精品解析：广东深圳市南山外国语学校（集团）2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

高新中学2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （试卷总分：100分考试时间：90分钟） 请将答案写在答题卷上 一、选择题（共8小题，有且只有一个符合题意的正确答案，满分24分，每小题3分） 1. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 2. 解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 7. 如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 已知，则的值为___________． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_________． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则的值为_________． 12. 如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知cm，则这个展开图中正方形的边长是______cm． 13. 如图，在中，为的一条中线，E为上一点，．若，则_________． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； 15. 根据题目要求，回答相应问题． （1）如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； （2）根据（1）中所作图形，可得_______； （3）如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 16. 通常，路灯、台灯、手电筒…发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． （1）如图1，夜晚，小明匀速从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为_________； A．B．C．D． （2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点F处测得自己的影长，离路灯杆底部距离．已知小明的身高为，求路灯杆的高度． 17. 如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE． （1）求证：四边形BECD是菱形； （2）如果，，求四边形BECD的面积． 18. 某商店以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 19. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则______，______； （2）已知实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 20. 综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题． 如图①，已知矩形纸片，点在边上（不与，重合），点在边上（不与，重合）．将矩形纸片沿直线折叠，使顶点落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 （1）图①中，____________（填“”“”或“”）； 【作图探究】 （2）在图①中边上确定一点（不与，重合），使得纸片沿着折叠后，点的对应点刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的度数． 【计算探究】 （3）如图②，矩形中，，，点是边的中点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，点是矩形边上的动点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，当落在的内部时，直接写出长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高新中学2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （试卷总分：100分考试时间：90分钟） 请将答案写在答题卷上 一、选择题（共8小题，有且只有一个符合题意的正确答案，满分24分，每小题3分） 1. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是 故选：A． 2. 解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，据此即可求解﹒ 【详解】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， 即， ∴﹒ 故选：D 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 5. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能判断，故D不正确； 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A.四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； B.对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误； C.平行四边形对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误； D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定条件，正确． 7. 如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小路的宽度为，根据平移的性质可得剩余草地为长、宽的长方形，即可建立方程． 【详解】解：设小路的宽度为，根据题意，， 故选：D． 8. 如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先，添加辅助线，然后，证得四边形是矩形，四边形是正方形，再由，，，得，接着，证得，得，，最后，证得是的中位线，得，即． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵四边形是正方形，E为对角线上一点， ∴，， ∵，，， ∴，，，即， ∴四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】添加辅助线证得四边形是矩形，四边形是正方形，由，得到，再证得，得，是解决问题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意易得，则有相似比为，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴相似比为， 根据相似三角形对应边的高线之比等于相似比可知：小孔O到的距离与小孔O到的距离之比为， ∵小孔O到的距离为， ∴小孔O到的距离为． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实根， ∴， 解得． 12. 如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知cm，则这个展开图中正方形的边长是______cm． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 设这个展开图中正方形的边长为，然后延长交于点D，根据三角函数的性质，可求得的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：如图，设这个展开图中正方形的边长为， 延长交于点D， 则，，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即这个展开图中正方形的边长为． 故答案为：． 13. 如图，在中，为的一条中线，E为上一点，．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，利用勾股定理表示，过点作于点，证明，利用相似比表示，进而表示，根据建立关于的方程，求出，最后利用勾股定理求． 【详解】解：为的一条中线， ， 设，则， ， ， 在中，， 在中，， 过点作于点，如图 ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 整理得， 解得， 在中，． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）， （2）方程无实数根 （3）， 【解析】 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）利用公式法解答即可； （）把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：两边除以，得， 开方，得， 即，； 【小问2详解】 解：，，， ∵， ∴方程无实数根； 【小问3详解】 解：移项，得， 即， 因式分解，得， 即， ∴或， ∴，． 15. 根据题目要求，回答相应问题． （1）如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； （2）根据（1）中所作图形，可得_______； （3）如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据是边长为1的小正方形的对角线，根据相似比为2，延长到，使得为边长是2的小正方形的对角线，类似地可画出，以此画出三角形即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求解即可； （3）根据，得，利用相似的性质证明即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，且， ∴； 【小问3详解】 解：根据平行线间的距离处处相等，得到， 根据， ∴， ∴， ∴； 16. 通常，路灯、台灯、手电筒…发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． （1）如图1，夜晚，小明匀速从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为_________； A．B．C．D． （2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点F处测得自己的影长，离路灯杆底部距离．已知小明的身高为，求路灯杆的高度． 【答案】（1）D （2）灯杆的高度为 【解析】 【分析】（1）等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； （2）根据题意可得出，，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，所以D符合题意； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵小明的身高为， ∴， 答：灯杆的高度为． 17. 如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE． （1）求证：四边形BECD是菱形； （2）如果，，求四边形BECD的面积． 【答案】（1） 证明：∵中，， ∴， ∴． ∵DE平分∠BDC， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形BECD是平行四边形． 又∵， ∴四边形BECD是菱形； （2）24 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质证明，推出，结合已知条件证明，，得出四边形BECD是平行四边形，结合即可证明四边形BECD是菱形； （2）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵中，，， ∴，， 由（1）知四边形BECD是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理可得，， ∴， ∴， 即四边形BECD的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、菱形的面积公式、勾股定理等，掌握菱形的判定方法及面积公式是解题的关键． 18. 某商店以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 【答案】（1）该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为； （2）当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 【解析】 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，， 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套降价元， 由题意得， 解得，（舍去）， ， 答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 19. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则______，______； （2）已知实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两根为，， ，； 【小问2详解】 解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； 【小问3详解】 解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 20. 综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题． 如图①，已知矩形纸片，点在边上（不与，重合），点在边上（不与，重合）．将矩形纸片沿直线折叠，使顶点落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 （1）图①中，____________（填“”“”或“”）； 【作图探究】 （2）在图①中边上确定一点（不与，重合），使得纸片沿着折叠后，点的对应点刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的度数． 【计算探究】 （3）如图②，矩形中，，，点是边的中点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，点是矩形边上的动点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，当落在的内部时，直接写出长度的取值范围． 【答案】（1） （2）如图所示，点即为所求； ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质即可求解； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线交于点，则点为所求； （3）根据情况一：当点在线段上时，且点和点重合时，点开始落在的内部，至情况二：点在线段上，且点在线段上时为止，为所求的点落在的内部的线段的取值范围，据此求得这两种情况下的的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图①所示，由折叠性质可得：； 【小问2详解】 解：由尺规作图可知：， 纸片沿折叠，点的对应点刚好落在射线上， ，， ， ，即； 【小问3详解】 解：如图，情况一，当点在上时，且点和点重合时，此时，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ， 如图，情况二，当点在上，且点在线段上时，此时，，，过点作交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， 的最小值为，最大值为， 落在的内部， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $