2.7探索勾股定理（巩固过关，分层作业，14大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 2.7 探索勾股定理 A组|理解层级|巩固过关 目 录 A组 巩固过关 题型01 勾股定理的认识 题型02 用勾股定理解三角形 题型03 以直角三角形三边为边长的面积问题 题型04 勾股定理的证明方法 题型05 梯子滑落问题 题型06 小鸟飞行问题 题型07 大树折断问题 题型08 航海问题 题型09 台阶长度问题 题型10 最短路径问题 题型11 勾股定理的逆定理 题型12 勾股定理逆定理的有关计算与证明 题型13 勾股定理逆定理的实际应用 题型14 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 勾股定理的认识题型01 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（    ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 2．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 用勾股定理解三角形题型02 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 2．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长是（   ） A．有理数 B．非有理数 C．整数 D．分数 3．（月考）如图，等腰三角形中，，是底边上的高，若，，则______. 4．在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为___________． 5．（25-26八年级·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 以直角三角形三边为边长的面积问题题型03 1．在中，，以一直角边和斜边为边长的正方形面积分别为25，324，则以第三边为边长的正方形的面积是（     ） A．225 B．369 C．289 D．299 2．如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 4．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 勾股定理的证明方法题型04 1．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建泉州·月考）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    4．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 梯子滑落问题题型05 1．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 2．校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号）    3．如图1所示，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米． （1）这个云梯的底端离墙多远？ （2）如图2所示，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？ 小鸟飞行问题题型06 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 2．有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 3．（26-27八年级·陕西咸阳·月考）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺． 4．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 5．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 大树折断问题题型07 1．（25-26八年级·陕西西安·期末）《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    2．有一棵米高的大树，树下有一个米高的小孩，如果大树在距地面米处折断(未完全折断)，则小孩至少离开大树______米之外才是安全的． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 4．围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，．求大树折断前的高度．    5．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 航海问题题型08 1．（期中）如图，甲轮船以的速度离开港口向东南方向航行，乙轮船同时同地出发向西南方向航行，已知甲、乙两艘轮船离开港口后分别到达，两点，且，则乙轮船每小时航行（   　 ） A． B． C． D． 2．如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 3．（24-25八年级上·四川·期中）一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点____． 台阶长度问题题型09 1．如图是台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是30 cm，每级台阶的高度都是15 cm，连接AB，则AB等于(　　) A．195 cm B．200 cm C．205 cm D．210 cm 2．如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 3．（25-26八年级上·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 最短路径问题题型10 1．（25-26八年级下·贵州·期末）随着低空经济上升为国家战略，贵州正探索一条契合山区特色的发展路径，以“无人机通航干线航空”构建的立体服务网络，将持续为乡村振兴注入全新动能．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 4．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 5．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 勾股定理的逆定理题型11 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 2．已知，、、是的三边长，若，则是_________. 3．证明“勾股定理逆定理”． 勾股定理逆定理的有关计算与证明题型12 1．若一个三角形的三边长分别为2、和，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如果△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2,那么△ABC的形状是(　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（24-25八年级下·天津·期末）如图，四边形中，，垂足为点B，连接．若． (1)求的长； (2)求证． 勾股定理逆定理的实际应用题型13 1．（25-26八年级·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 2．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板_______（填“合格”或“不合格”）． 3．一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题题型14 1．某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由．    2．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.7 探索勾股定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 勾股定理的认识 题型02 用勾股定理解三角形 题型03 以直角三角形三边为边长的面积问题 题型04 勾股定理的证明方法 题型05 梯子滑落问题 题型06 小鸟飞行问题 题型07 大树折断问题 题型08 航海问题 题型09 台阶长度问题 题型10 最短路径问题 题型11 勾股定理的逆定理 题型12 勾股定理逆定理的有关计算与证明 题型13 勾股定理逆定理的实际应用 题型14 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 勾股定理的认识题型01 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（    ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 【答案】C 【分析】利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 则根据勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 2．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 用勾股定理解三角形题型02 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：B 2．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长是（   ） A．有理数 B．非有理数 C．整数 D．分数 【答案】B 【分析】该题考查了勾股定理和无理数，先算出斜边长，再判断即可． 【详解】解：直角三角形的两直角边为 2 和 3 ， 所以斜边， 为开方开不尽的数， 故是无理数，是非有理数， 故选：B． 3．（月考）如图，等腰三角形中，，是底边上的高，若，，则______. 【答案】4 【分析】根据等腰三角形的三线合一得AD是△ABC的中线，从而求出BD长，再根据勾股定理求出AD即可. 【详解】∵等腰三角形中，，是底边上的高， ∴AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD=DC， ∵， ∴DB=3cm， ∵， ∴， 故答案为4. 【点睛】本题是对勾股定理的综合考查，熟练掌握勾股定理及等腰三角形的三线合一知识是解决本题的关键. 4．在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为___________． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得，，解得：； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得，，解得． 所以第三边长为10或． 故答案为：10或． 5．（25-26八年级·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 以直角三角形三边为边长的面积问题题型03 1．在中，，以一直角边和斜边为边长的正方形面积分别为25，324，则以第三边为边长的正方形的面积是（     ） A．225 B．369 C．289 D．299 【答案】D 【分析】将正方形面积转化为对应边长的平方，结合勾股定理计算. 【详解】解：∵ 在中，，且以一直角边、斜边为边长的正方形面积分别为25、324， ∴ 以第三边为边长的正方形面积为. 2．如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解． 【详解】解：连接， 由勾股定理得， ∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系． 3．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可. 【详解】解：设Rt△ABC的斜边为：a，两直角边为：b、c，斜边的正方形面积为： ；直角边的正方形面积为：和 故，， 由勾股定理可知 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故选D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键. 4．如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）略 勾股定理的证明方法题型04 1．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建泉州·月考）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【答案】 证明：根据题意得，图1中空白部分的面积， 图2中空白部分的面积， 由，得， ． 【分析】本题考查勾股定理的证明，首先根据正方形和三角形的面积公式，用含，，的代数式分别表示，，再根据题意列方程即可得到结论． 【详解】略 4．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 【答案】 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 因为的面积分别为和，梯形的面积为 所以． 所以， 即． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明．证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】略 5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】 证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】略． 梯子滑落问题题型05 1．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m； (2)此时使用不安全 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知 在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即， ∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m； （2）解：如图所示，，则在中，，， ∴由勾股定理可得，， ∴可得， ∴此时使用不安全． ． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键． 2．校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号）    【答案】工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 根据题意，过点作交于点，在中，由勾股定理可求出的长，在中，由勾股定理可求出的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，    由题意得：，， 在中，由勾股定理得： ， 设， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 答：工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处． 3．如图1所示，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米． （1）这个云梯的底端离墙多远？ （2）如图2所示，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）20；（2）4 【分析】（1）结合题意，通过勾股定理计算，即可得到答案； （2）结合题意，通过勾股定理计算得OB，结合（1）结论计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得米，米 由勾股定理得 ∴ ∴ 即这个云梯的底端离墙20米远； （2）由（1）可得：米 根据题意可得：米，米 由勾股定理得 可得： 米 即梯子的底部在水平方向滑动了4米． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 小鸟飞行问题题型06 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 2．有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意知，． 过A作于E．则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴它至少需要才能赶回巢中． 故答案为：． 3．（26-27八年级·陕西咸阳·月考）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺． 【答案】 【分析】设，则，由速度时间相同得，利用勾股定理列方程，化简求解得到． 【详解】解：设时尺， 小溪的宽度时尺， 时尺， 棕榈树高时尺，棕榈树高时尺， 在中，， 在中，， 两只鸟以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标， ， ， 化简得， 解得， 时尺． 4．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 5．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 大树折断问题题型07 1．（25-26八年级·陕西西安·期末）《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 2．有一棵米高的大树，树下有一个米高的小孩，如果大树在距地面米处折断(未完全折断)，则小孩至少离开大树______米之外才是安全的． 【答案】 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：如图， 即为大树折断处减去小孩的高， 则，， 在中，． 故小孩至少离开大树4米之外才是安全的， 故答案为：4． 【点睛】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是要根据题意画出图形即可解答． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面4.55尺 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设长x尺，则长尺， ∵在中，， ∴， ∴，，， 解得． 答：折断处离地面尺． 4．围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，．求大树折断前的高度．    【答案】大树折断前的高度为 【分析】根据题意，分别应用勾股定理求出，的长度，求和即可． 【详解】解：在中，，， ， ． 在中，，， ， ． 因此，大树折断前的高度为 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数形结合思想，根据题意应用勾股定理是解题的关键． 5．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 航海问题题型08 1．（期中）如图，甲轮船以的速度离开港口向东南方向航行，乙轮船同时同地出发向西南方向航行，已知甲、乙两艘轮船离开港口后分别到达，两点，且，则乙轮船每小时航行（   　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设乙轮船每小时航行，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设乙轮船每小时航行， 根据题意得，，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴乙轮船每小时航行． 2．如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， 走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川·期中）一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点____． 【答案】26 【分析】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用．两段航行的路线正好互相垂直，构成直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意，这艘船航行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和， ， 故此时这艘船离出发点． 故答案为：26． 台阶长度问题题型09 1．如图是台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是30 cm，每级台阶的高度都是15 cm，连接AB，则AB等于(　　) A．195 cm B．200 cm C．205 cm D．210 cm 【答案】A 【详解】试题解析：如图， 由题意得：AC=15×5=75cm， BC=30×6=180cm， 故AB==195cm． 故选A． 2．如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，由勾股定理及平移的思想可进行求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得米， ∵米， ∴米， ∴则米， 故选：B． 3．（25-26八年级上·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 最短路径问题题型10 1．（25-26八年级下·贵州·期末）随着低空经济上升为国家战略，贵州正探索一条契合山区特色的发展路径，以“无人机通航干线航空”构建的立体服务网络，将持续为乡村振兴注入全新动能．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过勾股定理计算两点之间的距离，再作差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从仓库到社区配送点的最短路程比原来少． 2．（25-26八年级·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】 点即为中转站的位置； 的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 4．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 【答案】(1) 即为所求； (2) 直线即为所求； (3)． 点即为所求， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据三角形的高的定义画出图形； 取的中点，作直线即可； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：由对称可知， ， 当点、、三点在同一条直线上时的值最小， 最小值的长． 故答案为： 5．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】(1)基地E距A为 (2)如图所示；基地E距A为，的最小值为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 勾股定理的逆定理题型11 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【答案】A 【分析】运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法即可求解． 【详解】解：、，能构成直角三角形，符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 2．已知，、、是的三边长，若，则是_________. 【答案】等腰直角三角形 【分析】首先根据题意由非负数的性质可得：a-b=0，a2+b2-c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵|a-b|+|a2+b2-c2|=0， ∴a-b=0，a2+b2-c2=0， 解得：a=b，a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3．证明“勾股定理逆定理”． 【答案】 解：已知：中，，，，， 求证：为直角三角形． 证明如下：作一直角三角形，，使其两直角边与三角形的两条较短边相等，即，， ∵在中，， ∴， 又∵，即 ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质． 根据勾股定理和全等三角形的判定与性质证明即可求解． 【详解】略 勾股定理逆定理的有关计算与证明题型12 1．若一个三角形的三边长分别为2、和，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过勾股定理逆定理得出这个三角形是直角三角形，然后通过三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵该三角形的三边长分别为2、和， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形，两个直角边长为2、， ∴这个三角形的面积为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键． 2．如果△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2,那么△ABC的形状是(　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】将所给的等式(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2能进行因式分解的要因式分解，整理得出关于a,b,c三边的关系式，进而判断三角形的形状. 【详解】∵(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2        (a-b)(a2+b2)=c2(a-b)       (a-b)(a2+b2- c2) =0 ∴a-b =0或a2+b2- c2 =0 ∴a =b或a2+b2=c2 故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，选D. 【点睛】本题考查因式分解的应用，勾股定理的逆定理. 3．（24-25八年级下·天津·期末）如图，四边形中，，垂足为点B，连接．若． (1)求的长； (2)求证． 【答案】(1) (2) 证明：在中， ∵， ∴， ∴，即． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中， ∵， ∴； （2）略． 勾股定理逆定理的实际应用题型13 1．（25-26八年级·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 2．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板_______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论． 【详解】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 3．一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ 【答案】符合 【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用 欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． ，， ∴∠和∠都为直角， ∴这个零件符合要求. 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题题型14 1．某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由．    【答案】 解：能通过，理由如下： 设点O为半圆的圆心，则O为的中点，为半圆的半径，    如图，∵直径米， ∴半径米，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∵， ∴能通过． 【分析】因为上部是以为直径的半圆，O为中点，同时也为半圆的圆心，为半径，的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出的长度．的长度等于的长度．如果的长度大于2.5米货车可以通过，否则不能通过． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理求出的长度． 2．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）5cm 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）略 （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $