则时，，又平面，平面， 即为中点时，平面，故A正确. ，， 故对任意的点都有，故B正确. ， 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点，使得平面，故C错误. ， ， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确. 故选：C. 7．（25-26高二上·湖北荆门·阶段检测）如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（   ）    A． B． C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【解题思路】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【解答过程】由已知AD为等腰直角的斜边BC上的高，即， 则为的中点， 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面，又平面， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以，    可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 8．（25-26高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断. 【解答过程】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列命题正确的有（    ） A．，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】由线线位置关系可判断AB，设平面的法向量分别为：，通过向量法可判断CD. 【解答过程】对于A，根据平行的传递性，若，则，故A正确； 对于B，若，则可能，也可能与平行，异面或相交但不垂直，故B错误； 设平面的法向量分别为：， 因为，所以， 所以，则，故C正确； 设平面的法向量分别为：， 因为， 所以， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 10．（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【解题思路】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在七面体中，六边形是边长为2的正六边形，四边形是矩形，，则（   ） A．四边形是矩形 B．该七面体的体积为10 C．平面平面 D．该七面体外接球的体积为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，由是正六边形和是矩形得四边形是平行四边形，再通过证明平面，得到，从而得到A正确； 对于B，连接，将七面体可分成三棱锥，三棱锥，三棱柱三部分，计算这三部分的体积之和即可判断B； 对于C，连接，与交于点，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过数量积计算得即可判断C； 对于D，记该七面体外接球的半径为，该七面体外接球球心到平面的距离为，通过列方程，解得，再求球的体积计算即可判断D. 【解答过程】对于A，连接，因为六边形是正六边形，四边形是矩形，所以，，所以四边形是平行四边形. 因为，所以平面，所以，所以，所以四边形是矩形，A正确. 对于B，连接，该七面体可分成三棱锥，三棱锥，三棱柱三部分，且三棱锥和三棱锥的体积相等.三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，所以该七面体的体积为，故B错误. 对于C，连接，与交于点，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，.设平面的法向量为， 则取. 设平面的法向量为， 则取. ，所以平面平面，故C正确. 对于D，记该七面体外接球的半径为，该七面体外接球球心到平面的距离为，则，解得，所以该七面体外接球的体积为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【解题思路】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【解答过程】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 13．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为___________.    【答案】 【解题思路】建系后分别求出，的坐标，设，即得的坐标，利用平面推得，建立的方程组，求解即得. 【解答过程】如图建系，因正方体的棱长为4，则， 由点在上，且，可得 由点在上，且，可得，则. 又点是平面上一点，故可设，则， 因平面，而平面，故， 即得，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界）， 平面，则点的轨迹的长度为_________. 【答案】 【解题思路】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【解答过程】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，即可得解； （2）根据直线的方向向量与平面的法向量的定义，进行求解即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．（25-26高二上·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【解答过程】（1）证明：因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. （2）证明：由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 17．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. 【解答过程】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 18．（25-26高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【解题思路】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【解答过程】（1）证明：  取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【解答过程】（1）证明：设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面； （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $