专题06 直角三角形性质、判定与角平分线（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册
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内容正文：
专题06 直角三角形性质、判定与角平分线
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、直角三角形的两个锐角互余
题型2、锐角互余的三角形是直角三角形
题型3、斜边上的中线等于斜边的一半
题型4、含30°角的直角三角形
题型5、角平分线的性质定理
题型6、角平分线的判定定理
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
直角三角形与角平分线性质是初中几何的核心工具，所有题型均围绕互余关系、斜边中线、30°角所对直角边、直角三角形判定、角平分线的性质与判定六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是用直角三角形的性质必先确认或构造出直角，二是用角平分线性质必须作出并标明点到两边的垂线段。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、直角三角形的两个锐角互余
题型模版
1.特征：已知直角三角形的一个锐角，或两锐角之间存在差、倍、比的关系，求另一个锐角的度数，常与高线、角平分线组合出现。
2.方法：先确认或构造出直角，写出两锐角之和等于90°；把已知条件转化为关于锐角的等式或方程求解；求出角度后回代检验，两角均小于90°且和恰为90°。
【例1】如图，，于点，于点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，，，于点E，．求∠B的度数，并判断的形状；
【变式1-1】如图，在中，，于点D，平分，、相交于点F，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在中，，，是边上的高，则的度数是________（度）．
【变式1-3】如图，在中，，，，、交于点，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
题型2、锐角互余的三角形是直角三角形
题型模版
1.特征：题目给出一个三角形中两角互余，即两角之和等于90°，或由条件可推出这一结论，要求判定该三角形为直角三角形。
2.方法：由两角互余推出第三角等于90°，再用“有一个角是直角的三角形是直角三角形”下结论；书写时先写清两角互余的依据，不可直接跳到结论，必要时配合图形标注。
【例3】如图，某商铺在竖直墙面上安装遮阳棚，墙面上的两个安装点为A、B，遮阳棚与斜撑杆相交于点C，从点C处垂下一根装饰挂件．若，，求证：是直角三角形．
【例4】如图，垂直于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求证：是直角三角形．
【变式2-1】若的边长分别为，，，它的三个内角度数分别为，，，且，则一定是（ ）
A．等腰或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【变式2-2】如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形．
【变式2-3】如图，在中，，点E在边上，，，．求证：．
题型3、斜边上的中线等于斜边的一半
题型模版
1.特征：已知直角三角形及斜边上的中线，或给出斜边中点与相关线段，求线段长、证明线段相等，也常反过来判定直角三角形。
2.方法：见到斜边中点优先连出中线，用“中线等于斜边的一半”把线段关系集中到斜边上；由此得到等腰或等边三角形，转化为角相等或求长度；逆用时须先证出该点是斜边中点。
【例5】如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，若的垂直平分线经过点，则__________
【例6】已知，如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式3-1】如图，已知，，为的中点，，则的度数是______．
【变式3-2】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，连接，点、分别是、的中点，连接．
(1)求证：；
(2)连接、，若，求的度数．
【变式3-3】如图，在中，，为边的中点，点在线段上，连接，，，．求证：．
题型4、含30°角的直角三角形
题型模版
1.特征：直角三角形中有一个角为30°或60°，求边长、周长、面积，或处理斜边与直角边之间的倍数关系，也常见于折叠、旋转图形中。
2.方法：抓住“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，设较短直角边为x，则斜边为2x，另一直角边为根号3倍的x；按此比例设元列式求值，再回代检验是否符合图形条件。
【例7】如图，在中，，将沿折叠，点，分别在边，上，使点落在点处，若，，则边的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【例8】如图，在中，，是上一点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求的长．
【变式4-1】如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具—“碓（）”的结构简图．已知交于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，，则点B到水平线l的距离为__________分米．
【变式4-2】如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【变式4-3】如图，在中，，点是边的中点，且，点是外一点，连接，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
题型5、角平分线的性质定理
题型模版
1.特征：已知角的平分线与角内一点，或图中出现角平分线上的点到两边的情形，要求证明两条垂线段相等，或由相等求线段长度、面积比。
2.方法：见角平分线就作出点到两边的垂线段，用“角平分线上的点到角两边的距离相等”直接得等量关系；再配全等三角形或勾股定理求值；结论中须说明这两条线段分别垂直于两边。
【例9】如图，为的角平分线，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例10】如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为________．
【变式5-1】如图，，分别平分和，过点E，且，点P为线段上的动点，连接．若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式5-2】如图，在中，平分，是的垂直平分线，于点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】如图，在中，，以点A为圆心，小于长为半径画弧分别交于点P、Q，又分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接交于点D．已知，则的面积是________．
题型6、角平分线的判定定理
题型模版
1.特征：已知角内一点到角两边的距离相等，要求证明该点在角的平分线上，或由这一条件确定点的位置、求角度。
2.方法：先补出点到两边的垂线段并标出相等，用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”下结论；书写时说明两条垂线段已证相等且分别垂直于两边，并指出该点在角的内部。
【例11】如图，点是外一点，连接，，过点作，垂足为，过点作交延长线于点．，，的面积为20．
(1)求证：是的角平分线．
(2)若，求证：．
【例12】如图，在和中，，，，分别交，于点，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【变式6-1】如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，在和中，，，，
(1)求证：；
(2)延长交于点，连接，请补全图形，并证明平分．
【变式6-3】如图，在中，，垂直平分，交于点E，交于点Q，垂直平分，交于点F，交于点R，连接．
求证：
(1)垂直平分．
(2)平分．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若，则的度数是_________．
2．如图，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则______．
3．如图，平分，于点，点在上，于点．若，，，则的长为__________．
4．如图，在中，，，为的高，为的角平分线．求的度数．
5．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形．
6．如图，在中，，，交于点，已知，求的长．
7．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
8．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结．
(1)试判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的度数．
9．已知：如图，，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长．
10．如图，，，过点D作于点 P．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
11．已知：在中，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．
(1)如图1，求证：点到三边，，所在直线的距离相等；
(2)如图2，连接，若，求的度数．
12．如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，、相交于点M．
(1)求证：．
(2)用含的式子表示的度数．
(3)【拓展设问】连接，求证：平分．
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专题06 直角三角形性质、判定与角平分线
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、直角三角形的两个锐角互余
题型2、锐角互余的三角形是直角三角形
题型3、斜边上的中线等于斜边的一半
题型4、含30°角的直角三角形
题型5、角平分线的性质定理
题型6、角平分线的判定定理
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
直角三角形与角平分线性质是初中几何的核心工具，所有题型均围绕互余关系、斜边中线、30°角所对直角边、直角三角形判定、角平分线的性质与判定六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是用直角三角形的性质必先确认或构造出直角，二是用角平分线性质必须作出并标明点到两边的垂线段。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、直角三角形的两个锐角互余
题型模版
1.特征：已知直角三角形的一个锐角，或两锐角之间存在差、倍、比的关系，求另一个锐角的度数，常与高线、角平分线组合出现。
2.方法：先确认或构造出直角，写出两锐角之和等于90°；把已知条件转化为关于锐角的等式或方程求解；求出角度后回代检验，两角均小于90°且和恰为90°。
【例1】如图，，于点，于点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意易得，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【例2】如图，，，于点E，．求∠B的度数，并判断的形状；
【答案】，等腰三角形
【分析】先在直角中求出，再利用平行线性质得到，结合，判定等腰三角形，最后用三角形内角和求．
【详解】解：，
．
，
．
，
．
又，
，
，是等腰三角形．
．
【变式1-1】如图，在中，，于点D，平分，、相交于点F，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，，可得，再由，可得，由平分，可得，最后根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式1-2】如图，在中，，，是边上的高，则的度数是________（度）．
【答案】
【分析】根据等边对等角求出，再利用三角形的高和三角形内角和定理即可求出，问题随之得解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
【变式1-3】如图，在中，，，，、交于点，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）首先利用直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形内角和定理求解；
（2）推出，然后等量代换证明即可．
【详解】（1）解：，
∴
∵
∴；
（2）略
题型2、锐角互余的三角形是直角三角形
题型模版
1.特征：题目给出一个三角形中两角互余，即两角之和等于90°，或由条件可推出这一结论，要求判定该三角形为直角三角形。
2.方法：由两角互余推出第三角等于90°，再用“有一个角是直角的三角形是直角三角形”下结论；书写时先写清两角互余的依据，不可直接跳到结论，必要时配合图形标注。
【例3】如图，某商铺在竖直墙面上安装遮阳棚，墙面上的两个安装点为A、B，遮阳棚与斜撑杆相交于点C，从点C处垂下一根装饰挂件．若，，求证：是直角三角形．
【答案】证明：，
，
∵，
，
，
，
是直角三角形．
【分析】根据平行线的性质求出，结合，求出，得出，即可证明．
【详解】略
【例4】如图，垂直于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求证：是直角三角形．
【答案】(1)．
理由如下：∵，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
(2)证明：∵，
∴
∴
∵
∴
∴是直角三角形．
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可；
（2）根据锐角互余的三角形是直角三角形证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2-1】若的边长分别为，，，它的三个内角度数分别为，，，且，则一定是（ ）
A．等腰或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【分析】由乘积为0的性质得两因式至少一个为0，分情况结合三角形相关性质判断形状．
【详解】解：∵，
∴或；
当时，
∵，
∴ ，
∴，为直角三角形；
当时，，为等腰三角形；
综上，一定是等腰或直角三角形．
【变式2-2】如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形．
【答案】证明：在中，
∵，
∴
由沿翻折得，
∴，
由沿翻折得，
∴
∴
即是直角三角形．
【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形．
【详解】略
【变式2-3】如图，在中，，点E在边上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质进行求证即可．
【详解】证明：，，
，，
∴，
∴，
，，
，
，
，即，
．
题型3、斜边上的中线等于斜边的一半
题型模版
1.特征：已知直角三角形及斜边上的中线，或给出斜边中点与相关线段，求线段长、证明线段相等，也常反过来判定直角三角形。
2.方法：见到斜边中点优先连出中线，用“中线等于斜边的一半”把线段关系集中到斜边上；由此得到等腰或等边三角形，转化为角相等或求长度；逆用时须先证出该点是斜边中点。
【例5】如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，若的垂直平分线经过点，则__________
【答案】5
【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出．
【详解】解：的垂直平分线经过点，
．
，
．
，
是直角三角形．
点是的中点，
．
．
【例6】已知，如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明：是边上的高线，
，
∵是边上的中线，
，
，
，
，
∵，
；
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）根据等边对等角得出，再结合三角形的外角性质得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，则，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
即，
∴，
∵是边上的高线，是边上的中线，
∴是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【变式3-1】如图，已知，，为的中点，，则的度数是______．
【答案】
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出，最后在等腰中求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即的度数是．
【变式3-2】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，连接，点、分别是、的中点，连接．
(1)求证：；
(2)连接、，若，求的度数．
【答案】(1)证明：连接和，如图，
∵、分别是边，上的高，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴为等腰三角形，
∵G是线段的中点，
∴；
(2)
【分析】（1）连接和，由题意知，结合直角三角形斜边中线的性质得，利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）根据题意得，由（1）知，结合中点得，即，根据等腰三角形的性质得和，利用三角形内角和定理和平角的定义即可求得．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
由（1）知，，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵
．
∴的度数是．
【变式3-3】如图，在中，，为边的中点，点在线段上，连接，，，．求证：．
【答案】证明：∵在中，，为边的中点，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得；利用三角形外角的性质可得，即；再根据等角对等边即可证明结论．
【详解】略
题型4、含30°角的直角三角形
题型模版
1.特征：直角三角形中有一个角为30°或60°，求边长、周长、面积，或处理斜边与直角边之间的倍数关系，也常见于折叠、旋转图形中。
2.方法：抓住“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，设较短直角边为x，则斜边为2x，另一直角边为根号3倍的x；按此比例设元列式求值，再回代检验是否符合图形条件。
【例7】如图，在中，，将沿折叠，点，分别在边，上，使点落在点处，若，，则边的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据折叠和角相等可得，再结合含角的直角三角形的性质求出，问题随之得解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
即在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴．
【例8】如图，在中，，是上一点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求的长．
【答案】(1)证明：，
．
，
在中，，
，
，
是等边三角形．
(2)
【分析】（1）根据直角三角形锐角互余求出的度数，再由等边三角形的判定证明即可；
（2）先导角得到，然后结合直角三角形的性质求解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知是等边三角形
．
，
，
，
，
．
，
．
，，
，
．
【变式4-1】如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具—“碓（）”的结构简图．已知交于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，，则点B到水平线l的距离为__________分米．
【答案】
【分析】过点作于点，根据垂直定义及角的和差关系求得，再利用含角的直角三角形性质求解即可；
【详解】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
即点到水平线的距离为分米．
【变式4-2】如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)证明：是等边三角形，是中线，
，且平分，，
∴，
，
，
，
，
则，
；
(2)
【分析】（1）先由等腰三角形三线合一可得，且平分，则，根据等边三角形，可知，由等腰三角形性质及外角性质求得即可得到；
（2）在中，由含直角三角形性质求出，再由等边三角形性质求周长即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
在中，，则，
，
，
是中线，
，
则的周长为.
【变式4-3】如图，在中，，点是边的中点，且，点是外一点，连接，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明：，
，
，
∵点是边的中点，
，
又，
是等边三角形
(2)4
【分析】（1）利用等边对等角以及三角形外角定理求出，然后再根据线段中点得出相等的边，最后利用等边三角形的判定定理得出结论；
（2）根据等边三角形的性质得出相关角的度数，得出直角三角形，然后利用证明三角形全等，最后用含角的直角三角形的性质求解．
【详解】（1）证明：略；
（2）解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
题型5、角平分线的性质定理
题型模版
1.特征：已知角的平分线与角内一点，或图中出现角平分线上的点到两边的情形，要求证明两条垂线段相等，或由相等求线段长度、面积比。
2.方法：见角平分线就作出点到两边的垂线段，用“角平分线上的点到角两边的距离相等”直接得等量关系；再配全等三角形或勾股定理求值；结论中须说明这两条线段分别垂直于两边。
【例9】如图，为的角平分线，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】作，垂足分别是，得出，再求出，即可求出结论．
【详解】解：作，垂足分别是，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
．
【例10】如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为________．
【答案】
【分析】过作于，通过角平分线的性质得到，接着证明，在中，利用角求得，最后得到的长．
【详解】解：如图，过作于，
平分，，，
，，，
．
，
，
．
，
，
．
【变式5-1】如图，，分别平分和，过点E，且，点P为线段上的动点，连接．若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】过点E作于点H，证明，由角平分线的性质得到，再根据垂线段最短可得答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于点H，
∵，，
∴，
∵分别平分和，，，，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴的最小值为1．
【变式5-2】如图，在中，平分，是的垂直平分线，于点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由角平分线的性质得，由判定，结合全等三角形的性质得，线段垂直平分线的性质得，再结合即可求解．
【详解】解：，，
，
平分，，，
，，
，
（），
，
是的垂直平分线，
，
（），
，
．
【变式5-3】如图，在中，，以点A为圆心，小于长为半径画弧分别交于点P、Q，又分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接交于点D．已知，则的面积是________．
【答案】5
【分析】作，再根据角平分线的性质得，然后根据得出答案．
【详解】解：过点D作，交于点E，
根据题意可知平分，，
∴，
∴．
题型6、角平分线的判定定理
题型模版
1.特征：已知角内一点到角两边的距离相等，要求证明该点在角的平分线上，或由这一条件确定点的位置、求角度。
2.方法：先补出点到两边的垂线段并标出相等，用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”下结论；书写时说明两条垂线段已证相等且分别垂直于两边，并指出该点在角的内部。
【例11】如图，点是外一点，连接，，过点作，垂足为，过点作交延长线于点．，，的面积为20．
(1)求证：是的角平分线．
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明：∵，的面积为20，
∴
∴
∵，
∴是的角平分线；
(2)证明：∵，
∴
又∵，
∴
∴
∵，
∴
∵又，
∴
∴．
【分析】（1）由三角形面积公式求出，然后利用角平分线的判定定理证明即可；
（2）证明，得到，然后证明，即可得到．
【详解】（1）略
（2）略
【例12】如图，在和中，，，，分别交，于点，，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【答案】(1)证明：，，
，
即，
在和中，
，
；
(2)证明：过点作于点，于点，如图所示：
由（1）知，
，，
则，
，
又，，
平分．
【分析】（1）由三角形全等的判定定理求证即可；
（2）由（1）中得到、，结合三角形面积公式得出，最后由角平分线的判定定理求证即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式6-1】如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长、，过D作三边的垂线，利用角平分线的性质证明平分的外角，结合三角形内角和定理求解．
【详解】解：延长至E，延长至F，过D作于E，于F，于G，如图：
平分，，．
．
，，
．
平分．
，．
．
．
，．
平分．
，
．
．
．
，平分．
，
在中，．
【变式6-2】如图，在和中，，，，
(1)求证：；
(2)延长交于点，连接，请补全图形，并证明平分．
【答案】(1)证明：在和中，
，
∴，
∴；
(2)解：补全图形如下，证明如下：
如图所示，过点A作于点M，于点N，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
【分析】（1）证明，即可证明；
（2）根据题意补全图形，过点A作于点M，于点N，证明，得到，据此可证明平分．
【详解】（1）略
（2）略
【变式6-3】如图，在中，，垂直平分，交于点E，交于点Q，垂直平分，交于点F，交于点R，连接．
求证：
(1)垂直平分．
(2)平分．
【答案】(1)证明：如图，
连接，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴在线段的垂直平分线上，
∵，
∴在线段的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴垂直平分；
(2)证明：如图，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，，
∵，
∴，
∴在的平分线上，
∴平分．
【分析】（1）连接，，根据垂直平分线的性质得，即可得在线段的垂直平分线上，再根据得在线段的垂直平分线上，即可得垂直平分；
（2）根据垂直平分，垂直平分，结合即可得，即可得平分．
【详解】（1）略
（2）略
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若，则的度数是_________．
【答案】
【分析】由线段垂直平分线的性质得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，然后根据角的和差关系即可求出．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．如图，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则______．
【答案】
27
【分析】先求出，再求出，再根据角平分线的性质求出，求出，即可得答案．
【详解】解：如下图，过点D作于点M，于点N，
，
，
，即，
解得，
平分，，，
，
，
．
3．如图，平分，于点，点在上，于点．若，，，则的长为__________．
【答案】
【分析】作于点，利用角平分线的性质得出，再利用等面积法求解的长．
【详解】解：如图，作于点，
平分，，，
．
，
，
．
4．如图，在中，，，为的高，为的角平分线．求的度数．
【答案】
【分析】根据高的定义，角的平分线的意义，三角形内角和，解答即可．
【详解】解：，，
；
为的角平分线，
，
为的高，
，
，
．
5．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形．
【答案】
证明：，
，
，，
，，
，，
，
是直角三角形．
【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可．
【详解】略
6．如图，在中，，，交于点，已知，求的长．
【答案】的长为4
【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而可得，再根据含的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，即．
∵，
∴，
∵，
∴
解得．
7．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明：由条件可知，．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
(2)
【分析】（1）根据直角三角形中线的性质以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证明，由已知条件得出，则由三线合一定理可证明结论；
（2）设．则．由三角形外角的定义得出，由等边对等角得出，再由三角形外角的定义得出，进而可求出答案．
【详解】（1）略；
（2）解：设．则．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，即，
∴，即．
8．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结．
(1)试判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
是直角三角形，理由如下
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴是直角三角形
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；
（1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形；
（2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解．
【详解】（1） 略
（2）解：∵，
设
∵
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．已知：如图，，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长．
【答案】(1)证明：连接，，
∵，点是的中点，
∴，，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
(2)3
【分析】（1）由直角三角形斜边上中线的性质得到，再由等腰三角形的“三线合一”即可证明；
（2）由直角三角形斜边上中线的性质得到，，根据等边对等角及三角形外角的性质得到，，因此可得，从而证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
10．如图，，，过点D作于点 P．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明：过点D作交延长线于点Q，
∵，又，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
(2)的长为．
【分析】（1）过点D作交延长线于点Q，利用证明，得到，即可得到平分；
（2）证明，推出，设，求得，根据，得到，结合已知，列式计算即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，，
∴，
∴，设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即的长为．
11．已知：在中，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．
(1)如图1，求证：点到三边，，所在直线的距离相等；
(2)如图2，连接，若，求的度数．
【答案】(1)证明：∵平分，点在上，
∴点到与所在直线的距离相等．
∵、、三点共线，
∴点到与所在直线的距离相等．
∵平分，点在上，
∴点到与所在直线的距离相等．
∵、、三点共线，
∴点到与所在直线的距离相等．
∴点到、、所在直线的距离相等．
(2)．
【分析】（1）两次使用角平分线的性质，把点到三边所在直线的距离都与到的距离联系起来；
（2）在中把、用的两个内角表示，由求出，再由角平分线的判定得到平分．
【详解】（1）略
（2）解：∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵由（1）知点到、所在直线的距离相等，且点在的内部，
∴平分．
∴．
12．如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，、相交于点M．
(1)求证：．
(2)用含的式子表示的度数．
(3)【拓展设问】连接，求证：平分．
【答案】(1)证明：，
，即，
在和中，
，
；
(2)
(3)证明：过点分别作于点，于点，
，
，，
，
，
又，，
平分．
【分析】（1）利用“”证明即可；
（2）由全等可得，设、交于点，利用三角形外角的性质，得出即可；
（3）过点分别作于点，于点，由全等可得，再根据三角形面积公式得出，即可得证．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，，
，
设、交于点，
，
；
（3）略
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