精品解析：广东省深圳市光明区实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

深圳市光明区实验学校（集团）2025－2026学年第一学期 十月素养提升九年级数学试题 本试卷共6页，20题，满分100分，考试用时90分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同． 故选：A． 2. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 3. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D． ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=96(cm)． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 4. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 5. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的定义以及根判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 且， 其中， ∴ ， 解得：， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：B． 7. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这一函数的表达式为 B. 当气体体积为40时，气体的压强值为150 C. 当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小 D. 若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．利用待定系数法解得函数解析式，即可判断选项A；将代入函数解析式并求解，即可判断选项B；由函数图像的增减性，即可判断选项C；求得当时气体体积的值，结合函数图像即可判断选项D． 【详解】解：A．设，由题意知， 所以，即，故该选项正确，不符合题意； B．当时，， 所以，气球内气体的气压是，故该选项正确，不符合题意； C．由函数图像可知，气体的压强随着气体体积增大而减小，可知该选项正确，不符合题意； D．当时，， 所以，为了安全起见，气体的体积应不小于，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作交于点，设交于点，设，由全等三角形的性质得，即得，进而可得，再分别由、可得，，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，设交于点， ∵正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知比例 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值计算． 【详解】解：， 将，代入得：， 故答案为：． 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正弦函数的计算，如图，连接，得，从而得到，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 【答案】####4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形． 过点作轴于轴于，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的的几何意义即得结果． 【详解】解：如图，过点作轴于轴于， ， ， ， ， ∵的面积为，则， ， ， ， ， 由图可知， ， 故答案为：． 13. 如图，点在内，，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作交的延长线于，作交的延长线于，则，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，，从而得到，，再由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，证明，可得，从而得到，，计算出，最后再由勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交的延长线于， ， 则， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 配方得，即， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得，． 15. 中国人工智能公司深度求索推出人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题： （1）求接受随机调查的学生人数，及条形统计图中m的值； （2）如果该校共有学生1000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少； （3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50人， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，各频数之和等于样本容量计算即可； （2）利用样本估计总体的思想，计算解答即可； （3）画树状图，求解即可． 小问1详解】 解：根据题意，得 (人)， (人)． 【小问2详解】 解：该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是 (人)， 答：校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是660人． 【小问3详解】 解：根据题意，有女生2名，男生2名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女可能性有8种， 故一男一女的概率是 【点睛】本题考查了样本容量，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）取格点M、N，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：如图，为所作． 【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和平行四边形的性质． 17. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 19. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）； （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； （3）在（2）的条件下，平面内找一点，使四点组成平行四边形，则点坐标为______． 【答案】（1）不是 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）分计算矩形的周长和面积，然后结合“美好点”的定义，即可判断点是否为“美好点”； （2）①分别计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得求解即可确定点，再将其代入双曲线解析式，求解即可；②首先确定点，过点作轴，垂足为，然后由求解即可； （3）设，分为对角线、为对角线和为对角线三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如下图， ， ， ∵四边形为矩形， ， ∴矩形的周长， 矩形的面积， 又 ∵， ∴点不是“美好点”； 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：①∵点为“美好点”， ， ∵四边形为矩形， ， ∴矩形周长， 矩形的面积， 则有， 解得：， ， ∵点在双曲线的图像上， ， 解得：， 故答案为： 18 ； ②由①可知，该双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， 则有，即， 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ， ． 【小问3详解】 解：如下图， 设， ， 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 若以为对角线， 则有， 解得：， ； 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”、坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 20. 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： （1）【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； （2）【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； （3）【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； （4）【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【小问1详解】 解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． 【小问4详解】 解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市光明区实验学校（集团）2025－2026学年第一学期 十月素养提升九年级数学试题 本试卷共6页，20题，满分100分，考试用时90分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 2. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A B. C. D. 3. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 5. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 为检测某品牌一次性注射器质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这一函数的表达式为 B. 当气体体积为40时，气体的压强值为150 C. 当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小 D. 若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15 8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则______． 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 11. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 13. 如图，点在内，，，，，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 中国人工智能公司深度求索推出人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题： （1）求接受随机调查的学生人数，及条形统计图中m的值； （2）如果该校共有学生1000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度总人数大约是多少； （3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 17. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 19. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）； （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； （3）在（2）的条件下，平面内找一点，使四点组成平行四边形，则点坐标为______． 20. 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： （1）【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； （2）【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； （3）【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； （4）【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $