第10讲 直线的交点坐标与距离公式（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的交点坐标与距离公式”核心知识点，系统梳理直线交点与方程组解的关系、直线系方程，以及两点间、点到直线、平行直线间的距离公式。作为解析几何基础，前承直线方程，后续衔接圆与圆锥曲线，构建完整知识支架。 资料亮点在于题型分层设计，例题与变式题结合，覆盖基础应用到综合探究。如“三线围成三角形求参数范围”培养数学思维的推理能力，“距离最值问题”通过数形结合发展数学眼光的几何直观。课中辅助教师分层教学，课后提升练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版】 模块二 直线的交点坐标 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立方程求解即可. 【解答过程】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 【变式1-1】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【解答过程】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解二元一次方程组即得交点坐标. 【解答过程】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（25-26高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【解答过程】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【解答过程】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)先联立和的方程，解出交点，用交点和求斜率，最后用点斜式得方程后整理为. (2)根据垂直关系，由斜率得的斜率为，点斜式得方程后整理为. 【解答过程】（1）首先求直线和的交点，联立方程：， 解得，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. （2）直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得： ，化为一般式为. 【变式2-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线与直线相交于点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【解题思路】（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. 【解答过程】（1）由得所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． （2）当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【解答过程】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由方程组，解得， 即两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【解答过程】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 【变式4-3】（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【解答过程】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 模块三 距离公式 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【解题思路】由两点间距离公式即可求解. 【解答过程】由两点间距离公式可得. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【解答过程】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数____________． 【答案】8或 【解题思路】根据两点间的距离公式即可得． 【解答过程】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 【变式5-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为____________. 【答案】 【解题思路】应用两点间距离公式计算求参. 【解答过程】因为、、三点，且， 则 则. 故答案为：. 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【解答过程】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 【变式6-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两直线垂直斜率乘积为得到直线斜率，然后写出直线方程，联立方程即可解得点的坐标； （2）由点所在直线方程设出点坐标，然后写出中点坐标，代入中点所在直线方程，求得点坐标，结合（1）中直线方程，用点到直线距离公式即可求得结果. 【解答过程】（1）由题意可知直线，即， 直线，则， ∴，则直线，即， 联立方程组得，解得， 即得. （2）点在直线上，设点， 则中点在直线上， 则，解得，即， ∴由（1）可得点到直线的距离.    【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（25-26高二上·吉林·阶段检测）若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由两条直线平行求得直线的方程，再由平行线的距离公式可得. 【解答过程】由两条直线与平行， 所以，即，解得. 所以直线，即. 再由两条平行直线的距离公式得：. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【解题思路】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知直线与直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离. 【答案】(1)0或7 (2) 【解题思路】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可. （2）先利用直线平行求出，然后代入平行直线距离公式求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，直线与的斜率分别为：， 若，则， 即，解得：或， 故实数的值为0或7； （2）由（1）知直线与的斜率分别为：， 若，则，即，解得：， 此时，直线的方程为，直线的方程为， 将两直线方程分别化为和， ∴直线与之间的距离. 【变式7-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线． (1)若，求与交点的坐标； (2)若，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将代入两条直线，再联立两条直线方程即可得解； （2）根据平行关系先求出的值，然后根据平行线间的距离公式求解出与间的距离. 【解答过程】（1）若，则，联立，， 解得，即与交点的坐标为. （2）若，则，整理得，解得或. 当时，（即），， 则与之间的距离； 当时，（即），（即），此时重合，不满足题意，故舍去. 综上所述，与之间的距离. 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【解题思路】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【解答过程】表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·宁夏·阶段检测）求点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【解题思路】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果. 【解答过程】因为直线的方程为，所以直线过定点，    所以直线表示过定点的斜率存在的直线， 如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【解答过程】因为， 所以求的最小值可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 【变式8-3】（25-26高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解两直线构成的方程组即可. 【解答过程】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B. 2．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解题思路】利用两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 3．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【解答过程】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知两条平行直线，，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将直线方程变形为，根据两平行直线间的距离公式即可求解. 【解答过程】直线可变形为， 则根据两平行直线间的距离公式可知直线与间的距离为：. 故选：B. 6．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【解答过程】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B. 7．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【解答过程】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选：B． 8．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 二、多选题 9．（25-26高二上·吉林·期中）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【解答过程】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以 ， 解得或， 即所求直线方程为或， 故选：AC． 10．（26-27高二上·河南新乡·开学考试）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【解答过程】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 11．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知直线，则下列表述正确的是（     ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D．原点到直线的距离最大值为2 【答案】ABC 【解题思路】对于A，依据斜率求出倾斜角；对于B，将直线的方程化为即可；对于C，根据平行关系求出，再利用两条平行直线间的距离公式即可；对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大，求两点间距离即可. 【解答过程】对于A，当时，直线，则直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线，当时，， 故直线恒过点，故B正确； 对于C，当直线与直线平行时，有，得， 此时直线， 则两条直线的距离为，故C正确； 对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大， 最大值为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）两条直线与的交点到直线的距离为___________. 【答案】 【解题思路】求出直线的交点坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【解答过程】由，解得，则直线交于点， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 13．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 【答案】 【解题思路】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【解答过程】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为：. 14．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为___________． 【答案】 【解题思路】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【解答过程】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线 与直线交于点． (1)求过点P且平行于直线的直线的方程； (2)求过点P且垂直于直线的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解方程组得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果. （2）设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果. 【解答过程】（1）由，得，则点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 则，解得， 所以直线的方程是. （2）设过点且垂直于直线的直线方程为， 则，解得， 则直线的方程是. 16．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线经过点． (1)若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据题目设的方程为，将点代入求出，即可得到直线方程. （2）根据两直线平行设方程为，将点代入求出，即可得到直线方程， 利用平行线间的距离公式即可求出与之间的距离. 【解答过程】（1）由直线不过原点，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为. （2）因为直线与平行， 所以设直线方程为， 又直线经过点，所以，所以， 所以直线的方程为 与之间的距离为. 17．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知直线的方程为. (1)求直线过定点的坐标； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1) (2)时，到直线的距离最大，最大距离是. 【解题思路】（1）化简直线为，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，得到当与直线垂直时，点到直线的距离最大，列出方程，求得的值，得到直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【解答过程】（1）直线的方程可化为， 联立方程组，解得， 所以直线过定点的坐标为. （2）当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，解得，即的方程为， 则点到直线的最大距离为， 故当时，到直线的距离最大，最大距离是. 18．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. 【解答过程】（1）联立直线方程得解得：，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【解答过程】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版】 模块二 直线的交点坐标 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（25-26高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【变式2-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线与直线相交于点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式4-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【变式4-3】（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 模块三 距离公式 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【变式5-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【变式5-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数____________． 【变式5-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为____________. 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【变式6-2】（25-26高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【变式6-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（25-26高二上·吉林·阶段检测）若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【变式7-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知直线与直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离. 【变式7-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线． (1)若，求与交点的坐标； (2)若，求与之间的距离． 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【变式8-1】（25-26高二上·宁夏·阶段检测）求点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【变式8-2】（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-3】（25-26高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 3．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026高三·全国·专题练习）已知两条平行直线，，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·吉林·期中）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·河南新乡·开学考试）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 11．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知直线，则下列表述正确的是（     ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D．原点到直线的距离最大值为2 三、填空题 12．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）两条直线与的交点到直线的距离为___________. 13．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 14．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为___________． 四、解答题 15．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线 与直线交于点． (1)求过点P且平行于直线的直线的方程； (2)求过点P且垂直于直线的直线的方程. 16．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线经过点． (1)若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 17．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知直线的方程为. (1)求直线过定点的坐标； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 18．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $