专题06 线段和差、中点及动点问题（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

专题06 线段和差、中点及动点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段的和差有关计算 题型二、线段n等分点的计算 题型三、线段的单中点问题 题型四、线段的双中点问题 题型五、线段的多中点问题 题型六、线段上动点求线段长度问题 题型七、线段上动点求时间问题 题型八、线段上动点求定值问题 题型九、新定义的线段上动点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 线段计算与动点问题是初中几何入门重点，所有题型均围绕线段和差、等分点、中点性质、动点运动规律四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是点的位置不确定时需分类讨论，二是动点问题要先划定运动范围、找准分界时刻。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段的和差有关计算 题型模版 1.特征：已知线段总长、部分线段长，或点在线段上、延长线上，给出几条线段间的和、差数量关系，求未知线段长度；点的位置不唯一时需要分类。 2.方法：先画图确定各点的相对位置，利用线段加减关系列式；点位置不唯一时分类讨论，算出结果后结合图形验证是否符合题意，舍去矛盾解。 【例1】已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题未明确点C的位置，需根据点C的不同位置分情况讨论，利用线段和差关系计算的长度即可． 【详解】解：∵A、B、C三点共线，点C位置有两种可能，因此分情况计算： 当点C在线段的延长线上时； 当点C在线段上时； 综上，线段等于或． 【例2】如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ． 【答案】58 【分析】根据题意列出所有以、、、、为端点的线段，利用线段的和差关系，将所有线段长度之和转化为已知线段和的倍数关系，代入数据计算即可． 【详解】解：图中以、、、、 这5个点为端点的线段共有10条，分别为：，， ，，，，，，，， 所有线段的和为：， 将各项重新组合得：， ∵，，，， ∴， 即， ∵，， ∴． 【变式1-1】已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出的长度，再根据条件得到的长度，分点C在点B左侧、右侧两种情况，分别计算的长度即可． 【详解】解：∵ A点表示的数是，B点表示的数是， ∴ ， ∵， ∴． 分两种情况讨论： 当点C在点B左侧时，； 当点C在点B右侧时，， ∴的长为或． 【变式1-2】如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】根据的周长和四边形的周长相等得到，根据，得到，根据得到，最后将，代入求解即可． 【详解】解：∵的周长和四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【变式1-3】如图，已知线段，在线段上有四个点，，，，在的右侧，且，，，求线段的长． 【答案】 【分析】根据，求出，，，由，求出及，由此可得的长． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二、线段n等分点的计算 题型模版 1.特征：线段被一个或多个点平均分成n份，给出其中一段或几段的长度，借助等分关系求整条线段或其他子线段的长。 2.方法：抓住n等分点的含义——每一等份长度相等；先求单份长度，再按份数乘除计算；区分内分点与延长线上的外分点，画图辅助分析。 【例3】点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选：C. 【例4】如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 【答案】(1) 如图， (2) 【分析】（1）作射线，在射线上截取，，则，作射线，在射线上截取，即可； （2）由作图得，由中点和三等分点得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ，， ， ， ， D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点， ， ， ， ． 【变式2-1】如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-2】已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了线段三等分点的概念和线段长度的计算． 点D为线段的三等分点，可能靠近A或靠近B，因此需要分两种情况讨论． 【详解】解：∵，点D为线段的三等分点， ∴或． 又∵，点C在线段上， 当时，如图， ； 当时，如图， ． 故线段的长为1或3． 故答案为：1或3． 【变式2-3】已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 题型三、线段的单中点问题 题型模版 1.特征：一条线段上只有一个中点，中点条件与线段长度搭配出现，求相关线段长；常与线段和差、倍分关系结合考查。 2.方法：用中点定义把线段分成两条相等的线段；将倍分关系转化为线段等式，再结合和差列式；留意中点在线段上或延长线上的分类情形。 【例5】线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 【例6】如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 【答案】(1)线段的长为3 (2)的长为23或31 【分析】（1）根据题意，先求出、，然后根据线段和差关系，依次求出、，结合中点定义得到，进而求出． （2）首先根据（1）求出，然后根据点F的位置关系，分两种情况讨论，综合得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． ∵点为线段的中点， ∴， ∴． （2）由（1）得， 点在线段上，且，分两种情况： 情况一：当F在点E左侧时，； 情况二：当F在点E右侧时，； 综上，的长为23或31． 【变式3-1】如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 【答案】 【分析】设，，的长度分别为，，，根据线段中点的定义表示出，利用线段的和差关系表示出，结合已知条件列一元一次方程求出的值，最后计算的长度． 【详解】解：设，，的长度分别为，，， 点是的中点，点是的中点， ，， , , , ，解得, ． 【变式3-2】如图，已知，为的中点，为的中点，且，求的长． 【答案】12 【分析】设，，，由中点的定义就可以得出，，根据题意列出方程解出，利用求出最后结果． 【详解】解：， 则设，，， 为的中点，为的中点， ，， ， ， ， ，，， ． 【变式3-3】如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为________． 【答案】4或8 【分析】根据线段的和差关系求出的长，利用中点的性质求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴或. 题型四、线段的双中点问题 题型模版 1.特征：同一条线段上存在两个不同中点，各自对应一条子线段，在已知线段总长或部分长度的条件下，求两中点之间的距离。 2.方法：用字母表示各段长度，两次使用中点性质作等量代换；优先套用双中点基础结论（两中点距离等于对应两端线段差的一半），位置不定时分类画图验算。 【例7】如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 【例8】已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，计算的长． 【答案】5或1 【分析】先根据题意求出、的长，再根据当点E在点C左边与当点E在点C右边两种情况解答． 【详解】解：如图， ∵线段，点C为中点， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在点C左边时，； 当点E在点C右边时，． 【变式4-1】如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 【变式4-2】如图，点，在线段上，且满足．点，分别为线段，的中点，如果，线段的长度是_____． 【答案】 【分析】根据的关系，可用表示和，根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点E、F分别为线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 题型五、线段的多中点问题 题型模版 1.特征：一条线段上有三个及以上中点，条件层层嵌套，中点关系复杂，常与线段和差综合求目标线段长度。 2.方法：逐层拆解中点条件，依次写出每组中点对应的等量关系；用字母表示各小段并逐步代换消元；图上标全所有点，理清点的先后顺序，避免混淆线段。 【例9】如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中点公式和数轴上两点之间距离，掌握以上知识是解决此题的关键． 本题首先通过两次迭代找到规律，得到，然后当代入所求规律，即可解得第次操作的结果． 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 根据规律得到， ∴． 故选：B． 【例10】若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键． 根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴， ．．． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 故选：B． 【变式5-1】如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和_________ 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 【变式5-2】如图，点Q在线段AP上，其中， 第一次分别取线段AP和AQ的中点，，得到线段，则线段____________； 再分别取线段和的中点，，得到线段； 第三次分别取线段和的中点，，得到线段；连续这样操作2021次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和____________． 【答案】 5 【分析】根据线段中点的定义可得P1Q1=PQ，P2Q2=P1Q1，P3Q3=P2Q2，根据规律可得答案． 【详解】解：∵线段AP和AQ的中点是P1，Q1， ∴P1Q1=AP1-AQ1=AP-AQ=PQ=5； ∵线段AP1和AQ1的中点P2，Q2， ∴P2Q2=AP2-AQ2=AP1-AQ1=P1Q1=PQ， …， ∴P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+P2021Q2021 =PQ+PQ+PQ+…+PQ =（1-）PQ =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，能够根据线段中点的定义得到其中的规律是解题关键． 【变式5-3】如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1）________； （2）连续这样操作4次，则________． 【答案】 32 4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）∵的中点是，的中点是， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：32； （2）同理可得，，． 故答案为：4． 题型六、线段上动点求线段长度问题 题型模版 1.特征：线段上的动点按固定方向、固定速度运动，给出运动时间，求两个定点之间或定点与动点之间的线段长度，长度随时间改变。 2.方法：先用“速度×时间”表示动点移动的路程，确定动点当前位置；再结合线段和差列式求长度；动点跨过关键点时分段，分别写出各区间内的表达式。 【例11】已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：如图： ， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点C恰好是的中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴． 【例12】（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】（1）①6；② 6；（2） 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键． （1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答； （2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴； ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，用特殊值法设点A为，C为，根据题意求出，设D为x，则为，为，表示出，从而得出结论． 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 【变式6-2】在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 【答案】(1)5 (2)4或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得解； （2）分两种情况：当点N在线段上时，当点N在线段的延长线上时，分别根据线段的和差计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，点A表示的数为，线段， ∴点B表示的数为． （2）解：当点N在线段上时，如答图①， ∵，， ∴， ∴； 当点N在线段的延长线上时，如答图②， ∵，， ∴． 综上所述，的长度为4或8． 【变式6-3】点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【答案】(1)3或9 (2)或 (3)存在，P在A、B两点之间，8 【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可； （2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点Q是的中点，求得线段的长即可； （3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，的值最小，据此判断并求解即可． 【详解】（1）解：①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示的是3． ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是9． 综上，可得点P表示的是3或9． （2）解：∵， ∴线段的长度是8． ①点P在点B的左边时， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． ②点P在点B的右边时， ∵， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． 综上，可得线段的长是2.5或5.5． （3）解：如图：当点P在A、B两点之间时，的值最小， 此时， 所以的最小值是8． 题型七、线段上动点求时间问题 题型模版 1.特征：线段上动点匀速运动，给定两条线段相等、某条线段取特定长度等目标条件，反过来求满足条件所对应的运动时间。 2.方法：设运动时间为未知数，表示出动点位置与相关线段；依题意列方程求解；动点位置有多种可能时分类列方程，并检验所得解是否落在有效运动范围内。 【例13】如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过_____秒时线段的长为6厘米． 【答案】9或3或1 【分析】本题主要考查了线段的和差，列一元一次方程解决动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 假设运动的时间为秒，分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：假设运动的时间为秒， ①当点P、点Q同向左运动时，， 解得； ②当点P、点Q同向右运动时，， 解得； ③当点P向左运动，点Q向右运动时，， 解得； ④当点P向右运动，点Q向左运动时，， 解得； 综上，时间为9秒或3秒或1秒时线段的长为6厘米， 故答案为：9或3或1． 【例14】如图1，点A，B分别在数轴上原点O的左右两侧，且，点B对应的数是90， (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M，N，P分别从点O，A，B同时出发，其中M，N均向右运动，速度分别为2个单位/秒，7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒．设它们运动的时间为t秒．问t为何值时，点M，N之间的距离等于点P，M之间的距离？ 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式可得，，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 解得． ∵点A在原点左侧， ∴A点对应的数为． （2）解：依题意可得：，． ∵， ∴ ∴或， ∴或（舍去）， ∴当时，． 【变式7-1】如图，已知点在线段上，线段，，动点、分别从、两端同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当、、三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，运动了_____________秒． 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数与数轴，线段的和差计算，解题的关键是能够利用数形结合的思想求解． 以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为：；点表示的数为：，再分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，点运动到终点用时， 因为点运动速度大于点运动速度， 所以点到达终点，点停止运动， 因为线段， 所以 以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，如图所示： 则由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为：；点表示的数为：； 若点为线段的中点： ， 解得：； 若点为线段的中点： ， 解得：； 若点为线段的中点： ， 解得：； 综上所述：当或或时，、、三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点， 故答案为：或或． 【变式7-2】如图，点在线段上，，，点，是上的动点．已知点以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动的时间为_________秒时，点恰好是线段的三等分点． 【答案】 【分析】此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键． 根据时间与速度可以分别表示出，进而得到，再分，两种情况列式求解． 【详解】解：当运动秒时，， 则， 点恰好是线段的三等分点， ，即， 解得：； ，即， 解得：， 又时，， 则不符合题意， 综上，当运动的时间为秒时，点恰好是线段的三等分点． 故答案为：． 【变式7-3】如图，点在线段上，线段，，动点，分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，运动时间为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． (1)若点，分别为，的中点，求线段的长； (2)为何值时，点与点重合？ (3)为何值时，，，三点中有一点恰好为以另外两点为端点的线段的中点？请直接写出的值． 【答案】(1) (2)为6时，点与点重合 (3)的值为3或或 【分析】（1）由点M，N分别为，的中点，即得，，故； （2）由已知得，故，当点P与点Q重合时，，即，即可解得t为6时，点P与点Q重合； （3）分三种情况：当O为中点时，，当P为中点时，，当Q为中点时，，即可解得答案． 【详解】（1）解：点M，N分别为，的中点， ，， ； （2）解：点P以的速度沿向右运动，点Q以的速度沿向左运动，运动时间为， ， ， 当点P与点Q重合时，， ， 解得， 为6时，点P与点Q重合； （3）解：当O为中点时，， ， 解得， 当P为中点时，， ， 解得， 当Q为中点时，， ， 解得， 综上所述，t为3或或时，P，O，Q三点中有一点恰好为以另外两点为端点的线段中点． 题型八、线段上动点求定值问题 题型模版 1.特征：动点在运动过程中，某两条线段的和、差或比值保持不变，要求证明或求出这个固定值。 2.方法：用含时间的代数式表示动点位置与目标线段；对代数式化简，消去时间变量，结果不含参数即为定值；一般先取特殊位置猜出定值，再作一般化证明。 【例15】在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3) 解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）略 【例16】如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 【变式8-1】如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）略 【变式8-2】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】本题考查数轴中线段的动态问题．熟悉利用绝对值与平方的非负性、线段中点的性质进行计算，动点问题根据线段移动的距离结合线段的和差关系分析位置变化，利用分类讨论思想解决问题，是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到答案． （2）设直线为数轴，根据运动前后点、点和点、点的位置变化，确定线段长度的变化关系，根据运动后的长度，得到运动后的长度． （3）根据题意得到运动秒后和的长度，根据不同时间段分类讨论得到结果． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 【变式8-3】如图1，直线上有一点P，点M，N分别为线段的中点．    (1)若点P在线段上，，且，求线段的长度； (2)若点P在直线上运动，，请分别计算下面情况时的长度； ①当P在之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ (3)如图2，若，点C为线段的中点，点P在线段的延长线上，求证：的值是定值． 【答案】(1)7 (2)①；②；③；不论点P在哪里，为定值7 (3) 证明：设， ∵，点C为线段的中点， ∴，， ∴． 【分析】本题考查了线段中点的含义，线段的和差及分类讨论思想的运用． （1）由点M是中点可求得，由点N是中点可求得，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得； ①点P在之间，由即可求解； ②当P在A左边，由即可求解； ③当P在B右边；由即可求解； （3）设，由，点C为线段的中点，得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵，点M是中点， ∴， ∴， 又∵点N是中点， ∴， ∴． （2）解：∵点M是中点，点N是中点， ∴； ①点P在之间，如图1-1，    则； ②当P在A左边，如图1-2，    则； ③当P在B右边，如图1-3，   ． 综上，不论点P在哪里，为定值7； （3）略 题型九、新定义的线段上动点问题 题型模版 1.特征：题目自定义“友好点”“距离比”“关联线段”等新概念，在动点背景下按新定义进行计算与探究，理解定义是解题前提。 2.方法：先读懂并拆解新定义，转化为熟悉的线段和差、中点、动点关系；严格按定义列式，不自行引申条件；多情况分类后逐一检验结果是否满足新定义。 【例17】定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，根据题意求出，由线段的中点的定义可得，再由“折中点”的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵点K为线段的中点， ∴， ∴， ∵点Q是折线的“折中点”， ∴， ∴， 故选：C． 【例18】【定义】已知点C是线段上的一个分点，若点C到线段两个端点的距离之比为时，则称点C为线段的“理想点”．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)点A、B之间的距离是 ； (2)求线段的“理想点”C所对应的数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）分两种情况：当，即时，当，即时，分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100， ∴点A、B之间的距离是； （2）解：设点所对应的数为， 当，即时，， 解得，此时点所对应的数为， 当，即时，， 解得，此时点所对应的数为， 综上所述，线段的“理想点”C所对应的数为或． 【变式9-1】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，还有新定义“美好点”，理解这个新定义是解决问题的关键．根据“美好点”的定义，，再根据，再根据与线段的位置关系分情况讨论，先求得，从而可得表示的数． 【详解】解：∵是美好点， ∴， ∵点所表示的数为，点所表示的数为2， ∴， ∴当在线段上时，，则，点表示的数是； 当在线段外时，由可得在右边，，则，点表示的数是； 故答案为：或． 【变式9-2】定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则______cm． 【答案】2或6/6或2 【分析】题目主要考查线段的和差计算，根据题意分两种情况讨论：当点P在线段之间时；当点P在的反向延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段之间时， 根据题意可得：，即， ∴ ∴cm； 当点P在的反向延长线上时，如图所示： 根据题意得：，即， ∴cm； 故答案为：2或6． 【变式9-3】如图，的两边上分别有6个点和5个点，线段中，在内及边上不相交的线段称为“和睦线对”（不分顺序），如与是“和睦线对”，图中“和睦线对”共有______________对． 【答案】150 【分析】本题考查了线段数量问题；根据题意，在两边各取两点，四点恰有一对“和睦线对”，分别计算出从，上取两点的方法数，即可求解． 【详解】解：在两边各取两点，四点恰有一对“和睦线对”， 从上取两点有15种方法， 从上取两点有种方法， “和睦线对”共（对）． 故答案为：150． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，已知线段，，，则图中所有线段的长度和是______． 【答案】 【分析】根据图形确定图中所有的线段，利用线段的和差关系求出各线段的长度，最后将所有线段长度相加即可． 【详解】解：图中共有条线段，分别是，，，，，， ∵，，， ∴，，， ∴所有线段的长度和为． 2．如图，，，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】根据线段的和差关系，由可推出，再结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵点，，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的长为． 3．如图，点为线段的中点，点D，E分别为线段上的两点，且，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差． 根据线段中点的定义得到，根据得到，根据得到，，即，，即可求出的值． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．已知O为原点，点C表示的数为，取的中点M，将分为两段，记为第一次操作；取这两段的中点分别为，将分为4段，记为第二次操作；再取这四段的中点，将分为8段，记为第三次操作；…，第十次操作后，（包含两个端点）之间的这些点所表示的数的和是_____． 【答案】 【分析】逐次观察操作后的分点情况，总结第k次操作后的分点数量与分布规律，利用均匀分布点的求和方法计算第十次操作后的数的总和． 【详解】解：∵O为原点，表示的数为0，点C表示的数为， ∴线段的长度为， 第一次操作后，被分为2段，分点为，的中点，，共个点； 第二次操作后，取、的中点，被分为4段，分点为，，，，，共个点； 第三次操作后，取每段的中点，被分为8段，分点为，，，，，，，，，共个点， 由此可得规律： 第k次操作后，被分为段，所有分点（含两个端点）共个，且这些点均匀分布在上，第一个数为0，最后一个数为，且相邻的后一个数与前一个数的差为定值， ∴第k次操作后所有点表示的数的和为 当时，代入得总和为． 5．如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义求得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵点为的中点，且， ∴， ∴． 6．如图，线段，M是线段的中点． (1)求线段、线段的长度； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据线段的和差关系求出的长，再由线段中点的定义可得的长； （2）根据比例关系求出的长，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得 ∴． 7．如图，已知不重合的，，三点在线段上（均不与点，重合），且点是线段的中点． (1)若点是线段的中点，，，则的长为________； (2)若点是线段的中点，求线段与线段之间的数量关系． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出的长，根据E是线段的中点，D是线段的中点，求出和的长，从而求出的长； （2）根据点D是线段的中点，点E是线段的中点，计算出，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D是线段的中点，点E是线段的中点， ∴，， ∴； （2）因为点是线段的中点．点是线段的中点． 所以，， 所以， 因为， ∴ 所以． 8．线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点， (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)4 (2)①不变，7；②4.2或5.8 【分析】（1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：因为 所以 因为为的中点． 所以，因为， 所以 （2）解：①因为是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 因为 所以线段的长度不会发生变化，． ②或． 提示：当点在点的左侧时，如图1所示。 因为， 所以． 由①知． 所以． 当点在点的右侧时，如图2所示． 因为． 所以 由①知，所以 综上所述，当时，线段的长为或． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 9．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 10．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2) 证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）略 11．已知点在线段上，若或，则称点是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段是线段的“五美点”，则_____； 【解决问题】 （2）如图，在射线上，． 若点均为线段的“五美点”，且，又为线段的中点，求线段的长度． 【答案】（）或；（） 【分析】（）先根据“五美点”的定义得到与的两种数量关系，再结合线段的长度和的线段和关系，分别计算出两种情况下的长度； （）先依据“五美点”定义和的条件确定和的长度；接着计算和的长度；再利用中点的性质求出的长度；最后通过线段的差求出的长度． 【详解】（）在线段上， ， 是线段的“五美点”， 或，即或， 或， 又， 或． （）点、均为线段的“五美点”，且， ， ， 为线段的中点， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 线段和差、中点及动点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段的和差有关计算 题型二、线段n等分点的计算 题型三、线段的单中点问题 题型四、线段的双中点问题 题型五、线段的多中点问题 题型六、线段上动点求线段长度问题 题型七、线段上动点求时间问题 题型八、线段上动点求定值问题 题型九、新定义的线段上动点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 线段计算与动点问题是初中几何入门重点，所有题型均围绕线段和差、等分点、中点性质、动点运动规律四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是点的位置不确定时需分类讨论，二是动点问题要先划定运动范围、找准分界时刻。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段的和差有关计算 题型模版 1.特征：已知线段总长、部分线段长，或点在线段上、延长线上，给出几条线段间的和、差数量关系，求未知线段长度；点的位置不唯一时需要分类。 2.方法：先画图确定各点的相对位置，利用线段加减关系列式；点位置不唯一时分类讨论，算出结果后结合图形验证是否符合题意，舍去矛盾解。 【例1】已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 【例2】如图，点、、是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 _______ ． 【变式1-1】已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 【变式1-3】如图，已知线段，在线段上有四个点，，，，在的右侧，且，，，求线段的长． 题型二、线段n等分点的计算 题型模版 1.特征：线段被一个或多个点平均分成n份，给出其中一段或几段的长度，借助等分关系求整条线段或其他子线段的长。 2.方法：抓住n等分点的含义——每一等份长度相等；先求单份长度，再按份数乘除计算；区分内分点与延长线上的外分点，画图辅助分析。 【例3】点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【例4】如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 【变式2-1】如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 【变式2-3】已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 题型三、线段的单中点问题 题型模版 1.特征：一条线段上只有一个中点，中点条件与线段长度搭配出现，求相关线段长；常与线段和差、倍分关系结合考查。 2.方法：用中点定义把线段分成两条相等的线段；将倍分关系转化为线段等式，再结合和差列式；留意中点在线段上或延长线上的分类情形。 【例5】线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【例6】如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 【变式3-1】如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 【变式3-2】如图，已知，为的中点，为的中点，且，求的长． 【变式3-3】如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为________． 题型四、线段的双中点问题 题型模版 1.特征：同一条线段上存在两个不同中点，各自对应一条子线段，在已知线段总长或部分长度的条件下，求两中点之间的距离。 2.方法：用字母表示各段长度，两次使用中点性质作等量代换；优先套用双中点基础结论（两中点距离等于对应两端线段差的一半），位置不定时分类画图验算。 【例7】如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【例8】已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，计算的长． 【变式4-1】如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【变式4-2】如图，点，在线段上，且满足．点，分别为线段，的中点，如果，线段的长度是_____． 【变式4-3】如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 题型五、线段的多中点问题 题型模版 1.特征：一条线段上有三个及以上中点，条件层层嵌套，中点关系复杂，常与线段和差综合求目标线段长度。 2.方法：逐层拆解中点条件，依次写出每组中点对应的等量关系；用字母表示各小段并逐步代换消元；图上标全所有点，理清点的先后顺序，避免混淆线段。 【例9】如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作次，则（   ） A． B． C． D． 【例10】若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和_________ 【变式5-2】如图，点Q在线段AP上，其中， 第一次分别取线段AP和AQ的中点，，得到线段，则线段____________； 再分别取线段和的中点，，得到线段； 第三次分别取线段和的中点，，得到线段；连续这样操作2021次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和____________． 【变式5-3】如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1）________； （2）连续这样操作4次，则________． 题型六、线段上动点求线段长度问题 题型模版 1.特征：线段上的动点按固定方向、固定速度运动，给出运动时间，求两个定点之间或定点与动点之间的线段长度，长度随时间改变。 2.方法：先用“速度×时间”表示动点移动的路程，确定动点当前位置；再结合线段和差列式求长度；动点跨过关键点时分段，分别写出各区间内的表达式。 【例11】已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【例12】（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【变式6-1】如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 【变式6-3】点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 题型七、线段上动点求时间问题 题型模版 1.特征：线段上动点匀速运动，给定两条线段相等、某条线段取特定长度等目标条件，反过来求满足条件所对应的运动时间。 2.方法：设运动时间为未知数，表示出动点位置与相关线段；依题意列方程求解；动点位置有多种可能时分类列方程，并检验所得解是否落在有效运动范围内。 【例13】如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过_____秒时线段的长为6厘米． 【例14】如图1，点A，B分别在数轴上原点O的左右两侧，且，点B对应的数是90， (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M，N，P分别从点O，A，B同时出发，其中M，N均向右运动，速度分别为2个单位/秒，7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒．设它们运动的时间为t秒．问t为何值时，点M，N之间的距离等于点P，M之间的距离？ 【变式7-1】如图，已知点在线段上，线段，，动点、分别从、两端同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当、、三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，运动了_____________秒． 【变式7-2】如图，点在线段上，，，点，是上的动点．已知点以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动的时间为_________秒时，点恰好是线段的三等分点． 【变式7-3】如图，点在线段上，线段，，动点，分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，运动时间为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． (1)若点，分别为，的中点，求线段的长； (2)为何值时，点与点重合？ (3)为何值时，，，三点中有一点恰好为以另外两点为端点的线段的中点？请直接写出的值． 题型八、线段上动点求定值问题 题型模版 1.特征：动点在运动过程中，某两条线段的和、差或比值保持不变，要求证明或求出这个固定值。 2.方法：用含时间的代数式表示动点位置与目标线段；对代数式化简，消去时间变量，结果不含参数即为定值；一般先取特殊位置猜出定值，再作一般化证明。 【例15】在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【例16】如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【变式8-1】如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【变式8-2】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图1，直线上有一点P，点M，N分别为线段的中点．    (1)若点P在线段上，，且，求线段的长度； (2)若点P在直线上运动，，请分别计算下面情况时的长度； ①当P在之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ (3)如图2，若，点C为线段的中点，点P在线段的延长线上，求证：的值是定值． 题型九、新定义的线段上动点问题 题型模版 1.特征：题目自定义“友好点”“距离比”“关联线段”等新概念，在动点背景下按新定义进行计算与探究，理解定义是解题前提。 2.方法：先读懂并拆解新定义，转化为熟悉的线段和差、中点、动点关系；严格按定义列式，不自行引申条件；多情况分类后逐一检验结果是否满足新定义。 【例17】定义：如图，有公共端点B的两条线段组成一条折线，若该折线上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”．已知点Q是折线的“折中点”，且点Q在上，点K为线段的中点，若，则线段的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【例18】【定义】已知点C是线段上的一个分点，若点C到线段两个端点的距离之比为时，则称点C为线段的“理想点”．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)点A、B之间的距离是 ； (2)求线段的“理想点”C所对应的数． 【变式9-1】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是_____． 【变式9-2】定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则______cm． 【变式9-3】如图，的两边上分别有6个点和5个点，线段中，在内及边上不相交的线段称为“和睦线对”（不分顺序），如与是“和睦线对”，图中“和睦线对”共有______________对． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，已知线段，，，则图中所有线段的长度和是______． 2．如图，，，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是______． 3．如图，点为线段的中点，点D，E分别为线段上的两点，且，若，则的值为__________． 4．已知O为原点，点C表示的数为，取的中点M，将分为两段，记为第一次操作；取这两段的中点分别为，将分为4段，记为第二次操作；再取这四段的中点，将分为8段，记为第三次操作；…，第十次操作后，（包含两个端点）之间的这些点所表示的数的和是_____． 5．如图，已知，点为的中点，为上一点，点为的中点，且，求的长． 6．如图，线段，M是线段的中点． (1)求线段、线段的长度； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 7．如图，已知不重合的，，三点在线段上（均不与点，重合），且点是线段的中点． (1)若点是线段的中点，，，则的长为________； (2)若点是线段的中点，求线段与线段之间的数量关系． 8．线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点， (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 9．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 10．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 11．已知点在线段上，若或，则称点是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段是线段的“五美点”，则_____； 【解决问题】 （2）如图，在射线上，． 若点均为线段的“五美点”，且，又为线段的中点，求线段的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $