精品解析：北京市昌平区第一中学2026-2027学年高一上学期期中数学试题

2026北京昌平一中高一（上）期中 数 学 满分：150分 考试时长：120分钟 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而可求. 【详解】由，可得，解得或， 所以或，所以. 故选：C. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行解答即可. 【详解】因为特称命题的否定是将变为，然后对结论进行否定， 即为. 故选：C. 3. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断. 【详解】解：对A，令，，此时满足，但，故A错； 对B，令，，此时满足，但，故B错； 对C，若，，则，故C错； 对D， ， 则，故D正确. 故选：D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：函数的定义域为，关于原点对称， 对定义域内任意，有，因此该函数为奇函数，不满足“偶函数”的要求，故A错误； 选项B：函数的定义域为，关于原点对称，对任意，有，因此该函数为偶函数； 该函数是开口向下的二次函数，对称轴为直线，因此在区间上单调递减，同时满足两个要求，故B正确； 选项C：函数的定义域为，对任意，有，既不满足，也不满足， 因此该函数为非奇非偶函数，不满足“偶函数”的要求，故C错误； 选项D：函数的定义域为，关于原点对称，对任意，有，因此该函数为偶函数； 但在区间上，，函数单调递增，不满足“在上单调递减”的要求，故D错误. 5. 已知函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当二次函数开口向上时，函数在对称轴的右侧单调递增. 【详解】二次函数的对称轴为：，在上单调递增， 因为在区间 上为增函数，所以，即. 6. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数 ， 令，则， 设，， 则不等式 的解集为图像在上方时对应的的取值集合， 根据两个函数的图像特征，这两个函数图像只能有两个交点， 观察得，， 根据图像特征可知当或时图像在上方， 即不等式 的解集是. 7. 设 ，则 的大小关系一定是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】D 【解析】 【分析】根据可分三种情况讨论：，根据指数函数的单调性分析出每一种情况下的大小关系. 【详解】当时，代入等式得，整理得，解得，此时，即时等式成立； 当时，因为单调递增，所以，即， 由于底数，所以； 当时，因为单调递增，所以，即， 由于底数，所以； 故 的大小关系无法确定. 8. 对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解. 【详解】解：， 即， 即 又 当且仅当“”，即“”时等号成立， 即， 故. 故选：C. 9. 函数 在区间 上的图像是连续不断的，则“函数 在区间 上没有零点”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若在上没有零点，且在上连续，则在上不变号，即，充分性成立. 反之，例如，，，，但在上有零点，必要性不成立. 故“函数在区间上没有零点”是“”的充分而不必要条件. 10. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中 为种群起始个体数量， 为增长系数， 为时刻 的种群个体数量.当 时，种群个体数量是起始个体数量的 倍.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时数量翻倍得，再利用把问题化为与相乘，直接求得. 【详解】由，得. 又， 故. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数 的定义域是________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得且，解得且， 故定义域为. 12. 已知是关于的方程的两个实根，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】用韦达定理表示两根之和与两根之积，再由倒数之和为列出关于的方程求解，最后用判别式检验实根条件并排除增根. 【详解】由韦达定理，得，，且. 由，得，即， 整理得，解得或. 当时，方程为，判别式，无实根，舍去； 当时，方程为，且，符合题意. 13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时，.当 时，_________________________；若函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义求出时的函数解析式，再结合分段函数的图象特征，分析直线与的交点个数，进而确定有3个不同零点时的取值范围. 【详解】 当时，，可得 ， 由奇函数性质，因此 ， 即当时， ； 由函数是定义在上的奇函数，得，所以， 有 个不同的零点等价于 方程有 个不同的实数解， 等价于函数的图象与直线有3个不同的交点， 作出的图象，由图可知，实数的取值范围是. 14. 已知，当 时， 的单调递减区间为________；若 存在最小值，则实数 的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合指数函数单调性和二次函数的单调性求解单调区间；分和两种情况讨论函数单调性求解. 【详解】当时，， 当时函数单调递增， 当时函数， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数的单调减区间为； 因为函数， 当并且，所以函数在上单调递增，，没有最小值； 当，要想函数有最小值则满足即. 15. 设为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数.某校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为.已知物理，化学，生物，地理，物理，化学，思想政治，历史，地理. 给出下列四个结论： ①若，则思想政治，历史，生物； ②若，则思想政治，地理，化学； ③若，则地理，生物，化学； ④若思想政治，物理，地理，则. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】④ 【解析】 【分析】用共同选考的科目数表示差异值，先列出所有可能的差异值，再用题设的选科逐项核对条件和结论. 【详解】设为任意两人的选科集合.由于每人选考3门，.记，则. 由集合的元素个数关系，，所以. 当时，. 当时，. 当时，. 当时（即两人的选科集合相同），. 甲、乙同选物理、化学两门，乙、丙只同选地理，甲、丙没有共同选科.因此，，. ①乙、丙的实际差异值为，不等于1，条件不成立，不选. ②实际有，与②要求的大小关系相反，条件不成立，不选. ③条件要求，即甲、丁恰好同选一门.若丁选思想政治、历史、物理，则甲、丁只同选物理，满足条件，但丁的选科与③的结论不符，不选. ④按给定的选科，乙、丁同选地理、物理两门，甲、丁只同选物理，故，④成立. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 求值： 【答案】 【解析】 【分析】根据指数、对数运算性质运算求解即可。 【详解】因为， 所以， 所以 17. 设全集 ，集合 ，. （1）当 时，求 ； （2）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1）， （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）解不等式求出，，从而求出并集及补集； （2）分三种情况，列出不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 由解得，故， 当 时，， 所以 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，满足； 当时，不等式的解为，即， 因为，所以，解得； 当时，， 因为，所以，即符合题意； 综上，的取值范围为. 18. 已知函数. （1）证明：为偶函数； （2）用定义证明：是上的减函数； （3）当时，求的值域. 【答案】（1）函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数； （2）当时，， 取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，即， 故是上的减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义证明即可； （2）根据单调性定义证明即可； （3）结合（1）（2）可得函数在区间上单调递增，进而计算可得值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 故函数在区间的值域为. 19. 某农场要安装一个可使用 10 年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费 （单位：万元）与太阳能电池板面积 （单位：平方米）之间的函数关系为（ 为常数）.已知太阳能电池板面积为 5 平方米时，每年消耗的电费为 20 万元.安装这种供电设备的工本费为 （单位：万元）.记 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场 10 年消耗的电费之和. （1）求出 的解析式； （2）当 为多少平方米时， 取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）； （2）当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知时，代入即可求得的值，进而求解的解析式；再根据题意可知，由此化简可得的解析式. （2）分段讨论的最小值，分别利用函数的单调性及均值不等式求解函数最小值即可. 【小问1详解】 根据时，，而当时，， 代入可得：，解得：， 所以，由， 所以 【小问2详解】 当时，，此时在上单调递减， 所以. 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故. 综上所述，由于，所以，此时. 故当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 20. 已知二次函数. （1）若函数有两个零点，其中一个零点大于，另一个零点小于，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用开口向上的二次函数的零点分布规律，结合题意解即可求得答案； (2)通过分析二次函数在闭区间上的最小值，按对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，求解恒成立条件下的参数范围 【小问1详解】 解：对于二次函数，函数图象开口向上，对称轴为 因为函数有两个零点，其中一个零点大于，另一个零点小于， 所以，处的函数值小于0 因为，令，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：因为恒成立，所以， 当时，在单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得，所以； 当时，在单调递减，，解得，所以，无解； 综上，实数的取值范围为. 21. 已知函数 的定义域为 ，且当 时，.对任意 ，定义集合 （1）若当 时，，求 ； （2）若是奇函数，，且，证明： ； （3）设满足：① 若，则 ；② 当 时，.证明： . 【答案】（1） （2）为奇函数且定义域为，故； 对，，于是 因此，，； 且在与上分别严格递增， 由 且 ，分以下两种情形比较， 情形 1：若，此时，且， 若 ，由得，故，于是， 若，满足条件，且。 情形 2：，此时，故， 只能（ 时 ， 被 排除）， 由得，于是， 综上可得，得证. （3） 由条件②，当时，即不成立， 故内的均不属于 ，另一方面，任取， 当时，于是 ， 即 ；由知这段步长都落在 内， 若 ，在条件①中取 便得， 取 ，则 ，由上段知，从而， 即；但，由条件②又得，矛盾， 故对一切都有，若，由（）， 可取充分接近，使，与上式矛盾，所以，即. 【解析】 【分析】（1）换元 ，按 与 分段解不等式； （2）先求出 在 、、 三种情形的显式表达，再按 符号比较； （3）条件②表明不含内的步长；而由时,递增，对 有，且,条件①把二者连起来：若，则 ，于是整个落进，与条件②矛盾,即可求证. 【小问1详解】 由 ，按定义 令，则取遍，且。 当时，，由 及 严格递增，得 ，故 ， 当时，，由得，故， 综上可得，结合，得,故 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京昌平一中高一（上）期中 数 学 满分：150分 考试时长：120分钟 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 3. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 设 ，则 的大小关系一定是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 8. 对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 函数 在区间 上的图像是连续不断的，则“函数 在区间 上没有零点”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中 为种群起始个体数量， 为增长系数， 为时刻 的种群个体数量.当 时，种群个体数量是起始个体数量的 倍.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数 的定义域是________. 12. 已知是关于的方程的两个实根，且，则________. 13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时，.当 时，_________________________；若函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是________ 14. 已知，当 时， 的单调递减区间为________；若 存在最小值，则实数 的取值范围是________. 15. 设为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数.某校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为.已知物理，化学，生物，地理，物理，化学，思想政治，历史，地理. 给出下列四个结论： ①若，则思想政治，历史，生物； ②若，则思想政治，地理，化学； ③若，则地理，生物，化学； ④若思想政治，物理，地理，则. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 求值： 17. 设全集 ，集合 ，. （1）当 时，求 ； （2）若 ，求 的取值范围. 18. 已知函数. （1）证明：为偶函数； （2）用定义证明：是上的减函数； （3）当时，求的值域. 19. 某农场要安装一个可使用 10 年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费 （单位：万元）与太阳能电池板面积 （单位：平方米）之间的函数关系为（ 为常数）.已知太阳能电池板面积为 5 平方米时，每年消耗的电费为 20 万元.安装这种供电设备的工本费为 （单位：万元）.记 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场 10 年消耗的电费之和. （1）求出 的解析式； （2）当 为多少平方米时， 取得最小值？最小值是多少万元？ 20. 已知二次函数. （1）若函数有两个零点，其中一个零点大于，另一个零点小于，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 21. 已知函数 的定义域为 ，且当 时，.对任意 ，定义集合 （1）若当 时，，求 ； （2）若是奇函数，，且，证明： ； （3）设满足：① 若，则 ；② 当 时，.证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $