专题03 勾股定理与逆定理（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册
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内容正文：
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专题03
勾股定理与逆定理
常考题型精准突破
●考点一勾股定理的正向计算与基础应用●
◆题型1用勾股定理解三角形
1.B
2.A
3.D
4.B
5.c
6.(1)
证明：AB⊥BE,AD⊥CF,
∠B=∠ADF=∠ADC=90°，
DF=BE,AE=AF,
:△ABE2△ADF(HL)
.AB=AD,
:∠B=∠ADC=90°，CA=CA,
:△1BC≌△ADC(HL)
,∠BCA=∠DCA:
(2)AD=12
◆题型2已知两点坐标求两点距离
7.D
8.C
9.
10.2V5
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11.10
12.25
13.0)y=4
a引
(3)△DME是等腰直角三角形
◆题型3勾股树（数）问题
14.D
15.B
16.7
◆题型4以直角三角形三边为边长的图形面积
17.D
18.C
19.225
20.2027
◆题型5勾股定理与网格问题
21.A
22.D
23.C
14V5
24.5
25.)i0v5
(2)
△DEF就是所求作的图形：2，
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D
◆题型6利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
26.D
27.B
28.38
◆题型7勾股定理与无理数
29.D
30.B
31.-2-2,V2-2
32.1+i010+1
●考点二勾股定理逆定理与直角三角形判定。
◆题型8判断三边能否构成直角三角形
33.A
34.C
35.A
36.1
37.5
38.(1)
证明：AC=a,AB=3a,BC=2a,
a+3a=(2a},
.'AC2+AB2 BC2,
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∴.△ABC为直角三角形，
延长CA至D,使AD=AC,连接BD,
则CD=2AC,
.BC=2a,AC=a,
.'BC=2AC,
.BC=CD.
:AC=AD,AB⊥CD
.BC=BD.
.BC=BD=CD
:.△BCD为等边三角形，
.∠C=60°
.∠ABC=90°-60°=30°，
.△ABC是“30型直角三角形”：
A
B
(2)
如图，三个“30型直角三角形”△ACD,△AED,△BDE拼成“30型直角三角形”△ABC.
609
30
B130
60过60C
◆题型9在网格中判断直角三角形
39.A
40.④⑤
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41.4BC=210CD=29
(2)
∠BAD是直角，理由如下：
如图，连接BD
AB2=22+42=20,AD2=22+12=5,BD2=32+42=25
根据题意得：
.'AB2+AD2=BD2,
∴.△ABD为直角三角形，且∠BAD=90°
即∠BAD是直角，
◆题型10利用勾股定理的逆定理求解
42.234
43.30
44.△ABC的面积为6
45.025
(2)14
◆题型11勾股定理逆定理的实际应用
46.A
47.114
48.∠ADB=150°
49.
解：在RtAABD中，
.∠ABD=90°，AB=10dm,AD=15dm,
.BD2=AD2-AB2,
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BD2=152-102
=225-100
=125
在aBCD中，，BC=5dm,CD=l0dm,
:.BC2+CD2=52+102,BC2+CD2=25+100=125
.'BC2+CD2=BD2,
∴.△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
.BC⊥CD
故该车符合安全标准.
◆题型12勾股定理逆定理的拓展问题
50.A
51.A
52.(1)是
(2)
证明：(a-6a+9+(62-8a+16)+(c-10e+25)-=0
∴.(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0
.(a-3)2≥0；(b-4)2≥0：(c-5)2≥0.
.a=3,b=4,c=5
c2=a2+b2,
.c是“完美勾股数”：
3-2x-2
●考点三勾股定理的综合拓展与几何探究●
◆题型13勾股定理与折叠问题
53.c
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54.2
2
55.66
5
56.4
57.
(1)如图，点D即为所求，
B
(2)如图，点P即为所求，
B
(3)CP的长1.4
◆题型14利用勾股定理证明线段平方关系
58.D
59.1:
√2√5
60.(1)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,
所以a2+b=c,Sc=)。
2
2
所以ab=ch」
1,1a2+b2c21
所以京+疗=a6。序·
(2)
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证明：由(1)可知ab=ch,a2+b2=c2,
a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch
所以
(c+h)2=c2+2ch+h2,a,b,c,h
因为
都是正数，
a+b)2<(c+h)2
所以
所以a+b<c+h.
◆题型15勾股定理的证明方法
61.A
62.B
63.(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)
如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为a,b6>）,
斜边为C)和一个小正方形组成，则：大
正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
i.b(6-a)-2abo-2a
c2=a2+b2.
64.小试牛刀：
za(a+b).zb(a-b).zo:za(a+b)-zb(a-b)+c:
知识运用：(1)41；(2)AP=16(千米)：
◆题型16以弦图为背景的计算题：
65.C
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66.B
67.15
◆题型17用勾股定理构造图形解决问题
68.A
69.29
70.
（1)证明：由图可知，SE方形=（亿-a
S大正方形=c2
“SE方形=SE方形+45.c=(亿-a}+4×)b=a2+b2,
∴.a2+b2=c2
(2)如图2所示：
---
图2
综合攻坚知能拔高
一、单选题
1.C
2.D
3.D
4.c
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二、填空题
5.3
6.(10W5+56）
7.①③④
&.35或20
三、解答题
9.(1)(9600+50005)m
(2)
同意小海的观点，理由如下：
如图：
D
M
A
:点M是BD的中点，∠BCD=90°，∠BAD=90°，
:MA-MB=MC-MD-IBD
∴线段BD的中点就是凉亭M的位置.
10.(1)BD=CE,BD⊥CE:
(2)解：结论BD=CE,BD⊥CE仍然成立.理由：
延长BD交CE于F,如图2，
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B
图2
.∠BAC=∠DAE=90°，
、∠BAD=90°-∠CAD,∠CAE=90°-∠CAD,
∴.∠BAD=∠CAE
.AB=AC,AD=AE,
、△BAD≌ACAE(SAS)
.BD=CE,∠ABD=∠ACE」
∴.∠ACE+∠CBF=∠ABD+∠CBF=∠ABC,
.∠BAC=90°，AB=AC,
.∠ABC=∠ACB=45°
∴.∠ACE+∠CBF+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，
BD⊥CE:
如图3，
图3
·∠BAC=∠DAE=90°，
.∠BAD=90°+∠CAD,∠CAE=90°+∠CAD.
∴.∠BAD=∠CAE
AB=AC,AD=AE,
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△BAD≌△CAE(SAS)
同理可证BD⊥CE:
(3)CD2+BD2=2AD2:
(4)6
2
11.(1)x=2,
x=
m-1
(2)m=3
(3)1
12.(1)b=5;c=4
②0直线DE的表达式为”-2-5)+105-20，@点P的坐标为P-2-45.0)度P(2.0)或
P42-2,0)或P(6,0)
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专题03 勾股定理与逆定理
常考题型·精准突破
考点一 勾股定理的正向计算与基础应用
题型1 用勾股定理解三角形
题型2 已知两点坐标求两点距离
题型3 勾股树（数）问题
题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型5 勾股定理与网格问题
题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
题型7 勾股定理与无理数
考点二 勾股定理逆定理与直角三角形判定
题型8 判断三边能否构成直角三角形
题型9 在网格中判断直角三角形
题型10 利用勾股定理的逆定理求解
题型11 勾股定理逆定理的实际应用
题型12 勾股定理逆定理的拓展问题
考点三 勾股定理的综合拓展与几何探究
题型13 勾股定理与折叠问题
题型14 利用勾股定理证明线段平方关系
题型15 勾股定理的证明方法
题型16 以弦图为背景的计算题
题型17 用勾股定理构造图形解决问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 勾股定理的正向计算与基础应用
◆题型1 用勾股定理解三角形
1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在中，，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是利用勾股定理建立方程．
根据的比例关系，设，，利用勾股定理建立方程求解，再求，最后计算面积．
【详解】解：，
，
，
设，，
又，
，
即，
，
，
解得负值舍去，
，
．
故选：．
2．如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点O作，垂足分别为D，E，F，得到，利用勾股定理，直角三角形的面积公式，图形的面积和解答即可．
本题考查了角的平分线性质，勾股定理，直角三角形的面积性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：过点O作，垂足分别为D，E，F，
∵点是平分线的交点，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①、②都错误 D．①、②都正确
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，二次根式的除法运算等知识点．
先证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理得到，即可判断①；设，则由等边三角形可知，则，则，然后由得到，再由三角形面积公式求解，即可判断②．
【详解】解：∵等边三角形，点为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，故①正确；
设，
则由等边三角形可知，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确，
故选：D．
4．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，点是等边内一点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则，进而得到，然后求出四边形的面积解答即可．
【详解】解：将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴ ，
又∵，，
，
，
在中，，，，
∴，
是直角三角形，，
面积为，
过点B作于点D，
则，
∴，
∴等边面积为 ，
∴四边形的面积为，
，
∴四边形的面积的面积的面积，
，
故选B．
5．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F， 则，根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论；
对于B，根据直角三角形的两锐角互余，可逐步证明，即可根据等腰三角形的判定证明结论；
对于C，根据含角的直角三角形的性质，可得，所以，即得，即可判断；
对于D，设，根据勾股定理可逐步求得，即可证明结论．
【详解】解：对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F，
则，
平分，
即是的角平分线，
故选项A正确，不符合题意；
对于B，
，，
，
平分，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
对于C，
，，
，
，
，
，
故选项C错误，符合题意；
对于D，
设，则，
，
，
，
，
，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，等腰三角形的判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
【答案】(1)
证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答．
（2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：设，
由（1）得，
∴
则，
∵，
∴，
∵，
∴
解得，
∴，
∵
∴在中，
∴
解得（负值已舍去）．
◆题型2 已知两点坐标求两点距离
7．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，下列说法错误的是（ ）
A．点到轴的距离为4； B．点到轴的距离为3；
C．点到原点的距离为5； D．点到点的距离为．
【答案】D
【分析】利用点的坐标和勾股定理逐一判断各选项，找出错误说法即可
【详解】解：∵点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点的纵坐标为，，
∴A选项说法正确；
∵点到轴的距离为横坐标的绝对值，点的横坐标为，，
∴B选项说法正确；
∵点到原点，由勾股定理得距离为，
∴C选项说法正确；
∵点到点，横坐标差为，纵坐标差为，由勾股定理得距离为，，
∴D选项说法错误．
8．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）．
A．点在第四象限，点在第二象限
B．点和点关于原点对称
C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点
D．两点间的距离是10
【答案】C
【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键．
根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D．
【详解】解：∵，，
∴点在第四象限，
∵，，
∴点在第二象限，故A正确；
∵，，
∴点和点关于原点对称，故B正确；
点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误；
由勾股定理可得，，故D正确．
故选：C．
9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点，，则线段的长为________
【答案】
【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得．
【详解】解：∵点，，
∴．
故答案为：．
10．在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是_____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，同一坐标系下点和点的距离为，据此求解即可．
【详解】解：∵在同一平面坐标系中，点，点，
∴，
故答案为：．
11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为________．
【答案】10
【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点坐标与轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键﹒作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，根据轴对称的性质可得，，则，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得﹒
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，
∴，，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴折线的最小值为10﹒
故答案为：10﹒
12．（25-26八年级上·上海·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为5，则_____________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，两点之间的距离．
求直线与坐标轴的交点，利用两点间距离公式建立方程求解．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴直线 与x轴交于点，
当时，，
∴与y轴交于点，
两交点间距离为，
解得：，
故答案为．
13．如图，正比例函数 与反比例函数 的图像相交于点A，其中点A 的横坐标为2，点C 是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作 ，轴，垂足分别为点D、点E．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果，求点 D的坐标；
(3)取的中点M，连结，试判断的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰直角三角形
【分析】（1）根据点在上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解．
（2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解．
（3）在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出 ， 根据等边对等角得出，，再根据直线是第一，三象限角平分线，证出，即可得出是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：∵点在上，且横坐标为2，
，
把代入得，
；
（2）解：∵轴，且，
点横坐标为4，
在中，令，则，
，
在中，，
，
∵点D在直线上，设，
，
，，
在中，，
即，
整理得，
解得：（舍去，不符合题意），，
，
．
（3）解：是等腰直角三角形．
理由如下：在中，为斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
设，
，
∵，
∴，
设，
，
，
∵直线是第一，三象限角平分线，
，
即，
∴，
∴是直角三角形，
综上：是等腰直角三角形．
【点睛】该题考查了反比例函数解析式求解，反比例函数和正比例函数交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
◆题型3 勾股树（数）问题
14．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、含，不是正整数，不符合定义，故该选项错误；
B、，，，不符合定义，故该选项错误；
C、，，，不符合定义，故该选项错误；
D、，，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确；
故选：D．
15．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（ ）
A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．分两种情况，根据勾股数的定义得出方程，求解即可．
【详解】解：当m为最长边时，，
解得：（负值已舍去）；
当24为最长边时，，
解得：（负值已舍去），不是整数，不符合题意；
综上所述，，
故选：B．
16．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为__________．
【答案】7
【分析】本题主要考查了勾股数，求阴影部分的面积．
先根据题意得，结合整数解可求出a，b值，再根据面积公式可得答案．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，得，
∵a，b为整数，
∴，
∴.
故答案为：7．
◆题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积
17．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A． B．2025 C． D．2026
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，
由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ，
同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ，
∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ，
，
∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ．
故选：D．
18．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，根据正方形面积计算公式可得；由勾股定理得，据此可得答案．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
∵正方形A的面积为6，正方形B的面积为8，
∴；
由勾股定理得，
∴正方形C的面积为14．
故选：C．
19．如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么_______．
【答案】225
【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理和正方形的面积计算公式可得A的面积加C的面积等于B的面积，据此求解即可．
【详解】解：由勾股定理和正方形的性质可得正方形A的面积加上正方形C的面积等于正方形B的面积，
∵B的值为289，C的值为64，
∴A的值为，
故答案为：225．
20．（25-26八年级上·上海·期末）有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是_____．
【答案】
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解．正确得出规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意，边长为的大正方形经过次“生长”后，形成图形如图，
“生长”次，“生长”出的两个正方形，三个正方形围成，三个正方形面积和为：；
“生长”次，又“生长”出四个正方形，所有的正方形围成的直角三角形有、、，则这四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，即，，
∴所有正方形的面积之和为：
； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第二次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为：；
……
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，
∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为：．
故答案为：．
◆题型5 勾股定理与网格问题
21．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：设正方形地砖边长为1，
，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形．
故选：A．
22．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理．
取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，取格点E，使，连接，
∵，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即．
故选：D
23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键．
连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答．
【详解】解：连接，，，，，，，，
∵每个小正方形的边长都为1，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴直线是的垂直平分线，
∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线．
故选：C
24．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可．
【详解】解：如图，作，
由勾股定理得，
∵，
，
解得：．
故答案为：．
25．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）．
(1)由图①可知，则______，______．
(2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的）
【答案】(1)，
(2)
就是所求作的图形；，
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明，即可根据直角三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：，．
故答案为：，．
（2）解：，，，
，
，
．
◆题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
26．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴的值不变．
故选：D．
27．在中，斜边，则的值是（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值．
【详解】解：如图所示，
在中，，
又，
，
，
故选：B．
28．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______．
【答案】38
【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答．
【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，，
∴在中，；
在中，；
在中，；
在中，；
∴．
故答案为：38．
◆题型7 勾股定理与无理数
29．（25-26八年级上·上海·期末）如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ）
A．2.2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长．
利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案．
【详解】解：∵点C的坐标为，点O在原点上，
∴，又
由勾股定理得：．
∴．
即数轴上点A表示的实数是，
故选：D．
30．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案．
【详解】解：由题意可知，，
由勾股定理得到，
∴，
因为点D在x轴负半轴，
所以点D对应的实数为．
故选：B．
31．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________．
【答案】/
【分析】本题根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数．
【详解】解：由勾股定理知：，
∴，
∴点对应的数是．
32．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，
∴点表示的数是，
故答案为：．
考点二 勾股定理逆定理与直角三角形判定
◆题型8 判断三边能否构成直角三角形
33．（25-26八年级上·上海·期末）下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为 B．有一边的中线等于这边的一半
C．三边之比为 D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为，
∴最大角为，
∴此时三角形不是直角三角形，故符合题意；
B、如图，，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
故三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∵三边之比为，
设三边长分别为，
∴，
∴三角形为直角三角形，故不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
34．（25-26八年级上·上海崇明·期末）在下列条件中：，②，③，④中，能确定是直角三角形的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的定义和勾股定理的逆定理是解题关键．
通过三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断每个条件是否能确定直角三角形即可．
【详解】解：①：由，可知，故能确定；
②：，缺少足够的条件，如当，时满足题意，此时，不是直角三角形，故不能确定；
③：由勾股定理的逆定理，满足的三角形是直角三角形，故能确定；
④：由，可设，则，，
∵，
∴由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，故能确定，
故选：C．
35．（25-26八年级上·上海·期末）已知的三边分别长为，且满足，则是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键．
通过方程的非负性求出的值，再应用勾股定理逆定理判断三角形形状即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是以a为斜边的直角三角形．
故选：A．
36．（25-26八年级上·上海·期末）中，是两内角平分线的交点，；到的距离是_____．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理得出，利用等积法求出的值即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，
∵是两内角平分线的交点，
∴平分，
∴，
∵，，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴到的距离是．
故答案为：
37．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，连接，，取和的中点E、F，连接，求的长度．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
由勾股定理逆定理可得，即；如图：连接，根据直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，最后运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
如图：连接，
∵，点E是的中点，
∴，即，
∵点F是的中点，
∴，，
∴．
38．（25-26八年级上·上海·期末）我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”，
(1)如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”；
(2)请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”，
并画出这个拼图．
画图要求：
①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙．
②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数．
【答案】(1)
证明：∵，，，
，
∴，
∴为直角三角形．
延长至，使，连接，
则，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴是“型直角三角形”；
(2)
如图，三个“型直角三角形”拼成“型直角三角形”．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，延长至，使，连接，则，由已知可得，所以，因为，可得，所以，则为等边三角形，故，则可得，即可证明是“型直角三角形”；
（2）由“型直角三角形”的定义知，其为直角三角形，且两锐角分别为，根据定义画图即可．
【详解】（1）略
（2）略
◆题型9 在网格中判断直角三角形
39．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可．
【详解】解：由网格特点，，，，，，，
A．∵，，，
∴，则为直角三角形，故该选项符合题意；
B．∵，，，
∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；
C．∵，，，
∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；
D．∵，，，
∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：A．
40．图中，是直角三角形的序号是________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：．
41．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上．
(1)求线段和的长．
(2)是直角吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
是直角，理由如下：
如图，连接，
根据题意得：，
∴，
∴为直角三角形，且，
即是直角．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理逆定理即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：略．
◆题型10 利用勾股定理的逆定理求解
42．如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为______．
【答案】234
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键．
连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积．
【详解】解：连接．如图所示：
，
，
在中，，
，即，
∴是直角三角形，．
，
即绿地的面积为234．
故答案为：234．
43．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为_____度．
【答案】30
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度，
故答案为：30．
44．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积．
【答案】的面积为6
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相应知识的运用是解题的关键．
延长至点，使，连接，可证，则，，则，根据勾股定理逆定理可得，计算出的面积即可求解．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，
∵为边的中线，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴．
45．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)14
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）先运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据四边形的面积等于与的面积之和，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
．
（2）解：∵，，
，
∴是直角三角形，，
∴
．
◆题型11 勾股定理逆定理的实际应用
46．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】本题考查了勾股定理的逆定理和垂线段最短的性质，解题的关键是构造直角三角形并利用相关性质验证大小关系．
通过构造三边长为、、的直角三角形，利用勾股定理的逆定理证明其为直角三角形，再结合垂线段最短的性质验证．
【解答】解：如图，中，，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴，
故A符合题意，
选项、、均无法通过几何角度直接验证，
故选：A．
47．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______．
【答案】114
【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积=的面积+的面积
∴这块菜地的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
48．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，D是等边内一点，以为边作等边，连接，已知，，．求的度数．
【答案】．
【分析】利用证明，推出，，利用勾股定理的逆定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵等边和等边，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
49．（25-26八年级上·上海青浦·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】
解：在中，
∵，，，
∴，
.
在中，∵，，
∴，.
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故该车符合安全标准．
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的内容是解题的关键．
先在中，利用勾股定理求出的长度；再在中，通过勾股定理的逆定理判断是否为，从而验证是否成立．
【详解】略
◆题型12 勾股定理逆定理的拓展问题
50．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
51．在中，，则（ ）
A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是三角形的三边，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴一定是锐角．
故选：A．
52．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)
证明：
，
，
是“完美勾股数”；
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）略
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
考点三 勾股定理的综合拓展与几何探究
◆题型13 勾股定理与折叠问题
53．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性．
设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：设，
由折叠可得，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选：C．
54．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，，，D为上一动点，将沿着折叠，点C落到处．当时，______．
【答案】2
【分析】此题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，设于点，用勾股定理和等积法求出，由折叠可知，，设，得到，，利用勾股定理列方程即可求出答案．
【详解】解：设于点，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，，
设，
∴，
∵，
∴,
解得，
故答案为：2
55．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是___________．
【答案】/
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先由折叠的性质得出， ， ， ，推出，再由勾股定理求出，设， 则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ，
在中，由勾股定理得：
设， 则，
在中，由勾股定理得：
即
解得：
故答案为：．
56．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段________．
【答案】
【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
∴
∵将进行折叠，使顶点重合
∴，
设，在中，
∴
解得：
则
∴在中，
故答案为：．
57．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，D为边上一点，将沿着折叠，使点C落在边上，请用直尺和圆规作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，在中，，将沿着某条直线折叠，使得点A，B重合，折痕交于点P，请用直尺和圆规作出点P；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】
（1）如图，点D即为所求，
（2）如图，点P即为所求，
（3）的长
【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、垂直平分线的性质和勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）作的角平分线；根据角平分线的性质可得，则沿着折叠，使点C落在边；
（2）作的垂直平分线；根据垂直平分线的性质可得，将沿着折叠，使得点A，B重合；
（3）连接，根据垂直平分线的性质，可得，设，则，在中和中，运用两次勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）连接，如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，
∴，
在中，，
在中，
，
解得，
．
◆题型14 利用勾股定理证明线段平方关系
58．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可．
【详解】解：设与交于点，
∵，
∴，，，，
∴，
整理得，
故选：D．
59．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中，，且，如果是奇异三角形，那么______________.
【答案】1：：
【分析】由△ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2＝b2＋c2，记作②，或2b2＝a2＋c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∴根据勾股定理得：c2＝a2＋b2，记作①，
又Rt△ABC是奇异三角形，
∴2a2＝b2＋c2，②，
将①代入②得：a2＝2b2，即a＝b（不合题意，舍去），
∴2b2＝a2＋c2，③，
将①代入③得：b2＝2a2，即b＝a，
将b＝a代入①得：c2＝3a2，即c＝a，
则a：b：c＝1：：．
故答案为：1：：．
【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
60．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：．
(1)写出上述说理过程；
(2)试说明：．
【答案】(1)
在中，，，，，，，
所以，，
所以，
所以．
(2)
证明：由（1）可知，，
所以．
因为都是正数，
所以，
所以．
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用．
（1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可；
（2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
◆题型15 勾股定理的证明方法
61．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．统计思想 D．公理化思想
【答案】A
【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学思想为：数形结合思想，
故选：A．
62．意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用．
根据图形及勾股定理的验证得到，故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积，再根据六边形的面积为14，即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，，
∵六边形的面积为14，
∴
解得，（舍去），
根据图形及勾股定理的验证得到，
∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积．
故选：B．
63．本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)
如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
∴，
∴．
【分析】本题考查勾股定理及其证明：
（1）直接写出勾股定理即可；
（2）利用赵爽弦图进行证明即可．
【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）略
64．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________
则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离．
【答案】小试牛刀：；；；；
知识运用：（1）41；（2）（千米）；
【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得．
（2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可．
【详解】解：小试牛刀：由图可知：
，
，
，
则它们满足的关系式为：．
知识运用：
（1）如图2①，连接，作于点E，
则：，，
，
在中，由勾股定理，得，
（千米），
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接，作的垂直平分线交于点，则，
设千米，则千米，
在中， ，
在中，，
∵，
∴，
解得，，
即千米．
◆题型16 以弦图为背景的计算题:
65．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】C
【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系．
结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解．
【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为，
由图形可得知，，
则
∵正方形的边长为3
∴
∴
故选C．
66．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键．
先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积．
【详解】解：如图2，，，
阴影部分面积，
朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，
，，
青出与青入的三角形全等，
，
，
，
，
，，
，
阴影部分面积
，
故选：
67．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和__________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
【详解】解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是，
，
，
直角三角形的面积是，
∴，
，
．
舍去负值．
故答案为：．
◆题型17 用勾股定理构造图形解决问题
68．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知，，，
．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：，
即绳索的长是10米．
故选：A．
69．我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长__________________．
【答案】29
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键；
由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决．
【详解】解：如图在中，由勾股定理得
∵
∴
∴这根藤条有29尺．
故答案为：29．
70．（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【定理探究】
（1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
【实践应用】
（2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．
【答案】
（1）证明：由图可知，，
，
，
．
（2）如图2所示：
【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键．
（1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论；
（2）根据题意设计方案即可．
【详解】（1）略
（2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海·期末）在中，边上的高，那么另一边的长为多少（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，在和中分别求出和的长度，然后根据垂足D的位置分类讨论，求解即可．
【详解】解：如图，
∵是边上的高，，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴
情况1：当垂足D在线段上时，
，
情况2：当垂足D在延长线上时，
，
∴ 的长为10或6．
故选C．
2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，不能判定与全等的一组条件是（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定、勾股定理、完全平方公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据定理即可得选项A能判定与全等；先求出与的直角边对应相等，再根据定理可得选项B能判定与全等；根据定理可得选项C能判定与全等；判断出，即和的斜边不对应相等，则可得选项D不能判定与全等．
【详解】解：A、在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
B、如图，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
即，
不妨设，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
C、在和中，
，
∴，则此项不符合题意；
D、在中，斜边，
∵是中的斜边，且，
∴，即和的斜边不对应相等，
∴不能判定与全等，则此项符合题意；
故选：D．
3．（25-26八年级上·上海金山·期末）已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理可判断A和C，根据三角形内角和定理可判断B和D．
【详解】解：A、，
，
能判定是直角三角形；
B、∵，
∴
，
，
，
能判定是直角三角形；
C、设，
∵，
∴，
能判定是直角三角形；
D、
，
不能判定是直角三角形．
故选：D．
4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列命题中，一定正确的是（ ）．
A．如果一个直角三角形的两条边的长分别为和，那么第三条边的长为；
B．如果一个直角三角形的面积为，那么斜边上的高可以为；
C．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形一定全等；
D．在直角三角形中，如果一条直角边等于另一条边的一半，那么这条直角边所对的角等于．
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形的性质．熟悉直角三角形的主要性质：勾股定理的应用，直角三角形面积公式与斜边、斜边上高的关系，全等三角形的判定（直角三角形全等的判定定理），含角的直角三角形的性质，是解题的关键．
中第三条边可能不为；中斜边高为时无实数解；中“另一条边”指代不明，可能不成立；利用直角三角形斜边上中线性质及直角三角形全等的判定定理可证．
【详解】解：选项：两条边长为和时，第三边可能为（直角边为和时）或（斜边为时），所以无法确定；
选项：面积，则两直角边的积为．设斜边高，则斜边，
两直角边，满足，，
∴，
∴，设为，那么为，
此时方程判别式，无实数解，∴不可能．
选项：一条直角边和斜边中线相等时，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，所以它们的斜边也对应相等，根据直角三角形全等的判定定理，两直角三角形全等；
选项：一条直角边等于另一条边一半时，若为斜边一半，则所对的角为；若为直角边一半，则所对的角不为，所以无法确定．
故选：．
二、填空题
5．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，，平分，则_____．
【答案】
【分析】作于点，由角平分线的性质定理可得，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式计算即可得出，即可得出结果．
【详解】解：如图：作于点，
∵平分，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质，设直角边为未知数，运用勾股定理求出直角边长，再计算三角形的周长．
【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为，
根据勾股定理可得，
∴，
∴，
∵边长为正数，
∴，
∴该三角形的周长为．
7．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为或满足两边平方和等于第三边的平方．
【详解】解：①∵且，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①符合题意；
②设，则，
解得，
∴，
∴不是直角三角形，故②不符合题意；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故③符合题意；
④∵，即，满足勾股定理的逆定理，
∴是直角三角形，故④符合题意；
⑤设，则，，
∵，
∴
解得，
∴，
∴不是直角三角形．
故能确定是直角三角形的条件有①③④．
故答案为：①③④．
8．（25-26八年级上·上海·期末）在中，，，分别将，向内对折，使得，重合，折痕分别为，且分别交于点．若，则的长为_____．
【答案】或
【分析】过点A作于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可得或4，分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】如图，过点作于点，
，，，
，，
，
设，则，
由折叠的性质得，，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
整理得，
解得或，
当时，，
在中，由勾股定理得；
当时，，
在中，由勾股定理得．
三、解答题
9．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图：有一块由四条小路和围成的绿地，其中长长长长，．
(1)求绿地的面积（结果保留根号）；
(2)计划在绿地内部建一座凉亭，希望凉亭（用一个点来表示）到四个路口（即点和）的距离都相等：小海同学认为连接，线段的中点就是凉亭的位置：你同意他的观点吗？如果同意，试证明点到点的距离都相等；如果不同意，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
同意小海的观点，理由如下：
如图：
∵点是的中点，，，
∴，
∴线段的中点就是凉亭的位置．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．
（1）连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，然后根据绿地的面积求解即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，长，长，
∴，
∵长，长，
∴，
∴，
∴，
∴绿地的面积
（2）略
10．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）综合与实践
数学小组在学习完“直角三角形”这一单元后，进行了研究．
发现：
（1）如图1，在和中，，，，点在线段上，连接、、则和的数量关系是________，和的位置关系是________．
深入研究：
（2）如图2和图3，将绕点旋转（旋转角），其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图4，若图2中的点落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的数量关系是________．
（4）如图5，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为________．
【答案】（1），；
（2）解：结论，仍然成立．理由：
延长交于F，如图2，
∵，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴；
如图3，
∵，
∴，，
∴
∵，，
∴，
同理可证；
（3）；
（4）6
【分析】（1）证明可得数量关系，证可得位置关系；
（2）先证明，结合，，证明可得数量关系，证可得位置关系；
（3）先证明，结合，，证明可得，，则，再结合勾股定理可得结论；
（4）作等腰直角三角形，，，连接，则，，，同理可得，， 则，结合即可解答．
【详解】（1）解：延长交于F，如图1，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴和的数量关系是，位置关系是；
（2）略
（3）解：如图4，
∵，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（4）解：如图5，作等腰直角三角形，，，连接，则，，，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，熟练的利用数形结合的方法进行证明是解本题的关键．
11．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）．
(1)解这个关于的一元二次方程；
(2)如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值；
(3)在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）运用求根公式解一元二次方程即可；
（2）根据方程有两个不相等的正整数根，结合第（1）小题的根，求符合条件的；
（3）代入，得到a和b是二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和，结合c的值发现三角形是直角三角形，从而求出面积。
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵是不等于1的整数，
∴，
∴，，
（2）解：由（1）知方程的解为2和，
∵这个方程有两个不相等的正整数根，
∴的值为不是2的正整数，
∵是不等于1的整数，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
整理得，
同理且，
∴和是方程的两个根，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
∴．
12．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，
①若平分，且交轴于点，求直线的表达式；
②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)①直线的表达式为；②点P的坐标为或或或
【分析】（1）根据点C在直线上，先求得点C的坐标，再代入直线，即可求得b值；
（2）①设直线交y轴于点F，过点E作于点G，先求得D、F的坐标，根据勾股定理求得，然后根据角平分线的性质定理可知，由可求得，得到点E的坐标，进而根据待定系数法即可求解；
②先求得点A的坐标，从而根据勾股定理求得的长度，然后设，分四种情况：当点P在点A的左侧，且时；当点P在点A的右侧，且时或时或时；分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，把点代入直线，得；
∴，代入直线，得，
∴；
（2）解：①由（1）可知直线，
设该直线交y轴于点F，过点E作于点G，如图所示，
令，得，则；令，则，
∴，，即，，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，则，
设直线的表达式为，
代入，得，
解得，
∴直线的表达式为；
②对于直线，令，则，
∴，
由（1）可知，
∴，
设，
当点P在点A的左侧，且时，
则，
解得，即；
当点P在点A的右侧，且时，
则，
解得，即；
当点P在点A的右侧，且时，
则，
解得，即；
当点P在点A的右侧，且时，
则，
解得，即；
综上所述，点P的坐标为或或或．
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专题03 勾股定理与逆定理
常考题型·精准突破
考点一 勾股定理的正向计算与基础应用
题型1 用勾股定理解三角形
题型2 已知两点坐标求两点距离
题型3 勾股树（数）问题
题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型5 勾股定理与网格问题
题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
题型7 勾股定理与无理数
考点二 勾股定理逆定理与直角三角形判定
题型8 判断三边能否构成直角三角形
题型9 在网格中判断直角三角形
题型10 利用勾股定理的逆定理求解
题型11 勾股定理逆定理的实际应用
题型12 勾股定理逆定理的拓展问题
考点三 勾股定理的综合拓展与几何探究
题型13 勾股定理与折叠问题
题型14 利用勾股定理证明线段平方关系
题型15 勾股定理的证明方法
题型16 以弦图为背景的计算题
题型17 用勾股定理构造图形解决问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 勾股定理的正向计算与基础应用
◆题型1 用勾股定理解三角形
1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在中，，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①、②都错误 D．①、②都正确
4．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，点是等边内一点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C． D．
6．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，垂足为，点在线段上，，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
◆题型2 已知两点坐标求两点距离
7．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，下列说法错误的是（ ）
A．点到轴的距离为4； B．点到轴的距离为3；
C．点到原点的距离为5； D．点到点的距离为．
8．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）．
A．点在第四象限，点在第二象限
B．点和点关于原点对称
C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点
D．两点间的距离是10
9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知点，，则线段的长为________
10．在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是_____________．
11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为________．
12．（25-26八年级上·上海·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为5，则_____________．
13．如图，正比例函数 与反比例函数 的图像相交于点A，其中点A 的横坐标为2，点C 是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作 ，轴，垂足分别为点D、点E．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果，求点 D的坐标；
(3)取的中点M，连结，试判断的形状，并证明你的结论．
◆题型3 勾股树（数）问题
14．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13
15．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（ ）
A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对
16．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为__________．
◆题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积
17．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A． B．2025 C． D．2026
18．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么_______．
20．（25-26八年级上·上海·期末）有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是_____．
◆题型5 勾股定理与网格问题
21．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
22．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
24．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________．
25．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）．
(1)由图①可知，则______，______．
(2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的）
◆题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
26．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
27．在中，斜边，则的值是（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
28．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______．
◆题型7 勾股定理与无理数
29．（25-26八年级上·上海·期末）如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ）
A．2.2 B． C． D．
30．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
31．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________．
32．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______．
考点二 勾股定理逆定理与直角三角形判定
◆题型8 判断三边能否构成直角三角形
33．（25-26八年级上·上海·期末）下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为 B．有一边的中线等于这边的一半
C．三边之比为 D．
34．（25-26八年级上·上海崇明·期末）在下列条件中：，②，③，④中，能确定是直角三角形的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
35．（25-26八年级上·上海·期末）已知的三边分别长为，且满足，则是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
36．（25-26八年级上·上海·期末）中，是两内角平分线的交点，；到的距离是_____．
37．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，连接，，取和的中点E、F，连接，求的长度．
38．（25-26八年级上·上海·期末）我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”，
(1)如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”；
(2)请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”，
并画出这个拼图．
画图要求：
①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙．
②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数．
◆题型9 在网格中判断直角三角形
39．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
40．图中，是直角三角形的序号是________．
41．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上．
(1)求线段和的长．
(2)是直角吗？请说明理由．
◆题型10 利用勾股定理的逆定理求解
42．如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为______．
43．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为_____度．
44．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积．
45．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
◆题型11 勾股定理逆定理的实际应用
46．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（ ）
A． B． C． D．
47．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______．
48．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，D是等边内一点，以为边作等边，连接，已知，，．求的度数．
49．（25-26八年级上·上海青浦·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
◆题型12 勾股定理逆定理的拓展问题
50．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
51．在中，，则（ ）
A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能
52．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
考点三 勾股定理的综合拓展与几何探究
◆题型13 勾股定理与折叠问题
53．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
54．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，，，D为上一动点，将沿着折叠，点C落到处．当时，______．
55．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是___________．
56．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段________．
57．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，D为边上一点，将沿着折叠，使点C落在边上，请用直尺和圆规作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，在中，，将沿着某条直线折叠，使得点A，B重合，折痕交于点P，请用直尺和圆规作出点P；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
◆题型14 利用勾股定理证明线段平方关系
58．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
59．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中，，且，如果是奇异三角形，那么______________.
60．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：．
(1)写出上述说理过程；
(2)试说明：．
◆题型15 勾股定理的证明方法
61．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，几乎不用文字解释，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．统计思想 D．公理化思想
62．意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
63．本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
64．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________
则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离．
◆题型16 以弦图为背景的计算题:
65．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
66．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．24
67．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和__________．
◆题型17 用勾股定理构造图形解决问题
68．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
69．我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长__________________．
70．（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【定理探究】
（1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
【实践应用】
（2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海·期末）在中，边上的高，那么另一边的长为多少（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，不能判定与全等的一组条件是（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
3．（25-26八年级上·上海金山·期末）已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列命题中，一定正确的是（ ）．
A．如果一个直角三角形的两条边的长分别为和，那么第三条边的长为；
B．如果一个直角三角形的面积为，那么斜边上的高可以为；
C．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形一定全等；
D．在直角三角形中，如果一条直角边等于另一条边的一半，那么这条直角边所对的角等于．
二、填空题
5．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，，平分，则_____．
6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________．
7．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）．
8．（25-26八年级上·上海·期末）在中，，，分别将，向内对折，使得，重合，折痕分别为，且分别交于点．若，则的长为_____．
三、解答题
9．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图：有一块由四条小路和围成的绿地，其中长长长长，．
(1)求绿地的面积（结果保留根号）；
(2)计划在绿地内部建一座凉亭，希望凉亭（用一个点来表示）到四个路口（即点和）的距离都相等：小海同学认为连接，线段的中点就是凉亭的位置：你同意他的观点吗？如果同意，试证明点到点的距离都相等；如果不同意，请说明理由．
10．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）综合与实践
数学小组在学习完“直角三角形”这一单元后，进行了研究．
发现：
（1）如图1，在和中，，，，点在线段上，连接、、则和的数量关系是________，和的位置关系是________．
深入研究：
（2）如图2和图3，将绕点旋转（旋转角），其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图4，若图2中的点落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的数量关系是________．
（4）如图5，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为________．
11．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）．
(1)解这个关于的一元二次方程；
(2)如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值；
(3)在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积．
12．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，
①若平分，且交轴于点，求直线的表达式；
②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标．
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