第十七章 因式分解 单元检测 2026—2027学年人教版八年级数学上册

2026—2027学年上学期八年级数学第十七章因式分解章检测 满分120分 考试用时120分钟 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若为任意的整数，则代数式的值一定能（   ） A．被7整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除 4．下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 5．若，，则的值为（） A．8 B．－8 C．6 D．－6 6．已知实数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，8，，，m，分别对应下列六个字：爱，我，丰，城，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．丰城爱学 B．我爱丰城 C．丰城学校 D．我爱学校 8．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 9．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 10．若正数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解：_____________． 12．因式分解多项式：_____________． 13．如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______．    14．已知，，且，则__________ 15．分解因式：___________． 3、 简答题（本题共8小题，共75分） 16．（7分）一个四位自然数，若它的所有数位上的数字均不相同且均不为，千位数字与百位数字的和等于，十位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位自然数为“双十一数”．如：，∵，，是偶数，∴是“双十一数”． (1)最大的“双十一数”为 _________； (2)若一个“双十一数”被整除，的所有数位上的数字之和为，且的和被整除，则满足条件的M为 _________． 17．（7分）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 18．（7分）因式分解：． 19．（9分）分解因式：． 20．（9分）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解；． 解：原式……第一步 …………第二步 ………………第三步 ………………………第四步 (1)以上变形过程中，第一步运用了因式分解的 ． A．提公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)以上分解过程第 步开始出现错误，写出正确的分解过程． 21．（9分）因式分解 (1) (2)利用因式分解计算.已知:，，求的值． 22．（13分）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法，求的最小值． 解： ，当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的最小值． (3)已知，求的值． 23．（14分）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期八年级数学第十七章因式分解章检测 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C A D B C C C 1．D 【分析】本题考查因式分解的定义，即把多项式转化为几个整式的积的形式．需逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】解：A. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法而非因式分解，故错误． B. ，右边为乘积与常数相加的形式，未完全转化为积的形式，故错误． C. ，左边是单项式与多项式的乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，故错误． D. ，左边是二次多项式，右边分解为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义，故正确． 故选：D 2．C 【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④不能分解因式； 其中含有因式的多项式为：①②③，共3个， 故选C． 3．A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活应用平方差公式进行因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式进行因式分解，然后根据整除的定义即可解答． 【详解】解： ， 所以代数式的值一定能被7整除． 故选A． 4．C 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：和的公因式的是， 故选：C． 5．A 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键，先把化成，再把代入，即可求出的值． 【详解】解：，， 故选：A． 6．D 【分析】先由已知得，再将不等式变形，整体代入得，再由分别得到，，分别代入，解不等式即可得出答案． 【详解】， ， ， ， ∴， ∴， 由，得， ， ∴； 由得， ， ． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 又， ， ， ，对应汉字：丰、城、爱、我， 组合为“我爱丰城”， 故选：B． 8．C 【分析】先观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式配方后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求代数式配方得原式 ， ∵， 将代入上式得原式， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 10．C 【分析】整理方程可得：，，整理可得：，整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 为正数， ， 方程两边同时除以可得：， 两边平方可得：， ， ， ， ， ， ， ． 11． 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 将化为，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查分解因式，先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．220 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解： ． 故答案为：220． 14． 【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据，可得：，从而可得：，根据可得：，从而可得：，所以可求． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查因式分解，先分组得到，再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16． 【分析】（1）根据题目定义即可； （2）先根据“双十一数”M被7整除，M+F(M)的和被9整除，列出代数式．将代数式进行因数分解，从而找到M各数位上数字的代数关系．接下来，条件类题目不能直接确定答案时，需要分类讨论或分别代入验算，最终确定结果． 【详解】解：（1）要想这个数最大，则千位最大，且千位数字与百位数字的和等于， 所以千位数为9，则百位数为2， 十位也需要尽可能的大，因为各数位数字不相等， 所以十位为8，个位为6， 所以这个“双十一数”为9286， 故答案为：9286； （2）设四位数的千位数是，百位数是，十位数是，个位数是．、、、为大于小于等于的自然数，且． ，为自然数，， 的和被整除， 为自然数，， 为自然数，， 为自然数，， 、均能被整除， 也能被整除， 即n为自然数，n≠0)， 由“双十一数”M的定义知： ． 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，可以被整除， ． ， ，或，． “双十一数”被整除， 为自然数，， 即为自然数，， 为自然数，， 、、均能被整除， 也能被整除． 为自然数，， 当，时，为自然数，， ，， 双十一数，不符合题意，舍去； 当，时，为自然数，， ①，不符合题意，舍去)； ②，，“双十一数”． 故答案为：． 【点睛】这道题属于综合型题目，考查有理数概念、代数式的计算，通过因式分解、分类讨论、代入法等方法求得结果，需要学会熟练运用多种方法来求解． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18． 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式分解因式，先把展开，然后合并同类项再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 19． 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据提公因式法和平方差公式法求解即可． 【详解】解： 20．(1)B (2)三， 原式 【分析】（1）根据整体思想结合平方差公式的形式解答即可； （2）先根据平方差公式分解，再分别提出公因式确定错误的步骤，然后解答即可． 【详解】（1）解：将和都看成整体，符合平方差公式； （2）略 21．(1) (2)36 【分析】（1）直接提取公因式即可解答； （2）先根据平方差公式、完全平方公式进行因式分解，然后再将，代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了提取公因式因式分解、公因式法因式分解的应用等知识点，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出、、的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，有最小值． 答：的最小值为． （3）解： ， ， 根据偶次方的非负性可得， 解得 ． 答：的值为． 23．(1) (2) 解：，， ， ，， ， ； (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， 当时，由最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：； （2）略 （3）解：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $