精品解析：广东深圳西乡中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

深圳市西乡中学2026—2027学年第一学期高一期中考试 数学试卷 （全卷满分：150分；考试时间：120分钟．） 一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某同学调查了本校名同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有人观看了《蜘蛛侠》，有人观看了《八仙》，有人观看了《功夫女足》，有人观看了这三部电影，恰好有人观看了其中两部，则未观看任何一部电影的同学人数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题：，，：，，若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若直角坐标系内两相异点满足条件都在函数的图象上，关于y轴对称，则称点对是函数的一个“完美点对”（点对与看作同一个“完美点对”）．已知函数，则函数的“完美点对”有（ ）个 A. B. C. D. 二．多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 函数在上的值域为 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，使得” B. 若集合中只有一个元素，则 C. “，”是“”的充分不必要条件 D. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 11. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. ， C. 的最小值为 D. 的最小值为 三．填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为______． 13. 一次函数（），且，求_________. 14. 已知定义在上的函数满足：①时，，②，则_______________． 四．解答题：（本题共5小题，共77分．） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）判断在区间上单调性，并用定义法证明； （2）求函数在上的解析式； （3）求关于的不等式的解集. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出函数的图象，写出函数的单调递减区间并求函数的最大值； （2）解关于x的不等式． 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市西乡中学2026—2027学年第一学期高一期中考试 数学试卷 （全卷满分：150分；考试时间：120分钟．） 一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，，则. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断内层自变量落在哪一段，再算外层函数值． 【详解】因为，所以． 因为，所以． 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断各项函数的奇偶性，及在上的单调性． 【详解】对于A，由是奇函数，故A错误； 对于B，由满足，是偶函数，且在上单调递增，故B正确； 对于C，由是偶函数，但在上单调递减，故C错误； 对于D，由既不是奇函数也不是偶函数，故D错误． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 5. 某同学调查了本校名同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有人观看了《蜘蛛侠》，有人观看了《八仙》，有人观看了《功夫女足》，有人观看了这三部电影，恰好有人观看了其中两部，则未观看任何一部电影的同学人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合集合中的图直接求解即可. 【详解】由题知，记观看了《蜘蛛侠》的人为集合， 观看了《八仙》的人为集合，观看了《功夫女足》的人为集合， 作出如下的图， 所以未观看任何一部电影的同学人数为. 6. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若对任意，，当时，都有成立， 可知函数在定义域内单调递减， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 7. 已知命题：，，：，，若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先结合判别式法求出命题真假时的参数范围，再分类一真一假计算求解. 【详解】命题：，，当命题为真时，，即； ：，，当命题为真时，， 即或； 当命题为假时，；当命题为假时，即； 命题是真命题，是假命题时，； 命题是真命题，是假命题时，； 若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为 8. 若直角坐标系内两相异点满足条件都在函数的图象上，关于y轴对称，则称点对是函数的一个“完美点对”（点对与看作同一个“完美点对”）．已知函数，则函数的“完美点对”有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“完美点对”的定义，将问题转化为求解时方程的正根个数，即可得到完美点对的数量. 【详解】根据“完美点对”的定义，若为完美点对，设（）， 则其关于y轴对称的点需在图象上，即满足，， 当时，，此时， 代入的函数解析式得， 联立等式得：，整理为， 判别式，由求根公式得，解得，， 两个根均满足，且对应点对均为相异点对， 因此函数的“完美点对”共有个. 二．多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 函数在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项依据“若两个函数定义域和解析式都相同，则为相同的函数”进行判断； B选项利用基本不等式求最值时需要注意等号成立的条件； C选项利用换元法求解析式；D选项利用二次函数单调性求值域. 【详解】A选项：，解得，故的定义域为，且， ，解得，故的定义域为，故与定义域和解析式都相同，即与是相同的函数，A正确； B选项：令，则，， 且对勾函数在时单调递增，故，B错误； C选项：令，则，因为，所以， 即，C正确； D选项：二次函数关于对称，且在单调递减，在单调递增，故时；时，所以函数在上的值域为，D正确. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，使得” B. 若集合中只有一个元素，则 C. “，”是“”的充分不必要条件 D. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对a是否为0进行讨论；根据充要条件的判定对C进行判断；根据一元二次不等式的解法确定D的真假； 【详解】对于选项A：命题“，”的否定是“，使得，故A错误； 对于选项B：当时，集合只有一个元素，故B错误； 对于选项C：当，时，，充分性成立， 当时，可取，，此时不满足，必要性不成立， 所以，是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为关于的不等式的解集为， 所以且的两个根为和，代入解得， 代入不等式得， 因为，所以不等式等价于，解得，故D错误. 11. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. ， C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，根据等式条件即可判断；对于C，，根据基本不等式即可判断；对于D，，根据基本不等式即可判断. 【详解】 选项A：由基本不等式，，整理得， 当且仅当（即）时等号成立，故的最大值为，不是，A错误. 选项B：由，结合，可得，即，故，同理，B正确. 选项C：，当且仅当时等号成立，正确. 选项D：结合，可得，故， 当且仅当（即）时取等号，又，故取不到，D错误. 三．填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得且，解得且， 所以函数的定义域为． 13. 一次函数（），且，求_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入法，即可列方程求解. 【详解】， 故且，结合，解得， 所以 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足：①时，，②，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的性质求得，进而得，最后根据即可得. 【详解】由题设，则，可得， 所以，故. 四．解答题：（本题共5小题，共77分．） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【小问1详解】 由得或,即或, 所以. 当时,. 所以. 又因为,所以. 【小问2详解】 易知， ,而. 由知,且. 解得. 所以的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）判断在区间上单调性，并用定义法证明； （2）求函数在上的解析式； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）在上单调递增； 证明过程如下： 任取，则， 因为，所以，，即， 所以在上单调递增； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）任取，计算，判定其正负，根据单调性的定义，即可得出结果； （2）根据函数奇偶性，由题中条件，求出和时的解析式，即可得出结果. （3）先证明函数在上单调递增，结合函数性质化简不等式可得结论. 【小问1详解】 在上单调递增； 证明过程略； 【小问2详解】 因为时，有， 当时，，则， 又函数是定义在上的奇函数，所以， 则，所以， 因此，故； 【小问3详解】 因为函数为奇函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 所以不等式可化为， 所以， 解得， 不等式的解集为. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出函数的图象，写出函数的单调递减区间并求函数的最大值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）函数的图象： 函数的单调减区间为，取得最大值4； （2）或； 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值； （2）分段求解不等式，再求并集； 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出函数的图象： 由图象可知函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； 【小问2详解】 当时，，解得：，又，此时不等式无解， 当时，，解得：， 当时，，又，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【小问1详解】 因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. 【小问2详解】 分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 19. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）代入，利用二次函数的符号判断不等式的解集；（2）将不等式分解因式，按的取值及两根的大小关系分类求解；（3）分别求在上的最小值和在上的最大值，比较两者即可． 【小问1详解】 当时，，二次项系数小于，判别式 因此对任意均成立，不等式的解集为． 【小问2详解】 由，得即 当时，，故，解集为． 当时，原不等式化为，解集为． 当时，原不等式等价于 ①若，则，故或，解集为． ②若，则，原不等式等价于，解集为． ③若，则，故或，解集为． 【小问3详解】 因为，函数的图象开口向上，对称轴为，所以 又在上单调递减，所以 题设要求对任意、均有，等价于 解得，且符合． 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $