精品解析：广东省广州市执信中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年度第一学期 高一级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的考号填涂在符题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元一次不等式得到集合P的取值范围，再找出两个集合的公共元素即可得到交集. 【详解】对不等式的各部分同时加2，可得，即. 已知，不满足，故； 均满足，故均属于. 因此. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设幂函数（为常数）， 因为幂函数的图象经过点，所以， 解得，所以. 因此，即. 4. 若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合分式不等式的解法和充分不必要条件求解. 【详解】由题：可化简为且，解得. 由可推出，由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 7. 已知定义在上的奇函数，当时，满足，则的值为（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知是定义在上的奇函数，故。 当时，取代入，得， 因此. 8. 已知定义在上的偶函数，若对当时，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为偶函数，将不等式化为；根据得到在上单调递增，进而得到；两边平方整理得到一元二次不等式，求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 则不等式等价于不等式. 因为对且时，都满足， 所以与同号，故在上单调递增， 所以，即， 整理得，即， 解得或. 故不等式的解集为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求． 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】若，则，所以A正确； 若，且，则，所以B错误； 取，则，，所以C错误； 若，则，所以，即，所以D正确. 10. 设函数，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 方程有两个实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域分段讨论，分别代入对应的解析式计算. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，当时，，解得；当时，，解得，综上得.故B正确； 对于C，当时，，则，， 取特殊值验证，，, 此时，与选项描述矛盾，故C错误； 对于D，令，则即. 当时，，解得，此时无实根； 当时，，解得，再解. 当时，，解得，当时，，解得. 综上，有两个实数根和81，故D正确. 11. 若函数在区间上是增函数，且当时，的值域为，则称为的“倍增区间”，则（ ） A. 为的“1倍增区间” B. 函数存在“2倍增区间” C. 二次函数存在“3倍增区间” D. 若函数存在“倍增区间”，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：直接验证给定区间上函数的单调性，求出对应值域，对照新定义判断值域是否为；B：假设存在满足条件的区间，推出方程 应有两个不等实根，通过解方程检验根的个数进行判断；C：求解方程得到候选区间端点，再判断候选区间上函数的单调性，验证对应值域是否符合定义；D：依据间断点确定可取的单调区间，把方程整理为一元二次方程，利用根的分布限定两根落在同一分支内，列不等式组求出参数范围. 【详解】定义：若是增函数的倍增区间，则必有， 即方程存在两个不等实根，且在上单调递增. 选项A：在上是增函数，值域为，满足“1倍增区间”定义，A正确； 选项B：假设存在2倍增区间，则方程，解得，仅一个根，不存在两个不等实根，B错误； 选项C：假设存在3倍增区间， 令，整理得，两根为， 二次函数对称轴为，故在上是增函数，值域为， 符合“3倍增区间”定义，C正确； 选项D：在，上单调递增， 令，整理得，由韦达定理可知，若方程有根则必为正根， 所以，解得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：_____． 【答案】3 【解析】 【详解】. 13. 函数的最小值是_____． 【答案】## 【解析】 【详解】令，，则. 该二次函数开口向上，对称轴为，满足， 将代入函数，得，故最小值为. 14. 已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和，如，可求得和为：．对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】对于元素，包含的子集共有个，每个元素对总和的贡献为，求和即可. 【详解】对于元素，包含的子集分为只有或者从其余4个元素中选择，共有个， 每个元素对总和的贡献为， 因此 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，求： （1），； （2）． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【小问1详解】 由解得，故， 所以，； 【小问2详解】 因为集合，， 所以或，又 可得或． 16. 已知二次函数，． （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）或 （2）①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）通过对称轴与区间关系即可求解； （2）通过，和讨论求解即可. 【小问1详解】 二次函数的对称轴为， 由于在上具有单调性，则或， 解得或． 【小问2详解】 由得， ①当，即时，解集为， ②当，即时，解集为， ③当，即时，解集为． 综上：当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为． 17. 如图，学农基地计划开辟一块矩形实践园地，实践园地内包含一块矩形的试验田，其中点在对角线上，，．经测量米，米．设的长为米． （1）试用表示的长度； （2）现需要沿着实践园地的四周增设围栏，要求围栏的长度不超过米，求的取值范围； （3）若希望实践园地的占地面积最小，问：应取什么值，最小面积为多少？ 【答案】（1）米 （2） （3）米，最小面积为平方米 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例，可得的长度； （2）由题意可得一元二次不等式，解不等式可得的取值范围； （3）直接用基本不等式可得矩形面积的最小值及相应的值. 【小问1详解】 因为米，米，所以米， 又因为四边形和都是矩形，所以， 由平行线分线段成比例，，且米 所以米． 【小问2详解】 设矩形实践园地的围栏的长度为， 则， 即，，即，解得． 因此的取值范围为. 【小问3详解】 设矩形实践园地的面积为，且， 则， 当且仅当，即时取等号， 故当矩形实践园地的面积最小时，米，最小面积为平方米． 18. 已知函数． （1）若，求实数的取值范围； （2）若函数是奇函数，求实数的值； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）， 在上是增函数， 又， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）代入解析式后解指数不等式即可求得答案； （2）由奇函数的定义即可求得的值； （3）由解析式得到函数单调性，且由解析式化简求得的值.由题意得，再借助单调性得到不等关系，借助的值整理不等式，即可求证. 【小问1详解】 ，，即，，，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由已知，，因为是奇函数， ，解得． 当时，，． 为奇函数，综上，若为奇函数，实数的值为． 【小问3详解】 略 19. 已知集合． （1）证明：，； （2）证明：任何奇数都是集合中的元素； （3）若将集合中的所有正整数从小到大排列，试求第2026个正整数． 【答案】（1）因为，所以， 因为，所以． （2）任意奇数可表示为，， 因此可知任何奇数都是集合中的元素． （3）2701 【解析】 【分析】（1）由证明； （2）由证明； （3）先得出能写成整数平方差的正整数为奇数或的倍数，每个连续正整数里有个满足条件，再用带余除法确定组数与位置，算出第 项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 且，同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是4的倍数． 因为相邻的4个整数中必有两个奇数和一个4的倍数， 所以这4个数中有3个是集合的元素， 因为， 所以中第2026个正整数是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 高一级数学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的考号填涂在符题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数，当时，满足，则的值为（ ） A. 8 B. C. 2 D. 8. 已知定义在上的偶函数，若对当时，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求． 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设函数，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 方程有两个实数根 11. 若函数在区间上是增函数，且当时，的值域为，则称为的“倍增区间”，则（ ） A. 为的“1倍增区间” B. 函数存在“2倍增区间” C. 二次函数存在“3倍增区间” D. 若函数存在“倍增区间”，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：_____． 13. 函数的最小值是_____． 14. 已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和，如，可求得和为：．对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，求： （1），； （2）． 16. 已知二次函数，． （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 17. 如图，学农基地计划开辟一块矩形实践园地，实践园地内包含一块矩形的试验田，其中点在对角线上，，．经测量米，米．设的长为米． （1）试用表示的长度； （2）现需要沿着实践园地的四周增设围栏，要求围栏的长度不超过米，求的取值范围； （3）若希望实践园地的占地面积最小，问：应取什么值，最小面积为多少？ 18. 已知函数． （1）若，求实数的取值范围； （2）若函数是奇函数，求实数的值； （3）证明：当时，． 19. 已知集合． （1）证明：，； （2）证明：任何奇数都是集合中的元素； （3）若将集合中的所有正整数从小到大排列，试求第2026个正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $