专题07 勾股定理：面积・弦图・折叠・网格综合（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册
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内容正文：
专题07 勾股定理：面积・弦图・折叠・网格综合
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一：以直角三角形三边为边长的图形面积
题型二：勾股定理的证明方法
题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和/差
题型四：勾股定理与无理数
题型五：以弦图为背景的计算题
题型六：勾股定理与折叠问题
题型七：勾股定理与网格问题
题型八、勾股定理及其逆定理解决面积问题
题型九、勾股定理及其逆定理的综合运用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
勾股定理及其逆定理是初中几何由长度通向面积的核心工具，所有题型均围绕三边平方关系、图形面积转化、模型构造、逆定理判定四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须在直角三角形中才能用勾股定理，二是用逆定理前须先按边长排序、确定最长边。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一：以直角三角形三边为边长的图形面积
题型模版
1.特征：以直角三角形的三条边分别作正方形、半圆或正三角形，已知其中几个图形的面积，求另一个图形的面积。
2.方法：抓住“两直角边上图形面积之和等于斜边上图形面积”，因为这三个图形彼此相似、面积与边长平方成正比；先把条件统一成边长或平方关系，再按结论直接求差或求和。
【例1】如图，分别以的三边为直径向外作半圆，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，，即可求出，，，再根据，求出，，在中，根据勾股定理得，即可得．
【详解】解：如图，
设，，，则：
，，，
∵，，
∴，，
∴，，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴．
【例2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：依题意，由勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
解得，
由图形可知，阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为．
【变式1-1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形的边长8，则正方形，，，的面积之和为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根据勾股定理推出正方形，，，的面积之和即为正方形A的面积，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，由勾股定理可知F的面积等于B的面积加上C的面积，G的面积等于D的面积加上E的面积，A的面积等于F的面积加上G的面积，
∴正方形，，，的面积之和即为正方形A的面积，
∵正方形A的边长为8，
∴正方形，，，的面积之和为64．
【变式1-2】如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形，正方形的面积分别为，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求得的长度，然后结合图形得到：阴影部分的面积正方形的面积直角三角形的面积．
【详解】解：∵以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形，正方形的面积分别为，，
∴，，，
∴，，，
∴，
即阴影部分的面积为．
【变式1-3】如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B作交于点，则_________．
【答案】
【分析】利用正方形和三角形的面积运算出和的长，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长，再利用勾股定理列式运算即可．
【详解】解：∵以为边的正方形的面积为9，
∴，
∵以为斜边的等腰直角三角形的面积为4，
∴等腰直角三角形的腰长为，
∴，
在中，，
则，
∵，
∴，
解得，
由勾股定理得：．
题型二：勾股定理的证明方法
题型模版
1.特征：给出弦图、赵爽弦图或拼图图形，要求借助面积关系证明勾股定理，或判断某一种证明思路是否成立。
2.方法：用“整体面积等于各部分面积之和”列等式，同一个大图形用两种方法计算面积，化简后即得三边平方关系；注意正方形边长与拼补位置的对应，书写时交代每一步的面积依据。
【例3】同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦
(1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边_________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，试说明；
【答案】(1)
(2)解：∵两个相同的直角三角形边、在一条直线上，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
，
∴．
【详解】（1）解：根据勾股定理得，
∵直角边，直角边，
∴，
解得（负值舍去），
∴斜边；
（2）略
【例4】图1是一个直角边长为a和b，斜边长为c的直角三角形，图2是一个以c为直角边的等腰直角三角形．
(1)尺规作图：作出一个与图1全等的△EFG；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)用图1，图2和（1）中的△EFG可拼成一个直角梯形，请你在图2上画出拼成的这个直角梯形的示意图，并用它证明勾股定理．
【答案】(1)解：如图，即为所求，
；
(2)解：如图，
证明：根据梯形的面积公式可知，
梯形的面积，
从图中我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，
即，
∴，
∴.
【分析】（1）作射线，并截取，过作，截取，连接即可；
（2）由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积和三角形的面积公式列出等式，即可推出勾股定理.
【详解】（1）略
（2）略
【变式2-1】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（ ）
A．拼接前后图形的总面积保持不变
B．拼接后大正方形的边长为
C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形
D．该剪拼过程可直观验证勾股定理
【答案】C
【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案．
【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意；
B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积，
∴拼接后的大正方形的面积为，
∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意；
C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意；
D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c，
∴，即，原说法正确，不符合题意；
【变式2-2】现用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．中，，，，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：
(2)如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
【答案】(1)解∶由题意，大正方形面积为，面积为，小正方形面积为，
，
∴；
(2)23
【详解】（1）略
（2）解：由题意，，，
由（1）知：，
∴，
∴
∴
．
【变式2-3】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题：
(1)填空：___，___；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【答案】(1)，
(2)，，证明如下：
，
，
．
【分析】（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质求出，再根据求解即可；
（2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：方法一∶ ，
方法二： ，
证明略．
题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和/差
题型模版
1.特征：要求求两条线段的平方和、平方差的值，而这两条线段不在同一个直角三角形中，常与等腰、垂直、中点条件组合出现。
2.方法：分别把目标线段放进直角三角形，用勾股定理写出它的平方表达式；再把两式相加或相减，让公共边、相等线段相互抵消，最后把结果化为常数或已知的边长关系。
【例5】如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴的值不变．
故选：D．
【例6】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______．
【答案】50
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点F，
∵和都是等腰直角三角形，，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故答案为：50．
【变式3-1】如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【答案】C
【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可．
【详解】解：取斜边中点，
∵是等腰直角三角形，
则，且，
设，则，
在中，由勾股定理：，
则，
即：，
故．
【变式3-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
【变式3-3】如图，在四边形中，于点，，，边，的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：；
(2)求四边形的周长．
【答案】(1)
，
，
由勾股定理得，，
，．
，
．
．
(2)
【分析】（1）因为，所以四个小三角形均为直角三角形，可利用勾股定理分别表示、、、，通过等式变形完成第（1）问的证明．
（2）结合第（1）问的结论，代入已知的、长度，计算的数值．因为、是给定一元二次方程的两个实数根，所以可利用韦达定理得到与关于的表达式，再结合完全平方公式，联立的数值求解．得到的值后，确定的长度，再结合已知的、长度，计算四边形的周长．
【详解】（1）略．
（2）解：由（1）知，，
，的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，
，．
．
，解得或（舍去）．
．
∴四边形的周长为．
题型四：勾股定理与无理数
题型模版
1.特征：计算结果是含根号的数，或要求在数轴上作出表示某个无理数长度的线段，以及比较两个无理数的大小。
2.方法：把无理数写成两条直角边的平方和，先在数轴上构造对应长度的线段，再以原点为圆心截取；比较大小可先把两数平方再比较；作图与计算都要先保证有直角，再谈长度。
、【例7】如图，在数轴上点表示的实数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解．
【详解】解：设原点表示的点为，如图，
由图可得：，
∵，
∴点表示的实数是．
【例8】如图所示，已知，以点O为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A．
(1)写出数轴上点A所表示的数为________；
(2)比较大小：点A所表示的数________．（填写“”或“”）；
(3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)
(3)如图，点表示的数为．
【分析】（1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可；
（2）先求出，，根据，得出即可；
（3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点．
【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：，
由作图可知，
∴点所表示的数为；
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴点A所表示的数；
（3）解：∵，，，
∴，
∴，画图略．
【变式4-1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，分别确定，，，；，进一步归纳即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵记右侧最近的整数点为，
∴点表示的数为2，
∴，
则表示的数为，
∵，
∴，
∴，
表示的数为，
，
则表示的数为，
∵，
∴，
表示的数为，
则
同理可得；，
综上：当为正奇数时，，
∴.
【变式4-2】如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出的长，根据，求出即可解答．
【详解】解：
根据题意可知，，
，
在直角三角形中，，
根据勾股定理可得，
，
，
，
点在数轴负半轴，
点表示的数是，
即．
【变式4-3】如图，在数轴上，点、分别表示和，，．
(1)数轴上点表示的数为__________，点表示的数为__________；
(2)若点表示的数为，点表示的数为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理可得，再根据数轴上实数的位置解答；
（2）先确定，再代入求值即可．
【详解】（1）解：根据勾股定理，得，则．
所以点A表示的数是点B表示的数是；
（2）解：根据题意，得，
所以．
题型五：以弦图为背景的计算题
题型模版
1.特征：以赵爽弦图、拼正方形图为背景，给出小正方形或直角三角形的边长、面积条件，求某个线段的长度或某块图形的面积。
2.方法：先认清弦图中大正方形、小正方形与四个全等直角三角形的对应关系，用“大正方形面积等于四块三角形面积加小正方形面积”建等式；设一条直角边为未知数，其余边用勾股关系表示，再解方程。
【例9】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质及勾股定理，可以得到正方形的边长为，在中，运用勾股定理可得．
【详解】解：如图，
在中，用勾股定理可得到，
由题意可知，四个直角三角形全等，
∴，，
同理，可得，
∴在中，应用勾股定理得到：
．
【例10】我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为__________．
【答案】
30
【分析】设正方形左侧直角三角形的水平直角边长为x，根据题意和图形特征，表示出大直角三角形的三边长，利用勾股定理建立方程求出x，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：设正方形左侧部分的水平直角边长为x，
由题意及图形可知，大直角三角形的竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为，
，，
∴竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为，
根据勾股定理，得，
解得，
∴水平直角边长，
∴勾股形的面积．
【变式5-1】如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，、（）表示直角三角形的两直角边，若大正方形面积为100，，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．小正方形的面积为56
【答案】D
【分析】根据大正方形面积为100可判断A错误；把的两边平方可判断B错误；根据可判断C错误；根据小正方形的边长为可判断D正确．
【详解】解：∵大正方形面积为100，、（）表示直角三角形的两直角边，
∴，故A错误；
∵，
，
，
，故B错误；
∵，
，故C错误；
∵小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，故D正确．
【变式5-2】如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，则有和，进一步得到和，则有，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，
∴，，
∵为的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，．
【变式5-3】数学活动课上，学习小组开展实践活动
【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理．
(1)已知：在中，，，，．求证：．
证明：由图可知．
______，______，______，
，化简得．
(2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：．
(3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】(1)；；
(2)证明：由题意，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
(3)
【分析】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题；
（2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解；
（3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设 ，故，又在中,由列式计算得解.
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为,
，
设则，
在中, ，
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．
题型六：勾股定理与折叠问题
题型模版
1.特征：把三角形或矩形沿某条直线折叠，折痕两侧的图形能够重合，求折叠后某条线段的长、某块图形的面积或折痕的位置。
2.方法：抓住折叠即全等，把相等的线段标注到图上，将所求线段放入某个直角三角形；设未知数，用原边长减去折叠部分的长度表示斜边，再用勾股定理列方程求解并检验。
【例11】如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点，交边于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解．
【详解】解：∵正方形边长为，是中点，
∴
设，则，由折叠性质得．
在中，由勾股定理：，
即，
解得．
∴，，
∴．
【例12】在长方形中，，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F．将沿直线翻折到，延长与直线交于点M．
(1)求证：；
(2)当时，求出的长；
(3)在点E的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长．
【答案】(1)证明：由题意得，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴；
(2)或21
(3)存在是以为腰的等腰三角形，的长为或或或
【分析】（1）利用长方形对边平行得角相等，结合翻折的角相等，推导等腰三角形得线段相等；
（2）分在上方、下方两种情况，结合（）的结论，用勾股定理构造方程求解；
（3）分、两种情况，每种情况再分点在上方、下方，共种情况，结合翻折性质与勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：情况：点在下方时，如图，
由题意得，，，，
设，则，，
由（1）得．
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴；
情况：点在上方时，如图，
设，则，，
由（1）得，
在中，，由勾股定理得，
即
解得，
∴；
综上所述，，的长为或21；
（3）解：①当时，
由折叠的性质可得，．
情况：点在下方，如图，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
情况：点在上方，如图，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
由折叠的性质得，．
情况：点在下方，如图，
设，则，．
由（）得，
在中，，即，
解得，
∴，
又∵，
∴；
情况：点在上方时，如图，
设，则，．
由（）得，
，
∴；
综上所述，存在是以为腰的等腰三角形，的长为或或或．
【变式6-1】如图，在中，，，．点是边上一个动点，点是边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，当时，的长为________．
【答案】或
【分析】用勾股定理求出，设，借同高三角形的面积比把、用表示；由折叠的等长关系与判定点、、共线，再按点在点的上方与下方两种情形，分别在直角三角形中用勾股定理列方程求解．
【详解】解：∵．
∴．
∵点是的中点．
∴．
设)，把点翻折后的对应点记为点．
由折叠可知．
连接，过点作于点．
∵与同高，底分别为、．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∵在直角三角形中，．
∴．
∴．
∵．
∴．
∵，且、都过点．
∴点、、在同一条直线上．
①当点在点上方时(如图)，点在点与点之间．
∴．
∵在直角三角形中，．
∴．
整理得．
∴或(不合题意，舍去)．
②当点在点下方并越过点时(如图)，点在点与点之间．
∴．
由勾股定理得．
∴．
整理得．
∴或(不合题意，舍去)．
综上所述，的长为或．
【变式6-2】如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】由等边对等角得到，然后由折叠的性质得到，，求出，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：∵
∴
由折叠得，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【变式6-3】在综合与实践课上，老师和同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展数学探究．
在长方形中，，，为边上一点，将沿翻折，使点落在点处．
(1)如图1，若点落在边上，则的长度为__________；
(2)如图2，若点与点重合，交于点，求的长；
(3)如图3，若点落在对角线上，为边上一点，将沿翻折，使点落在上的点处，连接，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，，根据勾股定理求出结论；
（2）先证明，设，则，根据勾股定理列方程求解即可；
（3）求出，由折叠知，，，设，则，根据勾股定理列方程求出，进而求出面积．
【详解】（1）解：∵在长方形中，，，
∴，
由折叠知，，
∴是等腰直角三角形，
，
∴；
（2）解：∵在长方形中，，，
∴，
∴，
由折叠知，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴；
（3）解：∵在长方形中，，，
∴，
∴，
由折叠知，，，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
∴的面积．
题型七：勾股定理与网格问题
题型模版
1.特征：在正方形网格中给出线段、三角形或图形的位置，要求求线段长、判断两线是否垂直或是否为直角三角形、计算图形面积。
2.方法：以格点为顶点构造直角三角形，横向、纵向的格数分别作为两条直角边；用勾股定理算线段长，用逆定理判断垂直与直角；求不规则图形面积时先补成矩形，再减去多出的部分。
【例13】如图，在的方格中，，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】利用勾股定理结合等腰三角形有两条边相等的定义逐个判断，最后统计出等腰三角形的总个数即可．
【详解】解：如图，设小方格边长为1，
在中，，故是等腰三角形，
在中，，故是等腰三角形，
在中，，，，故不是等腰三角形，
在中，，故是等腰三角形，
综上所述，所作三角形是等腰三角形的有3个．
【例14】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点，，的坐标分别为，，，．
(1)__________°；
(2)若要满足，则__________（填“>”，“<”或“=”），如果点恰好为整点，直接写出点的坐标（写出两个即可）．
【答案】(1)
(2)，点的坐标为，（答案不唯一）
【分析】（1）利用格点构造，推出，进而即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得，若要满足，则，利用格点构造线段的垂直平分线，即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，选取格点D，E，构造和，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
（2）解：若要满足，则，
如图，利用格点得到的中点，则，
又，
是的垂直平分线，
，，，
，
又为整点，
即为满足条件的点，
同理，直线上的整点均为满足条件的点，
结合图形可知，点的坐标可以为，．
【变式7-1】如图，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
(1)请在图1中画出．
(2)请在图2中确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等．
【答案】(1)解：如图，即为所求；
(2)解：如图，点即为所求；
【分析】（1）取格点，连接，，结合网格特点可得，，，可得；
（2）由网格特点取格点，可得平分，取格点，由网格特点可得是线段的垂直平分线，与的交点即为所求.
【详解】（1）略
（2）略
【变式7-2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找格点，按下列要求作图：
(1)在图①中，连结、，使．
(2)在图②中，连结、、，使．
(3)在图③中，在内部找格点，连结、，使．
【答案】(1)如图，点为所求作；
(2)如图，点为所求作；
(3)如图，点为所求作；
【分析】（1），即可求解；
（2），，，则有，所以是等腰直角三角形，对于格点，，因为，所以，所以的中点是，故；
（3）取格点，，所以，，所以，，所以．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
（3）解：略．
【变式7-3】如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．每个小正方形的边长为1．点，，都是格点，点是网格线上的一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示，每问的画线不超过四条．
(1)在图（1）中，先画的中点，连接，并在的延长线上画点，使；
(2)在图（2）中，先在线段上画点，使得，再在线段上画点，使．
【答案】(1)如图，点、点为所求，
(2)如图，即为所求，
【分析】（1）先利用格线平分的性质，画出的中点O，再连接并延长交第6条格子竖线于点，为关于点的对称点，连接即可；
（2）取点，连接并延长交于点，取点，连接交于点，利用勾股定理和三角形内角和进行转化即可说明．
【详解】（1）略
（2）解：连接，
根据勾股定理可得，，
，
为等腰直角三角形，
，即；
取点可得为等腰直角三角形，
，
,
∴．
图略．
题型八、勾股定理及其逆定理解决面积问题
题型模版
1.特征：以面积为核心，求四边形、三角形或阴影部分的面积，已知若干边长与垂直关系，需要先确定直角再求高或底。
2.方法：先由边长关系用逆定理判定直角三角形，再把不规则图形分割或补形成可求面积的直角三角形与矩形；确定高线后按面积公式计算，分割时注意公共边不重复计算。
【例15】如图，在中，，以为边在的上方作，点C在的内部，已知，，，，求阴影部分的面积．
【答案】
【分析】先根据的两条直角边长，用勾股定理计算斜边的长度，结合、的长度，用勾股定理的逆定理判断的形状，确定其内角是否为直角，因为阴影部分面积等于的面积减去的面积，所以分别计算两个三角形的面积后作差即可．
【详解】在中，，
根据勾股定理： ，
因此．
已知，，
，
满足，
是直角三角形，且，
，
，
．
【例16】一块试验田的形状如图所示，，，，，，
(1)判断的形状
(2)求这块试验田的面积．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】（1）根据题中的已知条件，运用勾股定理的逆定理可证为直角三角形；
（2）代入三角形的面积公式可将两个直角三角形的面积求解出来，两个直角三角形的面积和即为此块试验田的面积．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
又∵，
即，
∴为直角三角形．
（2）解：，
，
∴这块试验田的面积．
【变式8-1】如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案．
【详解】（1）解：在中，，，．
．
（2）解：在中，，，，
，．
．
．
．
【变式8-2】如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】
【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，（舍负）
∵，
∴，
∴
∴
∴四边形的面积．
【变式8-3】如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
(1)求的度数．
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，由可证，可得，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，即可求解；
（2）作，交延长线于点H，利用的外角得出边上的高，利用面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵等边，
∴．
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，
∴是等边三角形．
∴；
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴是直角三角形，．
∴．
（2）作，交延长线于点H，
∵，
∴边上的高就是，
∴．
题型九、勾股定理及其逆定理的综合运用
题型模版
1.特征：两个定理交替使用，并结合等腰、垂直平分线、最短路径等条件，要求证明线段关系，或求线段长度与最值。
2.方法：先用逆定理从边长关系定出直角，再把目标线段放入直角三角形用勾股定理求解；遇最短路径时展开平面、化折线为直线，用两点之间线段最短配合勾股定理算出长度。
【例17】如图，在中，，点在边上，，，．求的长．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理先判断是直角三角形，再设，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】解：在中，，
，
是直角三角形，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，即．
【例18】如图，在四边形中，，且．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数；
（2）根据即可求出结果．
【详解】（1）解：如下图所示，连接，
，，
，
在中，，
在中，
，
，
，
；
（2）解：
．
【变式9-1】如图，四边形，，，，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中利用勾股定理求出即可作答；
（2）过点D作，交的延长线于点E，利用勾股定理的逆定理证明是直角，再利用“”证明，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，
，
；
（2）过点D作，交的延长线于点E，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
【变式9-2】 如图，在四边形中，，，，且．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数；
（2）根据即可求出结果．
【详解】（1）解：如下图所示，连接，
，，
，
在中，，
在中，
，
，
，
；
（2）解：
．
【变式9-3】如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)判断是否为直角，并说明理由；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)15
(2)解：是直角，理由如下．
由（1）得，已知，．
，
．
，
根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，且．
(3)114
【分析】（1）在中，已知两条直角边，直接利用勾股定理求出斜边长度．
（2）算出之后，在中，计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，以此判断是不是直角．
（3）四边形的面积拆成与两个三角形面积之和，分别算出两个三角形面积再相加．
【详解】（1）解：，，，
在中，由勾股定理得：
，
．
（2）略
（3）解：，
，
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为______．
【答案】
【分析】根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值．
【详解】解：∵，
，
故，，
，
，
．
2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_________．
【答案】
【分析】连接，根据勾股定理得到，，得到，代入数值即可求出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴在中，，在中，，
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴，，．
∴，
∴，
∵，，
∴
3．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为___________．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解： ∵四边形是长方形，
∴，，
∵折叠，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得，
∴的长为．
4．在北京召开的第24届国际数学家大会会标（图1）以“赵爽弦图”为原型设计，图2是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，是的中点，连接，则的长为_____．
【答案】
【分析】设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，可得，，，求解，，如图，连接，过作于，利用直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，
根据题意得，，，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
如图，连接，过作于，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．如图，在中，，以的三边为边分别向外画一个正方形，连接、，则与的面积之和等于___________．
【答案】48
【分析】先证明是直角三角形，作于点，求得，作交的延长线于点，证明，求得，作交的延长线于点，求得，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
作于点，
∵，
∴，
作交的延长线于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
作交的延长线于点，
同理，，
∴与的面积之和等于．
6．如图，点是等边三角形内的一点，且，若将绕点逆时针旋转后得到．
（1）求的度数为___________
（2）的面积=___________
【答案】 /150度 /
【分析】（1）连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解；
（2）过点作交延长线于点，过点B作于点，则，根据角直角三角形的性质以及勾股定理求出，那么，由勾股定理求出，求由勾股定理得到，最后由面积公式求解．
【详解】解：（1）连接，如图，
∵绕点A逆时针旋转后，得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴；
（2）过点作交延长线于点，过点B作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，含角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________．
【答案】60
【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
．
故答案为：60．
8．如图，，．
(1)与垂直吗？
(2)请利用这个图形验证勾股定理．
【答案】(1)垂直
(2)
解：如下图所示，连接、，
设，，，
，
，，，
则，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据全等三角形的性质可证，，根据直角三角形的两个锐角互余可证，等量代换可证，根据三角形内角和定理可得，从而可证结论成立；
（2）把梯形的面积用不同的方法表示出来，根据面积相等验证勾股定理．
【详解】（1）解：
证明：，
，，
，
，
，
，
；
（2）略
9．海洋上有一座近似于四边形的岛屿，其平面图如图甲所示．小明将该岛抽象为数学模型——四边形(如图乙)．已知，千米，千米，千米，千米，求四边形的面积．
【答案】平方千米
【分析】连接，把四边形分成两个三角形：先用勾股定理算出，再用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，两个三角形的面积相加即可．
【详解】解：连接．
∵千米，千米，
∴(千米)．
∵在中，千米，千米，千米，最长，
∴，
∴是直角三角形，且为斜边，即．
∴(平方千米)，
∴(平方千米)，
∴四边形的面积(平方千米)．
10．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题：
(1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数．
(2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)
(2)如图，点即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案．
（2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点．
【详解】（1）解：∵点表示的数是，
∴，
∵，，
∴，
∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，
∴，
∴点表示的数为．
（2）解：∵，，，
∴，
∴点即为所求．
11．如图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成的．连接，，若，．
(1)求线段的长度；
(2)判断是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不是直角三角形，理由如下：
中，，
．
在中，，
．
又由（1）知，
．
，即，
不是直角三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，再根据勾股定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理求出，，由（1）知，继而推导出，即可解答．
【详解】（1）解：四个直角三角形全等，且，
，
，
在中，由勾股定理得：
；
（2）略
12．如图，在中，，．将分别沿直线，折叠，使点，都与点重合．若，求的长．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和算出，由折叠性质得到，，，，推出，设，用总长表示，再在中列勾股方程求解．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得，，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，即．
13．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)
，
证明如下：过B作，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可；
（2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）略
14．如图，在中，，，，，，
(1)求的面积；
(2)求中边上的高的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案；
（2）利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：如图，过作于，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴中边上的高的长度为．
15．如图，四边形，，，，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，，，利用勾股定理求出；
（2）如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
16．综合与实践
在数学活动课上，王老师准备了几张大小相同的长方形纸条，让同学们进行折纸活动，并对折纸过程中所蕴含的数学知识展开了实践探究．如图，在长方形纸条中，，．
(1)如图1，若为上一点，将沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上．求和的长．
(2)如图2，若为上一点，将沿折叠，使点落在长方形内点处，连接，且．
①求的长；
②如图3，若点在线段上运动，点在线段上运动，连接，．直接写出的最小值．
【答案】(1)的长为，的长为5
(2)①的长为4；②
【分析】（1）由折叠的性质可知，，根据勾股定理求出的长，设，则，，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）①由折叠的性质可知，，．证明，得到，，三点共线．设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；②在上取，使，连接，可证明垂直平分，得到，则当H、M、N三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，
由题意得，，．
在中，由勾股定理得，
．
设，则，．
在中，由勾股定理得，即，
解得．
．
（2）①解：由折叠的性质可知，，．
在中，，，，
，即，
．
，
，即，，三点共线．
设，则，．
在上，，
．
在中，由勾股定理得：，即，
解得．
．
②解：在上取，使，连接，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当H、M、N三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，
由勾股定理，
三角形的面积：，
∴，
∴，即最小值等于．
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专题07 勾股定理：面积・弦图・折叠・网格综合
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一：以直角三角形三边为边长的图形面积
题型二：勾股定理的证明方法
题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和/差
题型四：勾股定理与无理数
题型五：以弦图为背景的计算题
题型六：勾股定理与折叠问题
题型七：勾股定理与网格问题
题型八、勾股定理及其逆定理解决面积问题
题型九、勾股定理及其逆定理的综合运用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
勾股定理及其逆定理是初中几何由长度通向面积的核心工具，所有题型均围绕三边平方关系、图形面积转化、模型构造、逆定理判定四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须在直角三角形中才能用勾股定理，二是用逆定理前须先按边长排序、确定最长边。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一：以直角三角形三边为边长的图形面积
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1.特征：以直角三角形的三条边分别作正方形、半圆或正三角形，已知其中几个图形的面积，求另一个图形的面积。
2.方法：抓住“两直角边上图形面积之和等于斜边上图形面积”，因为这三个图形彼此相似、面积与边长平方成正比；先把条件统一成边长或平方关系，再按结论直接求差或求和。
【例1】如图，分别以的三边为直径向外作半圆，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为______．
【变式1-1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形的边长8，则正方形，，，的面积之和为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．64
【变式1-2】如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形，正方形的面积分别为，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B作交于点，则_________．
题型二：勾股定理的证明方法
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1.特征：给出弦图、赵爽弦图或拼图图形，要求借助面积关系证明勾股定理，或判断某一种证明思路是否成立。
2.方法：用“整体面积等于各部分面积之和”列等式，同一个大图形用两种方法计算面积，化简后即得三边平方关系；注意正方形边长与拼补位置的对应，书写时交代每一步的面积依据。
【例3】同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦
(1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边_________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，试说明；
【例4】图1是一个直角边长为a和b，斜边长为c的直角三角形，图2是一个以c为直角边的等腰直角三角形．
(1)尺规作图：作出一个与图1全等的△EFG；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)用图1，图2和（1）中的△EFG可拼成一个直角梯形，请你在图2上画出拼成的这个直角梯形的示意图，并用它证明勾股定理．
【变式2-1】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（ ）
A．拼接前后图形的总面积保持不变
B．拼接后大正方形的边长为
C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形
D．该剪拼过程可直观验证勾股定理
【变式2-2】现用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．中，，，，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：
(2)如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
【变式2-3】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题：
(1)填空：___，___；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和/差
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1.特征：要求求两条线段的平方和、平方差的值，而这两条线段不在同一个直角三角形中，常与等腰、垂直、中点条件组合出现。
2.方法：分别把目标线段放进直角三角形，用勾股定理写出它的平方表达式；再把两式相加或相减，让公共边、相等线段相互抵消，最后把结果化为常数或已知的边长关系。
【例5】如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______．
【变式3-1】如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【变式3-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________．
【变式3-3】如图，在四边形中，于点，，，边，的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：；
(2)求四边形的周长．
题型四：勾股定理与无理数
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1.特征：计算结果是含根号的数，或要求在数轴上作出表示某个无理数长度的线段，以及比较两个无理数的大小。
2.方法：把无理数写成两条直角边的平方和，先在数轴上构造对应长度的线段，再以原点为圆心截取；比较大小可先把两数平方再比较；作图与计算都要先保证有直角，再谈长度。
【例7】如图，在数轴上点表示的实数是（ ）
A．3 B． C． D．
【例8】如图所示，已知，以点O为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A．
(1)写出数轴上点A所表示的数为________；
(2)比较大小：点A所表示的数________．（填写“”或“”）；
(3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹）
【变式4-1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________．
【变式4-3】如图，在数轴上，点、分别表示和，，．
(1)数轴上点表示的数为__________，点表示的数为__________；
(2)若点表示的数为，点表示的数为，求的值．
题型五：以弦图为背景的计算题
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1.特征：以赵爽弦图、拼正方形图为背景，给出小正方形或直角三角形的边长、面积条件，求某个线段的长度或某块图形的面积。
2.方法：先认清弦图中大正方形、小正方形与四个全等直角三角形的对应关系，用“大正方形面积等于四块三角形面积加小正方形面积”建等式；设一条直角边为未知数，其余边用勾股关系表示，再解方程。
【例9】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【例10】我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为__________．
【变式5-1】如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，、（）表示直角三角形的两直角边，若大正方形面积为100，，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．小正方形的面积为56
【变式5-2】如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（）
A． B． C． D．
【变式5-3】数学活动课上，学习小组开展实践活动
【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理．
(1)已知：在中，，，，．求证：．
证明：由图可知．
______，______，______，
，化简得．
(2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：．
(3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
题型六：勾股定理与折叠问题
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1.特征：把三角形或矩形沿某条直线折叠，折痕两侧的图形能够重合，求折叠后某条线段的长、某块图形的面积或折痕的位置。
2.方法：抓住折叠即全等，把相等的线段标注到图上，将所求线段放入某个直角三角形；设未知数，用原边长减去折叠部分的长度表示斜边，再用勾股定理列方程求解并检验。
【例11】如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点，交边于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例12】在长方形中，，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F．将沿直线翻折到，延长与直线交于点M．
(1)求证：；
(2)当时，求出的长；
(3)在点E的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长．
【变式6-1】如图，在中，，，．点是边上一个动点，点是边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，当时，的长为________．
【变式6-2】如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【变式6-3】在综合与实践课上，老师和同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展数学探究．
在长方形中，，，为边上一点，将沿翻折，使点落在点处．
(1)如图1，若点落在边上，则的长度为__________；
(2)如图2，若点与点重合，交于点，求的长；
(3)如图3，若点落在对角线上，为边上一点，将沿翻折，使点落在上的点处，连接，请直接写出的面积．
题型七：勾股定理与网格问题
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1.特征：在正方形网格中给出线段、三角形或图形的位置，要求求线段长、判断两线是否垂直或是否为直角三角形、计算图形面积。
2.方法：以格点为顶点构造直角三角形，横向、纵向的格数分别作为两条直角边；用勾股定理算线段长，用逆定理判断垂直与直角；求不规则图形面积时先补成矩形，再减去多出的部分。
【例13】如图，在的方格中，，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【例14】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点，，的坐标分别为，，，．
(1)__________°；
(2)若要满足，则__________（填“>”，“<”或“=”），如果点恰好为整点，直接写出点的坐标（写出两个即可）．
【变式7-1】如图，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
(1)请在图1中画出．
(2)请在图2中确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等．
【变式7-2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找格点，按下列要求作图：
(1)在图①中，连结、，使．
(2)在图②中，连结、、，使．
(3)在图③中，在内部找格点，连结、，使．
【变式7-3】如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．每个小正方形的边长为1．点，，都是格点，点是网格线上的一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示，每问的画线不超过四条．
(1)在图（1）中，先画的中点，连接，并在的延长线上画点，使；
(2)在图（2）中，先在线段上画点，使得，再在线段上画点，使．
题型八、勾股定理及其逆定理解决面积问题
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1.特征：以面积为核心，求四边形、三角形或阴影部分的面积，已知若干边长与垂直关系，需要先确定直角再求高或底。
2.方法：先由边长关系用逆定理判定直角三角形，再把不规则图形分割或补形成可求面积的直角三角形与矩形；确定高线后按面积公式计算，分割时注意公共边不重复计算。
【例15】如图，在中，，以为边在的上方作，点C在的内部，已知，，，，求阴影部分的面积．
【例16】一块试验田的形状如图所示，，，，，，
(1)判断的形状
(2)求这块试验田的面积．
【变式8-1】如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【变式8-2】如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【变式8-3】如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
(1)求的度数．
(2)求的面积．
题型九、勾股定理及其逆定理的综合运用
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1.特征：两个定理交替使用，并结合等腰、垂直平分线、最短路径等条件，要求证明线段关系，或求线段长度与最值。
2.方法：先用逆定理从边长关系定出直角，再把目标线段放入直角三角形用勾股定理求解；遇最短路径时展开平面、化折线为直线，用两点之间线段最短配合勾股定理算出长度。
【例17】如图，在中，，点在边上，，，．求的长．
【例18】如图，在四边形中，，且．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【变式9-1】如图，四边形，，，，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的值．
【变式9-2】 如图，在四边形中，，，，且．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【变式9-3】如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)判断是否为直角，并说明理由；
(3)求四边形的面积．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为______．
2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_________．
3．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为___________．
4．在北京召开的第24届国际数学家大会会标（图1）以“赵爽弦图”为原型设计，图2是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，是的中点，连接，则的长为_____．
5．如图，在中，，以的三边为边分别向外画一个正方形，连接、，则与的面积之和等于___________．
6．如图，点是等边三角形内的一点，且，若将绕点逆时针旋转后得到．
（1）求的度数为___________
（2）的面积=___________
7．如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________．
8．如图，，．
(1)与垂直吗？
(2)请利用这个图形验证勾股定理．
9．海洋上有一座近似于四边形的岛屿，其平面图如图甲所示．小明将该岛抽象为数学模型——四边形(如图乙)．已知，千米，千米，千米，千米，求四边形的面积．
10．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题：
(1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数．
(2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法）
11．如图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成的．连接，，若，．
(1)求线段的长度；
(2)判断是否为直角三角形，并说明理由．
12．如图，在中，，．将分别沿直线，折叠，使点，都与点重合．若，求的长．
13．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
14．如图，在中，，，，，，
(1)求的面积；
(2)求中边上的高的长度．
15．如图，四边形，，，，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
16．综合与实践
在数学活动课上，王老师准备了几张大小相同的长方形纸条，让同学们进行折纸活动，并对折纸过程中所蕴含的数学知识展开了实践探究．如图，在长方形纸条中，，．
(1)如图1，若为上一点，将沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上．求和的长．
(2)如图2，若为上一点，将沿折叠，使点落在长方形内点处，连接，且．
①求的长；
②如图3，若点在线段上运动，点在线段上运动，连接，．直接写出的最小值．
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