精品解析：北京市陈经纶中学2024-2025学年高一上学期期中诊断数学试卷

北京市陈经沧中学期中诊断 高一年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 全集为，集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“函数在上是减函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象与x轴只有2个公共点 C. D. 不等式的解集为 9. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 10. 对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（ ） A. 对于函数，有成立 B. 若是二次函数，且A是空集，则B为空集 C. 对于函数，有成立 D. 对于函数，存在，使得成立 二､填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分. 11. 函数的定义域是__________． 12. 计算__________. 13. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集是__________. 14. 已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是________． 15. 已知函数 （1）的值为_________； （2）当时，方程有且仅有一个实根，则实数的取值范围是__________. 三､解答题：本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 17. 某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． （1）请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； （2）在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 19. （1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 20. 已知函数的最小值不小于，且. （1）求函数的解析式； （2）函数在的最小值为实数的函数，若关于的方程无解，试确定实数的取值范围. 21. 已知集合A为数集，定义.若，定义：. （1）已知集合，直接写出，及的值； （2）已知集合，，，求，的值； （3）若.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经沧中学期中诊断 高一年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定可得出原命题的否定. 【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，熟悉全称命题的否定是判断的关键，属于基础题. 2. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在上单调递减，不符合题意，A选项错误. 的定义域是，所以B选项错误. 在上单调递减，不符合题意，C选项错误. 在上单调递增，符合题意，D选项正确. 故选：D 3. 已知、、，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法对各选项中不等式的正误进行判断. 【详解】对于A选项，当且，由不等式的性质可得，A选项中的不等式不正确； 对于B选项，当时，，又，由不等式的性质可得，B选项中的不等式正确； 对于C选项，取，，则，C选项中的不等式不正确； 对于D选项，取，，则，D选项中的不等式不正确. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质、比较法、函数单调性以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题. 4. 全集为，集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，，结合补集和交集的概念求出答案. 【详解】由，故，， 又， 故或，或. 故选：C 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在区间上的单调性可得出、的大小关系，从而可得出、、的大小关系. 【详解】指数函数为减函数，所以，，即， 幂函数在区间上为增函数，所以，，即. 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂大小的比较，考查了指数函数与幂函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 6. 设，则“”是“函数在上是减函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】函数在上是减函数，则. 所以“”是“函数在上是减函数”的充分而不必要条件. 故选：A 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 8. 设是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象与x轴只有2个公共点 C. D. 不等式的解集为 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数性质易知在上单调递减，且，再结合单调性和零点判断各项正误. 【详解】由题设，奇函数在上单调递减，且，A对，B错， 由在上单调递减，则，C对， 由上分析知：上，上， 所以的解集为，D对. 故选：B 9. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的性质可知，函数在上为减函数，再利用偶函数的性质将所求不等式化为，可得出，利用指数函数的单调性得出，解出即可. 【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增， 所以，函数在区间上为减函数， 由得，所以，， 即，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查利用偶函数的性质和单调性解函数不等式，同时也涉及了指数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10. 对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（ ） A. 对于函数，有成立 B. 若是二次函数，且A是空集，则B为空集 C. 对于函数，有成立 D. 对于函数，存在，使得成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给定义结合函数的性质一一判断即可； 【详解】解：对于A：函数，，故A正确. 对于B：若A是空集，则恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以无解，即B为空集，故B正确. 对于C：函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且.又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确. 对于D：函数，，，，故D错误. 故选：D 二､填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分. 11. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【详解】函数有意义，则：， 求解关于实数的不等式组可得函数的定义域为 点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 12. 计算__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数的运算法则和对数的换底公式可计算出所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数幂和对数的计算，涉及指数幂的运算律和对数换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得正确答案. 【详解】依题意，不等式的解集为或， 所以，所以， 所以不等式，即， 则，解得或， 所以不等式的解集. 故答案为： 14. 已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：函数f(x)＝是上的单调递减函数等价于，解之得，所以实数的取值范围为. 考点：分段函数的单调性. 15. 已知函数 （1）的值为_________； （2）当时，方程有且仅有一个实根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）计算出，可得出，再利用指数幂的运算法则和对数恒等式可求出的值； （2）作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出当直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点时实数的取值范围. 【详解】（1），即，. ，； （2）作出函数在区间上的图象如下图所示： 当直线过点时，；当直线过点时，. 由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点； 当时，直线与函数在区间上的图象至少有两个交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数的交点个数问题，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题. 三､解答题：本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合，进而求得. （2）根据，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的值. （3）根据集合的元素的个数进行列举，由此求得正确答案. 【小问1详解】 令，解得，， 当时，， 令，解得，， 所以. 【小问2详解】 由， ①当时，，符合题意， ②当时，，此时不满足， ③当时，， 若，则需，此时方程组无实数解. 综上，. 【小问3详解】 集合， 由（2）可知， 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，要使中有且只有三个元素， 而，则，则，. 所以或. 17. 某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． （1）请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； （2）在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 【答案】（1） （2）时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）A，B对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可； （2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值. 【小问1详解】 由题意，万元投入A产品，则万元投入B产品，则 ，. 【小问2详解】 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，公司利润最大. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 【答案】（1） （2） 由（1）得， 任取实数、，且 则 ，可得，且 ，即，函数在上为减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得； （2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，，即得函数在上为减函数； （3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围． 【小问1详解】 由已知 ，所以，解得 ，此时定义域是为奇函数. 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式化为， 是奇函数，则有， 是减函数，所以 所以恒成立，易知的最小值是 所以 19. （1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数图象得出解得结果； （2）分成，，，，五种情况讨论一元二次不等式的解集. 【详解】（1）∵R，为真命题， 则函数与x轴有交点， ∴，即，解得或． ∴实数的取值范围是或． （2）当时，不等式等价于，即； 当时，原不等式化为， 当时，即时，解得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或． 当时，原不等式化为， 解得． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20. 已知函数的最小值不小于，且. （1）求函数的解析式； （2）函数在的最小值为实数的函数，若关于的方程无解，试确定实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的条件列出与有关的不等式组，然后确定的取值，进而求出函数的解析式； （2）通过讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，求出函数的解析式，进而求出函数的值域. 要使得关于的方程无解，只需让实数的取值范围是函数值域的补集即可. 【小问1详解】 函数最小值不小于，则，即. 又因为，所以，即， 综上所述，. 所以. 【小问2详解】 因为的对称轴为，结合二次函数的性质可知， 当，即时，； 当，即时，； 当时，， 所以. 因为当时，， 当时，， 所以的值域为. 故要使得关于的方程无解，则必有. 21. 已知集合A为数集，定义.若，定义：. （1）已知集合，直接写出，及的值； （2）已知集合，，，求，的值； （3）若.求证：. 【答案】（1）,,; （2），; （3）证明如下： 由， 可得的值即为两集合中相异元素个数， 定义为集合A中元素个数， 则 令， ， , 则 则 ， 故有. 【解析】 【分析】（1）利用题给定义即可求得，及的值； （2）利用题给定义即可求得，的值； （3）先转化的含义，再利用文氏图即可证得成立. 【小问1详解】 集合， 则，， 【小问2详解】 集合，，， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $