3.3.1抛物线及其标准方程教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年级

高二年级

学科

数学

教师

课题

3.3.1　抛物线及其标准方程（人教A版选择性必修第一册　第三章　圆锥曲线的方程）

教学目标

数学抽象

通过观察篮球入筐、喷泉水流以及“中国天眼”（FAST）抛物面反射面等真实情境，抽象出“动点到定点与到定直线距离相等”的轨迹特征，概括形成抛物线的定义，发展数学抽象素养。

逻辑推理

类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，经历“建系—设点—列式—化简”的完整推导，获得抛物线的一种标准方程，并类比推演其余三种形式，发展逻辑推理素养。

数学运算

能由标准方程准确写出焦点坐标与准线方程，能由焦点、准线或抛物线上一点的条件求标准方程，运算程序规范、结果准确，发展数学运算素养。

直观想象

能借助图形判断四种标准方程对应的开口方向与焦点位置，建立“方程特征—图形特征”的对应关系，发展直观想象素养。

教学重难点

1.教学重点：抛物线的定义；抛物线的标准方程，以及由标准方程求焦点坐标、准线方程。

2.教学难点：抛物线标准方程的推导；四种标准方程与焦点位置、开口方向的对应关系；p的几何意义。

3.突破策略：借助信息技术动态演示与动手画图实验，让学生在运动变化中体会定义的本质；通过表格对比四种标准方程，归纳“先定位、后定量”的判断规律。

教学过程

教师活动

学生活动

【环节一：情境导入】

教师：先看两组画面——运动员投出的篮球划过一道弧线落入网袋；广场喷泉喷出的水柱在空中划出优美的曲线落回池中。再看一个大国重器：我国自主建成的500米口径球面射电望远镜“中国天眼”（FAST），其反射面的轴截面就是一条抛物线，它能把遥远的宇宙电波汇聚到焦点处的接收器上。

问题1：这些曲线的形状有什么共同特征？能否像研究椭圆、双曲线那样，用坐标法给出精确定义并求出方程？

教师板书课题“3.3.1　抛物线及其标准方程”。

设计意图：以生活轨迹与“中国天眼”的真实科技素材引入，让学生直观感知抛物线，体会数学与生产生活的联系，引发用坐标法精确刻画曲线的认知需求。

观察情境图片，直观感受抛物线形状；尝试用语言描述曲线的共同特征，发现仅凭直观难以精确刻画，明确本节课的学习任务。

【环节二：探究抛物线的定义】

探究活动：在几何画板中取一条定直线l和直线外一定点F，拖动动点M，使M到点F的距离始终等于M到直线l的距离，跟踪点M的轨迹（如图1）。

观察动态演示；用直尺当作定直线、将细绳一端固定在定点处，笔

追问1：满足“|MF|=|MH|（其中H为M到直线l的垂足）”的点M的轨迹是一条什么曲线？

追问2：若定点F恰好落在定直线l上，满足条件的点M的轨迹还是抛物线吗？

归纳定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

图1　抛物线的定义

设计意图：让学生经历“观察—猜想—概括”的定义生成过程；通过追问2的辨析，突出定义中“l不经过F”这一易漏条件，培养思维的严谨性。

学生预设：对于追问2，部分学生误认为轨迹仍是抛物线，教师引导画图验证——此时轨迹是过点F且垂直于l的一条直线。

尖拉紧绳子移动，亲手画出曲线；尝试用自己的语言概括定义，并辨析“F在l上”的特殊情形。

【环节三：推导抛物线的标准方程】

问题2：类比椭圆、双曲线标准方程的研究路径，怎样求这条曲线的方程？

引导建系：如图1，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，垂足为K，以线段KF的中点O为原点建立平面直角坐标系。设|KF|=p（p>0），则焦点F的坐标为，准线l的方程为。

设M(x,y)是抛物线上任意一点，H为M向准线l所作垂线的垂足。由定义|MF|=|MH|，得。将上式两边平方，整理得，这就是抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上、开口向右的抛物线，其中p的几何意义是焦点到准线的距离。

问题3：抛物线的焦点还可以在哪些位置？对应的标准方程分别是什么？教师引导学生类比填表：

类比椭圆、双曲线的方法独立完成建系与推导，一名学生板演，其余学生补充订正；类比填写四种形式的对比表并同桌互查；独立完成例1、例2的演算，同桌交换批改。