精品解析：北京工业大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 高一年级 数学学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得. 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以命题的否定为“”. 故选：D. 3. 设 ，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案. 【详解】 ， 故， 故选：C 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中间值，比较这三个数的大小. 【详解】，， ，， ，， . 故选：B. 5. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由可得，所以两边同除以可得，即，A说法错误； 选项B：由可得，所以，即，B说法错误； 选项C：由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，与矛盾， 因此等号不成立，，C说法正确； 选项D：由可得，，显然，D说法错误； 故选：C 6. 以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，根据初等函数的单调性判断单调性. 【详解】对于A，，所以是偶函数，在单调递减，故A错误； 对于B，函数定义域为，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故B错误； 对于C，，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故C错误； 对于D，，所以是偶函数，在单调递增，故D正确. 故选：D 7. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A：根据零点存在性定理分析判断；对于BCD：根据函数值的符号分析判断. 【详解】函数， 对于选项A：因为，， 所以在内存在零点，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故B错误； 对于选项C：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故C错误； 对于选项D：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故D错误； 故选：A. 8. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足,令, . 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 9. “不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可. 【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”， 显然不满足题意， ∴，解得， 对于A，是充要条件，故A错误； 对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确； 对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 10. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根号下大于等于0和对数真数大于0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故答案为：. 12. 已知幂函数的图象过点，则________，________. 【答案】 ①. ②. 27 【解析】 【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值． 【详解】设幂函数，由图象过点，有，解得， ∴；∴． 故答案为：；27． 13. _____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得. 【详解】因为，， ，， ， 故答案为：. 14. 设集合，且，则的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况讨论即可求解. 【详解】因为，所以， 由可得， 当时，解得：或， 若时，，满足， 若时，，满足， 当时，解得：，不满足集合的互异性； 所以的值为或； 故答案为：或 15. 如图，函数的图象为折线，函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ①； ②函数在内有且仅有3个零点； ③； ④不等式的解集. 其中正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可判断①，根据题意推出函数为周期函数，根据周期结合在上的图象可得函数的零点判断②，根据周期及奇函数的性质结合在上的图象判断③，利用数形结合求出不等式的解集判断④. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以，故，即，故①正确； 又，所以，所以， 由图象可知，令，所以，令则，令则，故函数在内有共5个零点，故②错误； 因为，，， 由图象可知，，即，又， 所以，故③不正确； 由图象，利用待定系数法可知， 在同一坐标系下，作出，的图象如下， 由图易知，， 所以结合图象知不等式的解集，故④正确. 故答案为：①④ 三、解答题（本大题共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知全集，集合，集合 （1）求 （2）若集合，且满足，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到A，B，再求交集即可. （2）由，可得，利用含参集合间的关系求解即可. 【小问1详解】 由题，， ，等价于， 解得，故， 所以 【小问2详解】 由可得，， ①当，即，即时，满足条件； ②当时，有，解得， 综上，，故实数m的取值范围为 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，； （1）已知函数部分图象如图所示，请将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间； （2）求出函数的解析式； （3）若关于的函数有且只有4个不同的零点，求实数的取值范围.（只需写出结论） 【答案】（1） 函数的图象，如图所示： 由图象可得，函数的递减区间为，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出函数的图象，结合图象写出单调递减区间； （2）设，则，求得，进而求得函数的解析式； （3）根据题意，转化为函数与的图象有4个不同的交点，结合图象，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 因为函数是上的上的偶函数，且当时，， 可得， 所以函数的解析式为. 【小问3详解】 解：关于的方程有且仅有4个不同的零点， 即方程有且仅有4个不同的实数根， 即函数与的图象有4个不同的交点， 结合图象知，当时，此时函数与的图象有4个不同的交点， 所以实数的取值范围为. 18. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）， （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由题可得，b是方程的根，结合题意列式即可求解； （2）由题可得，分类讨论两根的大小关系，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由的解集为，则，b是方程的根，且． 由，解得；又由，解得． 所以，． 【小问2详解】 由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数. （2） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）任取，，且，用作差法判断，的大小，即可证结论； （3）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上单调递增，又，， 所以不等式，即，即， 即，又恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 20. 已知函数，，的定义域为. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. （3）若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入解析式即可求解； （2）令，根据复合函数的单调性结合指数函数和二次函数的单调性即可求解； （3）首先将问题转化为，利用函数单调性求出，问题进一步转化为存在，，最后分离参数，利用基本不等式求出函数在的最小值即可求解； 【小问1详解】 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 令，在上单调递减，所以， 则， 因为函数在区间上单调递增，则外层函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. 【小问3详解】 若，，使得成立，则， 函数在上单调递增，所以在上的最大值为， 则不等式即为存在，， 化简得，而，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最小值为2，因此，故的取值范围为. 21. 已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数. （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合 ①求证：； ②求的最小值. 【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3； （2）①显然. 若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即 . 若，且，则 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素. 所以. 因为， 所以，即. 综上，. ② 【解析】 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证； ②结合①知，讨论若，或，得，若，且，设，，可证得的最小值是 【详解】（1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3. （2）①略 ②由①知. 所以 若，或，则 若，且，设， 且，， 则， 若， 因为， 所以这个数一定在 集中C中，且均不等于1. 所以 所以 当，时， 所以的最小值是 【点睛】关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得，进而进行分情况讨论可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 高一年级 数学学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设 ，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 8. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 9. “不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 10. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是__________. 12. 已知幂函数的图象过点，则________，________. 13. _____． 14. 设集合，且，则的值为__________. 15. 如图，函数的图象为折线，函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ①； ②函数在内有且仅有3个零点； ③； ④不等式的解集. 其中正确结论的序号是__________. 三、解答题（本大题共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知全集，集合，集合 （1）求 （2）若集合，且满足，求实数m的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，； （1）已知函数部分图象如图所示，请将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间； （2）求出函数的解析式； （3）若关于的函数有且只有4个不同的零点，求实数的取值范围.（只需写出结论） 18. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 20. 已知函数，，的定义域为. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. （3）若，，使得成立，求实数的取值范围. 21. 已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数. （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合 ①求证：； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $