精品解析：广东深圳市深圳市光明区四校联考2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

2026—2027学年上学期期中学业水平调研测试 九年级数学学科 一．选择题(共8小题，每题3分) 1. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为( ) A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，，在阳光下的影长，在同一时刻阳光下的影长，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线通过平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 8. 如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 17 D. 22 二．填空题(共5小题，每题3分) 9. 若，则______． 10. 如图，， ，则的长为________． 11. 若是一元二次方程的两根，则___________． 12. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则图象与轴的另一个交点坐标为___________． 13. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是___________； 三．解答题(共7小题，共61分) 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段上找一点，使得： （2）以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标 ． 16. 如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻，立柱，在路灯下形成的影子分别为与． （1）请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； （2）若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 17. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 19. 如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）与相交于点，若，，求的长． 20. 【教材回顾】（1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：，； 【类比迁移】（2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．若时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点且满足，点F是延长线上一点，连接交射线于点G，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期期中学业水平调研测试 九年级数学学科 一．选择题(共8小题，每题3分) 1. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图：从正面观察物体所得到的视图是主视图，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义解答即可得． 【详解】解：正六棱柱的主视图是， 故选：C． 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：把代入方程， 得， 即， 解得． 4. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【详解】解：∵  ∴  ∴  对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定． 5. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，，在阳光下的影长，在同一时刻阳光下的影长，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行投影性质得，利用对应边成比例求解． 【详解】解：连接，，如图： 太阳光线平行， ， ， 立柱垂直地面， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 6. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 7. 将抛物线通过平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”判断平移过程． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 17 D. 22 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴四边形的周长为． 二．填空题(共5小题，每题3分) 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可设，再将代入计算可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ． 10. 如图，， ，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 11. 若是一元二次方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得求解即可． 【详解】解：在方程中，，，， ∵是一元二次方程的两根，且， ∴． 12. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则图象与轴的另一个交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点坐标为，即． 13. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，如图，延长交的延长线于点H，先证明，可得，则，根据点E是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题(共7小题，共61分) 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法或配方法解方程即可． （2）利用配方法或公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 法一：， ， 或， ∴，． 法二：， 配方，得， 即． ∴． ∴，． 【小问2详解】 解： 法一：原方程可变形为， 配方，得， 即． ∴， ∴，． 法二：原方程可变形为， 这里，，，． ∵， ∴， ∴，． 法三：原方程可变形为， ， 或， ∴，． 15. 如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段上找一点，使得： （2）以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标 ． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，和即为所求，点对应点的坐标为或； 【解析】 【分析】（1）取格点，，使且，连接交于点，则点即为所求； （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻，立柱，在路灯下形成的影子分别为与． （1）请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； （2）若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【答案】（1） （2）7.5米 【解析】 【分析】（1）连接、，延长、交于点，连接，延长交于点； （2）利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 17. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设降价y元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，为250元， 答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 19. 如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）与相交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，， 为中点， ， ， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明得，可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； （2）连接，交于点，根据菱形性质得，，，进而得，，根据勾股定理得，继而得，再利用勾股定理求出，然后证明，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， 四边形为菱形， ，，， ，即，为中点， ，， ， ， ， ， ， ，即， ． 20. 【教材回顾】（1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：，； 【类比迁移】（2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．若时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点且满足，点F是延长线上一点，连接交射线于点G，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：延长交于于点H，如图， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． （2）； （3） 或 【解析】 【分析】（1）延长交于于点H，结合正方形的性质利用证明，和，证明即可； （2）延长交于于点H，结合矩形的性质得、和，在中，利用勾股定理得到，结合折叠的性质得和，即可证明得到和，即可求得，利用解直角三角形得到，在中利用求得，在中，利用勾股定理求得，即可得到； （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或， ①当时，过点E作交于于点P，延长交延长线于点H，结合菱形的性质得，，，令，，则．在中，利用勾股定理求得，在中求得．结合平行线得到和，求得和．进一步证明和，有求得，即可求得和，结合即可；②当时，．由①知和，则有和得到，求得和、，利用即可． 【详解】解：（1）略 （2）延长交于于点H，如图， 在矩形中，，，， ∵，，， ∴，，， ∴在中，． ∵沿折叠得到， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴． （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或， ①当时， 过点E作交于于点P，延长交延长线于点H，如图， 在菱形中，， ∴，，， ∵， ∴令，，则． 在中，， ∴，， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴． ②当时，． 由①知，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、平行线的判定和性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉相似三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $