专题02 角平分线（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册
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内容正文：
专题02 角平分线
常考题型·精准突破
考点一 角平分线的作图及定理基础
题型1 作角平分线（尺规作图）
题型2 角平分线的性质定理
题型3 角平分线的判定定理
考点二 角平分线定理的实际应用
题型1 角平分线性质的实际应用
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 角平分线的作图及定理基础
◆题型1 作角平分线（尺规作图）
1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，依据尺规作图的痕迹，______．
【答案】
【分析】本题考查作角平分线与线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，由尺规作图痕迹可知，所作是线段的垂直平分线和的平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作是线段的垂直平分线和的平分线，
设线段的垂直平分线和的平分线相交于点，线段的垂直平分线交于点，
则，，，
为等腰三角形，
，
，
．
故答案为：．
2．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，那么__________．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，
∴，
又由作图可知是的角平分线，
∴，
∵的面积是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，依据尺规作图的痕迹，__________．
【答案】25
【分析】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的作法．由尺规作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案．
【详解】解：如图，标记点、点，
,
,
由尺规作图可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线，
，，，
，
，
．
故答案为：25．
4．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句）
【答案】
解：如图，点即为所求；
【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，线段的垂直平分线，涉及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
先连接线段，然后作出线段的垂直平分线，再作出两公路m、n夹角的角平分线，与线段的垂直平分线相交于点，根据角平分线的性质定理可知点E到m、n的距离相等和线段垂直平分线的性质知，即点为所求．
【详解】略
5．（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等．
(1)符合要求的位置有__________个；
(2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）；
(3)你的作图依据是__________．
【答案】(1)4
(2)
如图所示，、、、即为加油站的位置，
(3)角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质即可得出结论；
（2）利用角平分线的性质作出图形即可；
（3）利用角平分线的判定解答即可．
【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等，
故符合要求的位置有4个，
故答案为：4；
（2）略
（3）解：作图的依据是角平分线的判定定理，
故答案为：角平分线的判定定理．
6．（25-26八年级上·上海·期末）尺规作图：如图，已知，点在上，在的内部求作点，使点到直线的距离相等，且．（保留作图痕迹）
【答案】
如图所示为所求：
【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，线段的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图；作出的角平分线；再作出的垂直平分线，交于点，则，最后以点为圆心，的长为半径画弧交的角平分线于点，连接，可得．
【详解】略
7．如图，已知和边上一点E．
(1)求作一点P，使P到两边的距离相等，且；（不写作法，需要结论）
(2)设，，直接写出y关于x的关系式 ．
【答案】(1)
如图，点P即为所求；
(2)
【分析】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
（1）平分，作线段的垂直平分线交于点P，连接即可；
（2）根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
◆题型2 角平分线的性质定理
8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质与垂线段最短是解题的关键．
过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可．
【详解】解：如图，过点作，
则，
∴，
∵点为直线上的一个动点，
∴当时，最短，
∵是的平分线，
∴当时，，
∴线段的长不可能是2．
故选：A．
9．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可．
【详解】解：过点作，
则：，
∴，
∵点为直线上的一个动点，
∴当时，最短，
∵是的平分线，
∴当时，，
∴线段的长不可能是2．
故选：A．
10．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列命题中，正确命题的个数有（ ）
①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，则；
②在中，是边的中线，且，则是直角三角形；
③在中，若是边的中线，则；
④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据角平分线的性质，等边对等角，斜边上的中线，中垂线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：①当时，，原命题是假命题，不符合题意；
②在中，是边的中线，且，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；原命题为真命题，符合题意；
③在中，当时，若是边的中线，则；原命题为假命题，不符合题意；
④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，，则直线是线段的垂直平分线；原命题为假命题，不符合题意；
故选B．
11．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于__________．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
，平分，
，
的面积．
故答案为：．
12．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在中，，两锐角的角平分线交于点，当时，则点到边的距离为___________．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质定理，连接，过点P作，垂足分别为D，E，F，点P为三角形的内心，利用角平分线的性质和等面积法求解．
【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足分别为D，E，F．
由于点P是和的角平分线的交点，
根据角平分线的性质，点P到各边的距离相等，即．
设，则．
在中，，
．
又
．
因此，
解得．
故点P到的距离为2．
故答案为2．
13．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，是的角平分线，已知，，那么___________
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积．作于点E，于点F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式进行证明．
【详解】解：证明：作于点E，于点F．
因为是的角平分线，所以,
所以，
故答案为：．
14．（25-26八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，的平分线与的垂直平分线交于点，、，垂足分别为M、N，试探索与的大小关系，并说明理由．
【答案】，
连接，
∵的平分线与的垂直平分线交于点，
∴，
∵D为平分线上的点，、，
∴，
∴，
∴．
【分析】题目主要考查角平分线的性质、垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键．
连接，根据角平分线及垂直平分线的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质证明全等即可得出结果．
【详解】 略
15．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，是的外角的平分线上一点，．
(1)求证：；
(2)若是等腰三角形，，与交于点，求证：．
【答案】(1)证明：过点作于点，于点．
∵平分，，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，即．
(2)证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，（已证），
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【分析】（1）过点作于，于，利用角平分线性质得，结合，证明，从而得到．
（2）由得，由得，结合，通过角度推导得到，进而证明．
【详解】（1）略
（2）略
16．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知在中，．
(1)用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）；
(2)如果，点是边上一点，且，求的长．
【答案】(1)
如图，点即为所求；
(2)2
【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点．
（1）作出的平分线与的交点即为点，根据角平分线的性质定理即可求解；
（2）连接，先证明，则，再由直角三角形锐角互余得到，再证明为等腰三角形即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
◆题型3 角平分线的判定定理
17．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为______________．
【答案】/29度
【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵，，，
∴平分，
∴；
故答案为：．
18．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么________．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案．
【详解】解：过点作，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
19．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)
证明：，
，
在与中，
，
，
，
平分．
(2)
证明：在与中
，
，
，
，
，
，
∴，
∴
．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（2）先证明，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
20．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，过点作于，于且．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)
证明：∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴（直角三角形全等的判定定理），
∴，
∵，，
∴平分．
(2)
证明：∵在和中，
，
∴（直角三角形全等的判定定理），
∴，
∵
∴．
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由角平分线的判定定理即可证明；
（2）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由线段的和差即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
21．如图，△的和的外角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接，求证：平分；
【答案】(1)
(2)
证明：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示：
平分，平分，
，，
，
平分；
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，三角形内角和定理．
（1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分；
【详解】（1）解：，
，
，，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2） 略
22．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）作图：在的内部求作一点，使得点到射线的距离相等，且到点、点的距离相等（保留作图痕迹）．
【答案】
如图，点P即为所求．
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．作线段的垂直平分线，作的角平分线，两线的交点即为点P．
【详解】略
考点二 角平分线定理的实际应用
◆题型1 角平分线性质的实际应用
23．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三角形的内心 D．三角形的外心
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心．
故选：C．
24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，
∴应建在三条角平分线的交点．
故选：C．
25．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点．
【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形；
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点；
∴共有处可供选择的地址．
26．（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等．
(1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）；
(2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ．
【答案】(1)
、和如图所示：
(2)是锐角三角形
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答．
（2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形．
27．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积．
【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F，
分别平分，，
，
同理，
的周长是21，
，
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连接．交于点，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由是边上的高，，推导出，再根据角平分线性质定理，可判断A；假设一定成立，则，所以，推导出，可判断B；由，，根据三角形外角的性质，证得，再根据等角对等边，可判断C；根据平行线的性质和等边对等角，可证明，即可判断D．
【详解】解：∵是边上的高，，
∴，
，是的平分线，
∴，
∴，故A不符合题意；
假设成立，则，
，
∴，无此已知条件，
∴不一定成立，故B符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故D不符合题意．
2．如图，中，，于点D，平分，于点E，交于F，H是的中点，连接交于G．则结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】由可证可得可判断①正确．再证明以及等腰三角形的性质可进一步得出，可判断④正确，由角的关系得出是等腰三角形，可判断②正确，由全等三角形的性质可得则可得可判断③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求，可判断⑤正确，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确．
平分，，
．
又，即，
在和中，
，
，
．
由①知，
∴，故④正确．
是等腰直角三角形，是中点，
，．
，，
，
（等量代换），
（等角对等边），
是等腰三角形，故②正确．
由①，得（全等三角形对应边相等）．
．
又由④，得（全等三角形对应边相等）．
，故③正确．
平分，，
∴等于中边上的高h，
（高相同，约去），故⑤正确．
综上，①②③④⑤均正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质、角平分线性质定理及三角形面积公式的综合应用，熟练掌握全等三角形判定与性质、等腰三角形及角平分线相关定理是解题关键
3．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等
B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上
C．在中，，D是边的中点，则有
D．在中，若，则
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质等，根据知识点逐一判断即可．
【详解】解：A、角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，故A正确；
B、到角两边所在直线距离相等的点可能不在角的内部，不一定在角平分线上，故B错误；
C、在中，，D是中点，则是斜边中线，有，故C正确；
D、在中，，则，故D正确．
故选：B．
4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，延长至点，延长至点的角平分线交于点P，交于点，垂足分别为点M、N．则下列结论中正确的个数（ ）．
①平分；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
如图：过点P作于D，由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；证明，得出，同理可得，从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④；根据三角形的面积法可判断⑤．
【详解】解：①如图：过点P作于D，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴平分，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
由不一定等于，故②错误；
③∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，③正确；
④由②可知，，
∴，，
∴，④正确．
如图：过O作，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故⑤正确．
综上，①③④⑤正确，共4个．
故选：D．
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：
①；②；③当时，分别是的中点；④若，则．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定．熟练掌握这些性质与判定，并能灵活运用是解决此题的关键．
根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质、等腰三角形的判定可判断②；根据三角形三边关系可判断③；根据角平分线的性质定理可判断④．
【详解】解：∵分别是、的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
故②正确；
当时，，
即E、F不是中点，
故③错误；
如图，过点O作于点H，连接，
则，
∴
，
故④正确；
综上，正确的有①②④；
故选：A．
二、填空题
6．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，，则________．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，通过高相等，构建线段比例之间的关系是解题关键．
过点D分别向，作垂线，根据角平分线的性质定理，得到垂线段相等，从而利用垂线段相等，得到，再利用求解即可．
【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N，
∵是的平分线，
∴，
设点A到直线的距离为h，
则，，
∴，即，
故答案为：．
7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____．
【答案】/
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示：
由，分别平分，，于点，，
故，
故，
，
解得，
故答案为：．
8．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________．
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．用角平分线的性质定理求得，再利用等积法求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
过O分别作的垂线，垂足为D、E，连接，
∵O是和的平分线的交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得．
9．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，．平分，交于点D．点P在边上，连接，那么线段长度的最小值为________．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，解直角三角形及利用三角形面积求高．根据题意利用角平分线的定义及直角三角形得出，由垂线段最短得到时，的长度最小，过点D作，，证得和均为等腰直角三角形，设，利用三角形面积公式即可求得a值．
【详解】解：∵，平分，
∴，
又∵点P在边上，
∴当时，的长度最小，
如图，过点D作，，
∴和均为等腰直角三角形，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，解得，
∴长度的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题
10．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在直角三角形中，，点在边上，且平分．求证：．
【答案】
解：如图，作于点E，
∵平分，
∴，
在中，，
∴是斜边，是直角边，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形中三边的关系，利用三角形中三边的关系判断边长的关系是解题的关键．
首先根据平分结合角平分线的性质得到，再在中，是斜边，是直角边，判断的长度关系即可．
【详解】略
11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，是的平分线，，，，垂足分别为、、．求证：．
【答案】
证明：∵是的平分线，，，
∴，,
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质；是的平分线，可得,再证明可得,最后证明，即可得证．
【详解】略
12．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知．
(1)操作：
①在内部找一点，使点到两边所在直线的距离相等，且；
②连接、；
(2)猜想与之间满足怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
解：①如图，点即为所求；
②如图，、即为所求；
(2)
解：，理由如下：
如图，过点P作交延长线于E，作交于F，则，
∵平分，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）①作的角平分线，交的垂直平分线于点即可；
②连接、即可；
（2）根据作图得到，，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）略
（2）略
13．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等．
(1)用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点）
(2)后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米．
①求的长；
②求四边形的面积．（忽略道路的宽度）
【答案】(1)
根据题意，点Ｐ即为所求．
(2)①60米；②8000平方米．
【分析】（1）用尺规作的平分线，与的交点就是所求点Ｐ．
（2）①证明，后解答即可；
②根据梯形的面积公式计算即可．
本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的证明，梯形的面积，熟练掌握作图是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）①解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴米，
∴（米）；
②解：过点P作，垂足分别为点G，点E，
根据题意，得米，
∴四边形的面积为：（平方米）．
14．（25-26八年级上·上海·期末）已知，是的平分线，按以下要求解答问题：
(1)如图1，将三角板的直角顶点在射线上移动并绕着点旋转，两直角边分别与边、交于点、，求证：．
(2)将三角形的直角顶点在射线上移动，一直角边与边交于点，，
①如图2，若另一直角边所在的直线与边交于点，与的延长线交于点，使，求出此时的长．
②如图3，若另一直角边所在的直线与的延长线交于点、与边交于点，使，直接写出此时的长．
【答案】(1)
证明：如图，过点作于点，作于点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)①；②
【分析】（1）如图，过点作于点，作于点，根据角平分线的性质得，证明，即可得证；
（2）①设交于点，推出，继而得到，再根据直角三角形斜边中线的性质可得答案；
②如图，过点作于点，作于点， 根据角平分线的性质得，结合等腰三角形判定推出，证明得，，进一步推出，设，利用勾股定理推出，，最后得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①设交于点，
∵点是三角板的直角顶点，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即点是的中点，
∴，
此时的长为；
②如图，过点作于点，作于点，
∵点是三角板的直角顶点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，，，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
此时的长为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上中线的性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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专题02 角平分线
常考题型·精准突破
考点一 角平分线的作图及定理基础
题型1 作角平分线（尺规作图）
题型2 角平分线的性质定理
题型3 角平分线的判定定理
考点二 角平分线定理的实际应用
题型1 角平分线性质的实际应用
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 角平分线的作图及定理基础
◆题型1 作角平分线（尺规作图）
1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，依据尺规作图的痕迹，______．
2．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，那么__________．
3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，依据尺规作图的痕迹，__________．
4．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句）
5．（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等．
(1)符合要求的位置有__________个；
(2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）；
(3)你的作图依据是__________．
6．（25-26八年级上·上海·期末）尺规作图：如图，已知，点在上，在的内部求作点，使点到直线的距离相等，且．（保留作图痕迹）
7．如图，已知和边上一点E．
(1)求作一点P，使P到两边的距离相等，且；（不写作法，需要结论）
(2)设，，直接写出y关于x的关系式 ．
◆题型2 角平分线的性质定理
8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．
10．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列命题中，正确命题的个数有（ ）
①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，则；
②在中，是边的中线，且，则是直角三角形；
③在中，若是边的中线，则；
④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于__________．
12．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在中，，两锐角的角平分线交于点，当时，则点到边的距离为___________．
13．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，是的角平分线，已知，，那么___________
14．（25-26八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，的平分线与的垂直平分线交于点，、，垂足分别为M、N，试探索与的大小关系，并说明理由．
15．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，是的外角的平分线上一点，．
(1)求证：；
(2)若是等腰三角形，，与交于点，求证：．
16．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知在中，．
(1)用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）；
(2)如果，点是边上一点，且，求的长．
◆题型3 角平分线的判定定理
17．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为______________．
18．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么________．
19．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
20．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，过点作于，于且．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
21．如图，△的和的外角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接，求证：平分；
22．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）作图：在的内部求作一点，使得点到射线的距离相等，且到点、点的距离相等（保留作图痕迹）．
考点二 角平分线定理的实际应用
◆题型4 角平分线性质的实际应用
23．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三角形的内心 D．三角形的外心
24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
25．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
26．（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等．
(1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）；
(2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ．
27．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连接．交于点，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，于点D，平分，于点E，交于F，H是的中点，连接交于G．则结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等
B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上
C．在中，，D是边的中点，则有
D．在中，若，则
4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，延长至点，延长至点的角平分线交于点P，交于点，垂足分别为点M、N．则下列结论中正确的个数（ ）．
①平分；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：
①；②；③当时，分别是的中点；④若，则．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
6．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，，则________．
7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____．
8．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________．
9．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，．平分，交于点D．点P在边上，连接，那么线段长度的最小值为________．
三、解答题
10．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在直角三角形中，，点在边上，且平分．求证：．
11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，是的平分线，，，，垂足分别为、、．求证：．
12．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知．
(1)操作：
①在内部找一点，使点到两边所在直线的距离相等，且；
②连接、；
(2)猜想与之间满足怎样的数量关系，并证明你的结论．
13．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等．
(1)用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点）
(2)后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米．
①求的长；
②求四边形的面积．（忽略道路的宽度）
14．（25-26八年级上·上海·期末）已知，是的平分线，按以下要求解答问题：
(1)如图1，将三角板的直角顶点在射线上移动并绕着点旋转，两直角边分别与边、交于点、，求证：．
(2)将三角形的直角顶点在射线上移动，一直角边与边交于点，，
①如图2，若另一直角边所在的直线与边交于点，与的延长线交于点，使，求出此时的长．
②如图3，若另一直角边所在的直线与的延长线交于点、与边交于点，使，直接写出此时的长．
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专题02
角平分线
常考题型：精准突破
●考点一角平分线的作图及定理基础●
◆题型1作角平分线（尺规作图)
1.70
2.3.6
3.25
4.
解：如图，点E即为所求；
不EA
B。
D
m
5.(1)4
(2)
如图所示，
BBB、B即为加油站的位置，
(3)角平分线的判定定理
6
如图所示为所求：
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A
0--
—B
E
7.(1)
如图，点P即为所求：
A
(2)P=180-x
◆题型2角平分线的性质定理
8.A
9.A
10.B
11.8
12.2
3
13.2
14.BM=CN.
连接BD、CD,
M
的平分线与
的垂直平分线交于点，
B∈
∠BAC
BC
D
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∴BD=CD
D为∠BAC平分线上的点，DM⊥AB、DN⊥AC,
.DM DN,
,Rt△BDM≌RtACDN(HL)
.BM=CN
15.(I)证明：过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥CE于点N.
BN E
BD平分∠ABE,DM⊥AB,DN⊥CE,
.'DM =DN
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
DA=DC
DM=DN,
:.Rt△ADM≌Rt△CDN(HL)
.∠DAM=∠DCN,即∠DAB=∠DCB.
(2)证明：，AD=CD,
.∠DAC=∠DCA」
AC=BC,
∴.∠CAB=∠CBA,
B
E
:∠AFC=∠DCB+∠CBA,∠DAB=∠DCB(已证)，
.∠AFC=∠DAB+∠CAB
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.∠DAB+∠CAB=∠DAC,
.∠AFC=∠DAC.
.∠DAC=∠DCA,
.∠AFC=∠DCA.
.'AC=AF,
16.(1)
如图，点P即为所求；
D
(2)2
◆题型3角平分线的判定定理
17.29°129度
18.72
19.(1)
证明：EF⊥BC,∠A=90°、
.∠CEF=∠A=90°，
在Rt△ADF与RtAECF中，
AD=CE
DF=CF,
∴.RtA ADFS≌Rt△ECF(HL)
:AF =EF,
:EF⊥BC,FA⊥AB
∴BF平分∠ABC.
(2)
证明：在Rt△ABF与Rt△EBF中
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「AF=EF
BF=BF,
.RteABF≌RtEBF(HL)
.AB=BE,
AD=CE,
.AB-BD=BC-BE.
∴BE-BD=BC-AB,
.BE-BD=BC-BE,
BC+BD=2BE
20.(1)
证明：，CE⊥AB,CF⊥AD,
.∠BEC=∠F=90°，
:在RtACDF和Rt△CBE中，
CD=CB
DF=BE,
∴RtACDFS≌RtACBE(直角三角形全等的判定定理)，
.'.CF=CE,
.CE⊥AB,CF⊥AD,
.AC平分∠DAB.
(2)
证明：：在Rt△ACF和RtAACE中，
AC=AC
CF=CE,
:.Rt△ACF≌Rt△ACE(直角三角形全等的判定定理)，
.AF=AE,
BE=DF
.AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+BE+AE-BE=2AE.
5/10
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21.(1)∠BGC=60°
(2)
证明：过点G作GH⊥AE于点H,过点G作GM⊥AF于点M,过点G作GN⊥BC于点N,如图所示：
C
M
平分
平分
H门-
G
.BG
∠CBE CG
∠BCF
..GH=GN,GM=GN,
..GH=GM,
∴AG平分∠BAC:
22.
如图，点P即为所求。
●考点二角平分线定理的实际应用。一
◆题型1角平分线性质的实际应用
23.C
24.C
25.D
26.(1)
R、P和如图所示
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P2
(2)是锐角三角形
21.
63
综合攻坚知能拔高
一、单选题
1.B
2.D
3.B
4.D
5.A
二、填空题
6.5:6
8.3
9.2
三、解答题
10.
解：如图，作DE⊥AB于点E,
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E
B
D
:AD平分∠BAC,
.CD=DE
在△DEB中，∠DEB=90°，
.DB是斜边，DE是直角边，
.DB>DE,
.BD>CD
11.
证明：：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,
.DE=DF,∠DAC=∠DAB,
.AD⊥BC
.∠ADC=∠ADB=90°」
又，AD=AD,
△ADC≌△ADB(ASA)
.'DC=DB,
又，DE=DF,
Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
BE=CF」
12.(1)
解：①如图，点P即为所求：
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B
②如图，PB、PC即为所求：
(2)
解：∠PBA+∠PCA=180°，理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB交AB延长线于E,作PF⊥AC交AC于F,则∠E=∠PFC=90°，
:AP平分∠BAC,
∴PE=PF,
:点P在BC的垂直平分线上，
.'PB=PC,
△PBE≌△PCF(HL)
.∠PBE=∠PCF
,∠PBA+∠PBE=180°」
∴.∠PBA+∠PCA=180°
13.(1)
根据题意，点P即为所求
9./10
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B
(2)①60米；②8000平方米.
14.(1)
证明：如图，过点P作PH⊥OA于点H,作PN⊥OB于点N,
M
Hh__
ND B
.∠PHC=90°=∠PNO=∠PND,
.∠AOB=90°
.∠HPN=360°-∠PHC-∠AOB-∠PNO=90°，∠CPN+∠NPD=90°，
∴.∠HPC+∠CPN=90°.
.∠HPC=∠NPD」
:OM是∠AOB的平分线，PH⊥OA,PN⊥OB,
.PH =PN,
在△PCH和△PDN中，
「∠PHC=∠PND
PH=PN
∠HPC=∠NPD'
△PCH≌△PDN(ASA)
..PC=PD;
201:②2-1
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