专题02 二次函数与四边形（专项训练）数学新教材苏科版九年级下册
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内容正文：
专题02 二次函数与四边形
常考题型·精准突破
题型1 二次函数与四边形的面积问题（重）
题型2 二次函数与平行四边形存在性问题（高频）
题型3 二次函数与矩形存在性问题
题型4 二次函数与菱形存在性问题
题型5 二次函数与正方形存在性问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1二次函数与四边形的面积问题
1．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t．
(1)________，________；
(2)连接，当时，求t的值；
(3)设以，，，为顶点的四边形的面积为，
①求关于t的函数解析式；
②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；4
(2)
(3)①
②
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求；
（3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可；②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，
解得
该二次函数的解析式为；
（2）解：如图所示，连，
，，
．
．
，
．
．
∴点P的纵坐标为4．
．
解得或．
由图可得．
．
（3）解：①令，则，
解得，．
．
当点P在的上方时，
即，，
过点P作于点D，
则， ，
．
，
即，．
过点P作于点E，如图，
则．
．
综上，S关于t的函数解析式为．
②当时，
，
，
当时，S有最大值为，
．
当时，，
．
画出函数的大致图象，如图∶
由图象可知∶当时，存在2个符合条件的点P．
2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积．
(3)设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）由（1）可知对称轴为直线，则可确定点，点的坐标，利用分割法可求四边形的面积；
（3）用表示，利用函数性质求最大值．
【详解】（1）解：抛物线经过点，点，
解得
抛物线的函数解析式为；
（2）解：，
，
轴，
，
，，
点，点，
，，
；
（3）解：把代入函数解析式得，
解得，，
是抛物线上第一象限内的点，
，
根据函数解析式知，，
，，
，
，
当时，有最大值．
3．（2026九年级上·山东·专题练习）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值．
【答案】(1)
(2)，8
【分析】（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可；
（2）连接，设点P坐标为，，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可．
【详解】（1）解：∵、，，
∴设抛物线表达式为，
将C代入得，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：连接，设点P坐标为，且，
∵、，，
可得，，，
∴
，
∴当时，面积最大值为8，
∴四边形的面积最大值为8．
◆题型2二次函数与平行四边形存在性问题
4．（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，二次函数的图象经过、两点．
(1)求这个二次函数解析式；
(2)点为坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)、、
【分析】(1)先把、两点代入二次函数中，得出、的值，即可求出二次函数的解析式；
(2)根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过、两点，
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：设点坐标为，
、，
当为对角线时，则，，
∴，，
∴点；
当为对角线时，，，
∴，，
∴点；
当为对角线时，，，
∴，，
∴点；
综上所述：的坐标为、、．
5．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值；
(3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，四边形的面积有最大值，最大值为；
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案；
（3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点，
∴ ，
∴，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线l的函数表达式为，
则，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
∵轴，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
（3）解：设，
∵，
∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；
当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C，
∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M，
∴点M的坐标为，即，
∴，
解得或，
∴当时，，
当时，，不符合题意；
∴点M的坐标为；
当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，
∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A，
∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M，
∴点M的坐标为，即，
∴，
解得或，
∴当时，，
当时，，不符合题意；
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
6．（26-27九年级上·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)有四个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或．
【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点，，优先选用交点式设解析式，代入点坐标求出系数，即可得到抛物线解析式．
（2）先求出直线的解析式，过点作轴平行线交于点，用横坐标表示、纵坐标，得到长度，把拆成两个三角形，面积表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值以及对应点坐标．
（3）设，，根据平行四边形对角线中点重合的性质，分为对角线、为对角线、为对角线三类，利用中点坐标公式列出等式，结合抛物线解析式联立求解，得到的值，进而求出坐标．
【详解】（1）解：由抛物线经过， ，设抛物线解析式：，
把代入得，
，
解得，
∴，即；
（2）解：过点作轴平行线交于点，
设直线解析式：，
，，
∴，
解得，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
，
∴时，的面积最大，
此时，，
∴；
（3）解：设，，
①当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
不符合题意，舍去，
∴；
②当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
③当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
不符合题意，舍去，
∴；
综上，有四个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或．
◆题型3二次函数与矩形存在性问题
7．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方；
①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标；
②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或
【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标；
②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
∴点A，B关于对称轴直线对称，
∴．
∴将点，代入抛物线，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：①对于抛物线，令，则，
∴．
∵抛物线，
∴顶点．
∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，，
∴．
将点P向左平移1个单位长度，得到点，则，
连接，，
则，且轴，
∵在x轴上，且，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
作点关于x轴的对称点，连接，，
则，
∴，
即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．
∵，，
∴．
∴最小值为．
设直线的函数解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
令，则，解得，
∴取得最小值时，点坐标为
②设，，其中
由（1）知，由（2）①可知．
如图，当为矩形的对角线时，
∵四边形是矩形，
∴与互相平分，，
∴由中点坐标公式，得，
解得，
∵，，
∵，即，
∴，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
∴或，
如图，当为矩形的对角线时，
同理，由中点坐标公式得，
解得，
∴，，
同理，
∴，
解得，
∴，不合题意，舍去。
如图，当为矩形的对角线时，
同理，由中点坐标公式得，
解得：，
∴，，
同理，，
∴，
解得，
∴，符合题意，
∴，
综上，点Q的坐标为或或．
8．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点两点，与轴交于点，连接直线．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)点是位于直线上方抛物线上的一个动点，
①如图1所示，过点作平行于轴与抛物线另一个交点为，当点位于上方时，过点作与轴平行的直线交于点，连接线段、、．当四边形的面积等于时，求点坐标；
②如图2所示，连接与直线交于点，当时，求的值；
(3)是抛物线上一个动点，在平面内是否存在，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或或或
【分析】（1）由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，进而求得点的坐标，根据四边形的面积等于，得出，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设，则，将的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求解；
②证明，列比例式可得的长，设，，表示的长，求得，进而根据正切的定义，即可求解；
③分三种情况讨论，当为矩形的对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形，根据矩形的性质，利用勾股定理以及解直角三角形的方法求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，解得，
∴解析式为；
（2）①解析式为
∴对称轴为直线
∵，
∴关于直线对称
当时，，
，
∴
∴
∵四边形的面积等于，
∴
∴
设直线的解析式为，
将，分别代入得，
解得：，
直线的解析式为：，
设，则即
∵在上
∴
解得：或（与点重合舍去）
∴
②过点作轴的平行线，交直线于点，交轴于点，
过点作轴的平行线，交直线于点，
，
当时， ，
，，
轴，
，
，
，
，
设，，
，
解得：，
，
，，
在中，；
（3）解：∵，
∴
∴
设
当为矩形的对角线时，
∵，
∴
整理得，
即
∴
∵，
∴
解得：或
当时，，则
当时，，则
当为对角线时，如图，设交轴于点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设直线的解析式为代入
∴
∴
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴
当为对角线时，
∴
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴
综上所述，或或或
9．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图像．过图像的左右两端M，N分别作轴的垂线，过图像的最高点和最低点分别作轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形．
①若，，则矩形的面积是_____；
②若，矩形的垂直高度，则矩形的水平宽度p的取值范围是_____；
③若矩形为正方形且边长为3，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，它的顶点坐标为．
(2)①36；②；③点的坐标为或．
【分析】（1）将点和分别代入，即可求抛物线的函数表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标．
（2）①已知，，确定图像的垂直高度与水平宽度，相乘可得矩形的面积；
②已知，矩形的垂直高度，结合抛物线对称性确定点横坐标的取值范围，即可得到水平宽度的取值范围;
③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时，第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可．
【详解】（1）解：将点和分别代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为，
，
它的顶点坐标为．
（2）解：①：如图1所示， 时， ，
故图像的最低点为，
到最高点之间的距离为： ，
所以矩形一边的长为9，
另一边的长度： ，
所以，矩形的面积： ．
②：如图2所示， ，矩形的垂直高度，
点M关于对称的点，横坐标的值为4，
所以要保证矩形的垂直高度，则，点N的横坐标不能大于4，
同时，点N又要在对称轴的右侧，
所以矩形的水平宽度p的取值最小值为，最大值为，
故范围是．
③：根据题意设，则，
第一种情况：当，即时，
，
（舍去）；
第二种情况：当，即时，
，
或（舍去），
当时，，
；
第三种情况：当，即时，
，
或（舍去），
当时，，
；
第四种情况：当时，，
（舍去）；
综上，点的坐标为或．
◆题型4二次函数与菱形存在性问题
10．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标．
(3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)点的坐标为．
【分析】（1）求得，即，，再利用待定系数法求解即可；
（2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案；
（3）设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵且，
∴，
∴，，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接，交对称轴于，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为，
∵四边形是菱形，
∴，，轴，
∵抛物线解析式为，
∴当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，
设直线的解析式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴点的坐标为，点的坐标为，
同理求得直线的解析式为，
点的坐标为，点的坐标为，
∵点在轴的左侧，
∴，即，
∵，，
由题意得，
解得（舍去）或，
∴点的坐标为．
11．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标．
(2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值．
(3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？
【答案】(1)；
(2)
(3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度
【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可；
（2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可；
（3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式．
【详解】（1）解：把、代入，得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
化为顶点式，得，
∴点的坐标为；
（2）解：设直线的表达式为，代入、得
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点的横坐标为，则，，
，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∵，在取值内，
∴当时，；
（3）解：由（2）当的长最大时，，点，点，
设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点，
根据的位置，可分两种情况讨论：
①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则，
∴，
解得或，
，即，
解得或（不合题意，舍去）；
∴的坐标为或，
∵抛物线的顶点为，
∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度；
当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度；
②当点在轴下方时，四边形是菱形，则，
∴，
两边平方，得，
移项并整理，得，
∴此方程无实数根，
故此情况不成立；
综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形．
12．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值；
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形面积的最大值为
(3)点Q的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值；
（3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中，得，
解得，，
∴这个二次函数的表达式为y；
（2）解：对于二次函数的表达式，令，则，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线的表达式为，
设，
∵轴．
，，
∴
∴
，
∴当时，有最大值；
（3）解：∵，，，，
∴，，，，
分以下三种情况：
①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时．
，，
，
解得或（舍去）
．
，
，
．
②如图，当是菱形的对角线时，
根据菱形的性质可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
，
解得或0（舍去），
∴．
③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时，
则有，
解得或0（舍去），
，
，
．
④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，，
则有，
解得或，
都不满足，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或．
◆题型5二次函数与正方形存在性问题
13．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求线段长度的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上一动点，且与的和最小；点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，请直接写出的值；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将代入得到关于的二元一次方程组求解即可；
（2）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；
（3）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求点的坐标，根据题意画出图形，分情况求解即可；
（4）抛物线，顶点，对称轴，分区间讨论的范围，根据“最大值最小值”列方程求解．
【详解】（1）解：将代入得
，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为．
（2）解：如图，设直线的解析式为：，
把点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
设，则，
则，
当时，有最大值为．
（3）解：由（1）知抛物线的对称轴为，
点为抛物线对称轴上一动点，，
当点在上时，最小，
由（2）知直线的解析式为：，
把代入，得，
点的坐标为；
如图，直线的解析式为：，
直线与轴的交点为，
，，
，
若以点为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点作轴于点，，则为等腰直角三角形，
过点作，则为等腰直角三角形，
则四边形为正方形，
依题意，知与重合，，
，
则点的坐标为；
②以为中心分别作点的对称点，连接，
，，，为等腰直角三角形，
则四边形是菱形，为等腰直角三角形，点的坐标为
，
则四边形是正方形，则点的坐标为；
③延长到使，作于点，
，
则四边形是矩形，
又，
则四边形是正方形，
，
即为的中点，
又，
则的坐标为；
④取的中点，的中点，连接，
由①②得，为等腰直角三角形，
，为等腰直角三角形，
则为正方形，
，
则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：．
（4）解：抛物线，顶点，对称轴，
在区间：
①当，区间最小值为，
区间最大值．
当，最大值在处为，，不满足；
当，右端点的函数值更大，
令，解得（负根舍去）；
②当时，函数在单调递减，
最小值在，最大值在，
则有，
，，方程无实根，
综上，．
14．（2026·陕西西安·模拟预测）某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图（由轨道和支撑杆构成）．其左边部分可近似地看成抛物线的一部分，如图2．线段，，，，是5条支撑杆，点A，E，C，F，B都在抛物线上，且点C为抛物线最高点．，均平行于地面，，，均垂直于地面，米，米，距离地面10米．以O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求图2中抛物线的函数表达式；
(2)若图中的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度．
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）设图2中抛物线的解析式为，将，代入求解即可；
（2）设，则，代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设图2中抛物线的解析式为，
由题意可知，，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，
四边形为正方形，
，
由对称性可知，
把点代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
纵杆的长度为米．
15．（2026·安徽阜阳·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值；
(3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)t的值为或
(3)
【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可．
（2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果．
（3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解．
【详解】（1）解：将，分别代入，
得
解得
故抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点，
∴，其中．
∵抛物线的函数表达式为，
∴．
令，解得，，
∵轴，
∴当时，点E与点C重合．
∴，．
①当时，如图1，点E在点C上方，
此时，
∴．
当时，，解得．
②当时，如图2，点E在点C下方，
此时，
∴．
当时，，解得，（舍去）．
综上可知，t的值为或．
（3）解：∵轴，轴，
∴．
又轴，
∴四边形是矩形，
∴．
设点N的横坐标为n，则，
∴．
∵，，
∴设直线的函数表达式为，把，代入，得，
∴直线的函数表达式为，
∴，
∴，，
∴①．
要使四边形为正方形，则要满足．
点N的位置有以下两种情况．
①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时．
若，则，整理，得②，
把②代入①，得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
②当点N在点C右侧的抛物线上时，．
若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意．
综上可知，点M的坐标为．
综合攻坚·知能拔高
一、选择题
1．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．10
【答案】B
【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，利用割补法表示出的面积，再由求解即可．
【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，
设直线，代入点，可得，
解得
∴直线
设，则
∴
∵
∴，
∴当时，取得最大值为，
设，则，
∴，
同理可求当时，取得最大值为，
∵，
∴当且仅当时，取得最大值为．
2．（2026·江苏苏州·二模）定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据勾股二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的根的关系，逐项判断，即可．
【详解】解：如图，连接，
∵二次函数是勾股二次函数，
∴为直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故①正确；
设点，则，，
∴m，n为方程的两根，
∴，
当时，，
∴点，即，
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，即，
∵m，n为方程的两根，
∴，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵该函数图象的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值
C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
面积，，
，
当时，S有最小值.
4．如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（ ）
①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．
A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】B
【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：、和，分别列出方程，解方程即可判断⑤．
【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒，
∴当时，，此时的面积为，
∴，
∴，
∴点的运动速度为，则说法①正确；
当运动到秒时，函数关系式改变，则，
如图，过作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，则说法②错误；
如图，当点在上时，过点作于点，
∵，，
∴线段段的函数解析式为，则说法③正确；
∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为，
∴，
当时，如图，过点作于点，
则，，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确；
∵，
∴的面积．
当时，此时的边，边上的高为，
∴，解得或（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）；
综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误；
综上，说法正确的是①③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，先证明，可得，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，设矩形的一边的长为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴；
∴矩形的面积，
∵，
∴当时，面积有最大值．
故选：C．
6．二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键．
连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系得，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出C点坐标．
【详解】解：连接交于D，如图，
四边形为菱形，
，
，
，
，
设，则，
，
把代入,
得，
解得（舍去），
，
，，
故C点坐标为：．
故答案为：B．
7．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，抛物线G：与抛物线H：交于点，且分别与y轴交于点D，过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，则以下结论：①抛物线G可由抛物线H向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到；②无论x取何值，总是负数；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移以及正方形的判定，解答本题的关键是熟练掌握方程思想与数形结合思想的应用．
求得抛物线的顶点坐标，由抛物线的顶点坐标得到平移规律即可；
②由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数；
③由，可得随着x的增大，的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．
【详解】解：由题意，抛物线G：与抛物线H；交于点，
代入得：，解得：，
①∵抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
∴抛物线G可由抛物线H向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，故①正确；
②，
，
，
无论x取何值，总是负数，故②正确；
③，
随着x的增大，的值减小，故③错误；
④设与交于点F，
当时，，解得：或，
点，
当时，，解得：或，
点，
，，当时，，
，，
四边形为平行四边形，
∴，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，故④正确．
故选：D．
二、填空题
8．（2025·湖南·模拟预测）设形状相同（即全等）的两条抛物线与，若的顶点在的图象上，且的顶点在的图象上，则称与互为“北斗星链”抛物线.已知的一条“北斗星链”抛物线是，与相交于点，，连接，在线段右上方的抛物线上取点，在线段左下方的抛物线上取点，作四边形，则________，四边形的面积的最大值是________.
【答案】
【分析】求出抛物线的顶点坐标，将其化入抛物线的解析式求出；再分别求出，，然后可求出的长，接着求出过、两点与平行且距离最远的直线的解析式，再求出它们与各自抛物线的交点、，再求出这两条最远的直线之间的距离即可求得四边形面积的最大值．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵的一条“北斗星链”抛物线是，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，，解得：，，
∴当时，，
当时，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设过点与直线平行的直线的解析式为，
过点点与直线平行的直线的解析式为，
当两直线离直线都最远时，四边形的面积的最大，
此时两直线分别与抛物线，抛物线只有一个交点，
也就是与都只有一个解，
由得，只有一个解，
所以只有一个解，
所以，
解得：，
过点与直线平行的直线的解析式为，
，解得：，
所以；
由只有一个解得，只有一个解，
所以只有一个解，
所以，解得：，
所以过点点与直线平行的直线的解析式为，
，解得：，
所以，
过作于点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
所以直线的解析式为，
，解得：，
所以，
所以，
所以四边形是最大面积为：．
9．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积的最小值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、二次函数的性质，设，正方形的边长为，根据矩形的性质可得，再由勾股定理并结合正方形的性质可得，求出，从而可得，最后结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：设，正方形的边长为，
∵四边形为矩形，，，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴当时，阴影部分面积最小为，
故答案为：．
10．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质．
根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标．
【详解】解：当时，，则，
当时，，
解得：，
∴，
设，
∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即或．
故答案为：或．
11．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________．
【答案】 或或
【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标；
（2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键．
【详解】解：（1）令，解得，
故点C的坐标为；
（2）令，解得或，
故点B的坐标为；
∵，
∴设点，；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
此时点；
综上，点P的坐标为或或．
三、解答题
12．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上．
(1)直接写出点C的坐标；
(2)如图（1），若点F在抛物线上，当点D横坐标为时，求点F的横坐标；
(3)如图（2），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，求出点，即可求解；
（2）设出点E，F的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解，即可求出答案；
（3）先求出点，再求出直线的解析式，然后过点E作轴交直线于点G，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于a的方程，求出点E的坐标，即可求解
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴点，
∵C是的中点，
∴；
（2）解：∵点E，F在抛物线上，
∴设点，
∵点D在抛物线上，且点D的横坐标为，
∴，
由（1）知，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
即点F的横坐标为；
（3）解：把代入得：
，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点E作轴交直线于点G，连接，
设点，则点，
∴，
∵平行四边形的面积是13，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点，
∵先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点，
∴点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点．
13．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点
(1)直接写出、、三点的坐标
(2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标
(3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或．
【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案；
（2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可；
（3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：在中，
当时，，
解得或，
当时，，
∴；
（2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G，
∴，
∴，
∴；
由（1）得，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
联立，解得或，
∴点D的坐标为；
（3）解：设，
当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得：
，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴点E的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得：
，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴点E的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得：
，
∴，
∴，
解得或，
∴点E的坐标为或，
综上所述，点E的坐标为或或．
14．（26-27九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．为直线下方抛物线上一点，过点作于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，证明是等腰直角三角形，得到；求出直线的解析式为；过点P作轴交于点R，设，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可推出，据此可得答案；
（3）求出对称轴，设出点M的坐标，再分两种情况：为对角线和为边，利用两点间的距离公式和勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
解得或，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
设直线的解析式为，
则，
∴
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于点R，设，则，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设，
当为对角线时，则，
∴，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或，
当点M的坐标为时，的中点坐标为，即，
∵矩形的两条对角线的中点坐标相同，
∴的中点坐标为，
∴点N的横坐标为，纵坐标为，
∴点N的坐标为；
当点M的坐标为时，的中点坐标为，即，
∵矩形的两条对角线的中点坐标相同，
∴的中点坐标为，
∴点N的横坐标为，纵坐标为，
∴点N的坐标为；
当为边时，若，则，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴的中点坐标为，即，
∵矩形的两条对角线的中点坐标相同，
∴的中点坐标为，
∴点N的横坐标为，纵坐标为，
∴点N的坐标为；
若，则，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴的中点坐标为，即，
∵矩形的两条对角线的中点坐标相同，
∴的中点坐标为，
∴点N的横坐标为，纵坐标为，
∴点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或或或．
15．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值；
(3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)h的值为或
【分析】（1）待定系数法求解；
（2）利用二次函数解析式求出抛物线与轴的交点坐标，确定的取值范围，然后利用正方形的性质列出方程求解；
（3）利用待定系数法求出相关函数的解析式，求出相关点的坐标，然后利用相似三角形的判定和性质，列出方程求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴时，，
解得：，，
∴，，
∵点是抛物线在轴下方的一个动点，点的横坐标为，
∴．
设，
∵轴于点，轴于点，
∴，，
∵矩形是正方形，
∴，即．
解得：，；
（3）解：设与抛物线的对称轴交于点，直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的函数表达式为，
∴对称轴为直线，
∵对于直线，当时，，
∴，
∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线，
∴抛物线的解析式为，
对于抛物线，当时，，
∴，
如图，当点在点上方时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：（负值舍去）；
如图，当点在点下方时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）．
综上所述：的值为或．
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专题02二次函数与四边形
常考题型精准突破
◆题型1二次函数与四边形的面积问题
1.【详解】(1)解：·二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A-4,0,与y轴交于点C0,4,
-16-4b+c=0mmb=-3
c=4
解得c=4
该二次函数的解析式为y=-x2-3x+4;b=-3,c=4
(2)解：如图所示，连AC,
.A-4,0C0,4
∴.OA=0C=4.
∴.∠OAC=∠OCA=45°
.∠PCA=45°，
∴.∠PCA=∠OAC=45.
.PC‖OA
.点P的纵坐标为4.
.-x2-3x+4=4
解得X1=0或X2=-3.
由图可得P-3,4.
∴t=-3,
(3)解：①令y=0,则-x2-3x+4=0,
解得X1=-4,X2=1.
.B1,0.
∴.0B=1
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当点P在AC的上方时，
即-4<t<0'Pt,-t2-3t+4
过点P作PD⊥OA于点D,
B
则PD=-t2-3t+4,OD=-t,
.AD=OA-OD=4+t.
.S=SAP0+S梯形PD0C
=5AD~PD+号PD+0COD
=4+t-f-3+4+2--31+4+4×-t,
=-2t-8t+8
即0<t<1'Pt,-t2-3t+4
过点P作PE⊥OC于点E,如图，
B￥
则PE=t,
∴.S=SAOAC+SAOPC
号0A0c+20c-PE
=1×4×4+1×4t
2
2
=2t+8.
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综上，S关于t的函数解析式为S=-22-8t+8-4<t<0
S=2t+80<t<1
②当-4<t<0时，
S=-2t2-8t+8=-2t+22+16
.-2<0,
当t=-2时，S有最大值为16，
.8<S≤16，
当0<t<1时，S=2t+8,
.∴.8<S<10
画出函数S=
-2t2-8t+8-4<t<0的大致图象，如图：
2t+80<t<1
y
16
10
-4
由图象可知：当10≤S<16时，存在2个符合条件的点P
2.【详解】(1)解：.抛物线y=-x2+bx+c经过点A-1,0,点B0,3,
10
b=2
解得c=3
∴.抛物线的函数解析式为y=-x+2x+3:
(2)解：y=-X2+2x+3=-x-1+4
∴.M1,4,
.MN⊥x轴，
∴.N1,0:
∴.ON=1,MN=4,
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.点A-1,0,点B0,3,
∴.OA=1,OB=3,
∴.S网边形ABMN=S△AOB+S形BMN0F之
=×1×3+×13+41×1=3+Z=5:
22
(3)解：把y=0代入函数解析式得-x2+2X+3=0,
解得X1=-1,X2=3,
,M是抛物线上第一象限内的点，
∴.0<m<3,
根据函数解析式知Mm,-m2+2m+3Nm,0'
∴.MN=-m2+2m+3,AN=m--1=m+1,
∴.AN+MN=m+1-m2+2m+3
=-m2+3m+4
3+25
=-m-24
0<3<3,
2
当m=多时，AN+MN有最大值
4
3.【详解】(1)解：A-1,0、B(2,0),C0,4,
∴.设抛物线表达式为y=ax+1川x-2,
将C代入得-2a=4,
解得a=-2,
:该抛物线的解析式为y=-2x+1X-2=-2X2+2x+4
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(2)解：连接0p设点P坐标为m,-2m2+2m+4且m>0'
B
A-1,0、B(2,0),C0,4,
可得OA=1,OC=4,OB=2,
.S四边形CABP=SA0AC+SAOCP+SAOPB
-方×1×4+×4×m+×2x-2m+2m+4
2
=-2m2+4m+6
=-2m-12+8'
∴.当m=1时，面积最大值为8，
∴，四边形CABP的面积最大值为8.
◆题型2二次函数与平行四边形存在性问题
4.【详解】(1)解：：二次函数y=ax2+bx的图象经过A(1,-1人、B(4,0)两点，
∴.乙，解得乙，
∴，二次函数的解析式为y=
3t
(2)解：设点M坐标为x,y),
A(1,-1、B(4,0),
当AB为对角线时，则1+4=x+0,-1+0=y+0,
.x=5,y=-1,
点M(5,-1):
当AO为对角线时，1+0=x+4,-1+0=y+0,
∴.x=-3,y=-1,
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点M(-3,-1):
当AM为对角线时，4+0=x+1,-1+y=0+0,
.x=3,y=1,
点M(3,1:
综上所述：M的坐标为(3,1)、（-3，-1)、(5，-1)
5.【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A-1,0,B3,0两点，
.a-b-3=0
÷9a+3b-3=0’
a=1
b=-2'
.该抛物线的函数表达式为y=x-2x-3;
(2)解：设直线1的函数表达式为y=kx+bk≠0
则3k+b=0
b=3
k=-1,
b=3
.直线1的函数表达式为y=-X+3:
.EF⊥x轴，Pm,0,
Em,m2-2m-3,Fm,-m+3
六EF=-m+3-m2-2m-3=-m2+m+6=-
.S四边形CEBr=S△CEr+S△BEr
=3EFx+F。x
=1EF·(XBXC
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=-3m-12+75,
m-
21
28
六当m-之时，Sm必cr的面积有最大值，最大值为
1
89
(3)解：设Nn,-n+3,
:MN‖AC,
∴以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形时，AC,MN是该平行四边形的一组对边：
当四边形ACMN是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，
在y=x2-2x-3中，当x=0时，y=-3,
.C0,-3,
.A-1,0,
点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C,
∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M,
∴.点M的坐标为n+1,-n+3-3,即n+1,-n,
六n+12-2n+1-3=-n
解得n=1+亚或n=1-亚
2
2
当n=1+亚时，n+1=1+亚，-n=亚
2
2
2
当n=1,亚时，n+1=1-亚<0.不符合圈意，
2
2
·点M的坐标为1+V171-/17:
2’2
当四边形ACNM是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，
,点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A,
∴.点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M,
点M的坐标为n-1,-n+3+3,即n-1,-n+6,
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六n-1-2n-1-3=-n+6
解得n=3+33
或n=3-33
2
2
“当n=3+/3
2
时，n-1=1+/
3,-n+6=9-38图
2
当n=3-33.
时，n-1=1一3<0，不符合腿意
.点M的坐标为1+339-V33
22
综上所述，点M的坐标为1+V171-V17或1+V339-V33
2’2
2
2
6.【详解】(1)解：由抛物线经过A-4,0,C2,0,设抛物线解析式：y=ax+4x-2,
把B0,-4代入y=ax+4(x-2得，
-4=a0+40-2,
1
解得a=2
yx*+4x-2.即y-+x-4
(2)解：过点M作y轴平行线交AB于点N,
设直线AB解析式：y=kx+b,
A-4,0,B0,-4,
∴.，
解得k=-1,b=-4,
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.y=-x-4,
设Mm,方m2+m-4小则m,m-4
wN-m-4m+m-4-n-2m
÷5aae=MN-k,
-2m4
=-m2-4m
=-m+22+4
∴.m=-2时，△MAB的面积最大，
此时，2m+m-4=5×-2+-2-4=-4,
1
2
∴M-2,-4:
3)解：设Q,-rPx,+x-4
①当PQ为以点P、Q、B、O为顶点的平行四边形的对角线时，
Q,-rP+x-4
00,0'B0,-4
00,2+x4
22
-4+0:
2
x=-6r-t-4-t=-4
-21=0
解得t1=0,t2=4,
t=0不符合题意，舍去，
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Q14,-49
②当PB为以点P、Q、B、O为顶点的平行四边形的对角线时，
itotoro
:X+0=t+0
5x2+x-4+-4
22
-t+0
2
2
x=t+t-8=-t,
∴.t+4t-16=0,
.t=-2±2V5,
Q2-2+2V5,2-2V5Q3-2-2V5,2+2/5
③当PO为以点P、Q、B、O为顶点的平行四边形的对角线时，
“Q,-tPx+x-4
00,0'B0,-4
:x+0=t+0
5X2+x=4+0-t+-4
2
2
2
2
.x=t,
2+-4=-t-4,
+2=0,
∴.t1=0,t2=-4,
t=0不符合题意，舍去，
Q4-4,49
综上，有四个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为4，-4或
-2+25,2-25或-2-25,2+25或-44
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◆题型3二次函数与矩形存在性问题
7.【详解】(1)解：，0A=1,
A-1,0,
:抛物线y=aX2+bx+3a≠0卢与，轴交于点A、B对称轴为直线x=2
∴.点A,B关于对称轴直线X=2对称，
.B5,0
∴.将点A-1,0,B5,0代入抛物线y=ax2+bx+3,得
|a-b+3=0
25a+5b+3=0,
3
4=-
解得
5
12
b=
抛物线的解析式为y+女2
X+3.
5
(2)解：①对于抛物线y=-3x2+兰x+3,令x=0,则y=3,
5
C0,3.
,抛物线y=-
x-22+27
x+3=-3
:顶点D2,5
7
2
:点P在抛物线对称轴上，且在顶点下方，DP=
.P2,5
将点P向左平移1个单位长度，得到点p?则P1,5引
连接PP,PE,
则PP=1,且PP‖x轴，
,EF在x轴上，且EF=1,
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PP‖EF,PP=EF,
∴.四边形EFPP是平行四边形，
∴PE=PF
作点c0,3关于x轴的对称点C0,-3:连接cE'CP
则CE=CE,
∴.CE+EF+PF=CE+EF+PE≥EF+C'P,
即当点E在CP上时，CE+EF+PF取得最小值，最小值为EF+CP的长，
“c0,-3p1,5
·c'p=0-1+-3-5=V65
∴.CE+EF+PF最小值为EF+CP'=1+/65
设直线CP的函数解析式为y=kx+b,
直线cp过点c0,-3'P1,5
b=-3,
解得k=8
k+b=5
b=-3
∴.直线CP的函数解析式为y=8x-3,
令y=0,则8x-3=0,解得x=3
∴CE+EF+PF取得最小值时，点E坐标为
0
8
D
PK-P
B
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②设P2,p,Qm,n,其中p<
27
由(1)知B(5,0),由(2)①可知C0,3.
如图，当BC为矩形的对角线时，
x=2
'D
B
9
,四边形BQCP是矩形，
∴，BC与PQ互相平分，BC=PQ,
5+0_2+m
由中点坐标公式，得
2
2
0+3=p+
2
2
m=3
解得
p=3-n
.Q3,n,P2,3-n,
BC=PQ,即PQ=BC2,
六12+3-2n2=52+32
3-3
解得n1=
3成n,=3+3
2
当n=3-/
2
3时，p=3-n=3-3-33_3+3327
2
2
51
符合题意：
当n=3+V33
2
时，p=3-n=3-3+33_3-3327
2
2
,符合题意：
如图，当BP为矩形的对角线时，
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x=2
p
5+2-0+m
同理，
由中点坐标公式得
22
0+2_3+n
22
m=7
解得
p=n+3'
.Q7,n,P2,n+3,
同理，BP=CQ2
32+n+32=72+n-3
解得n=10
p=n+3=
+39>，不合题意，舍
3
如图，当BQ为矩形的对角线时，
y
x=2
D
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5+m_2+0
同理，由中点坐标公式得，
2
2
0+n=p+
2
2
解得：
m=-3
p=n-3
∴.Q-3,n,P2,n-3,
同理，BQ=CP2,
82+n2=2+n-62
解得n=-2,
·p=n-3=-2-3=-5<2
,符合题意，
Q-3,-2,
综上，点Q的坐标为
3
3+833或3,3-3|或-3，-2
2
2
8.【详解】(1)解：将A-1,0,B4,0代入y=ax2+bx+3,
3
Q二-
得a-b+3=0,解得
4
16a+4b+3=0
∴解析式为y=-3X+9
X+3:
4
4
(2)①解析式为y=-3x2+9
X+3
4
4
9
b
…对称轴为直线X=一
2a
2×
3
CD‖x,
∴.C,D关于直线X=
对称
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当x=0时，y=-3X2+9
+3=3,
4
41
∴.C(0,3),
∴.D3,3
.∴.CD=3
:四边形CPDH的面积等于
8
∴CDxPH=-
8
P阳=
设直线BC的解析式为y=k心+b,
4k+b=0
将B(4,0),C(0,3)分别代入得
c=3
k=-
解得：
4
b=3
·直线BC的解析式为：y=-
4+3,
,-32+9t
9即Ht,
r
9
4t+4
H,+9+3在y=-3
4
44
+3
4
-3t+9+3-3t+3
二t+二-
4
44
4
解得：t=1或t=3(与点D重合舍去)
p
②过点P作y轴的平行线，交直线BC于点F,交X轴于点H,
过点A作y轴的平行线，交直线BC于点G,
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G
P
A(-1,0
E
A
H长
当x=-1时，y=-3x-1+3=15
4
G-1,}aG=g.
:AG‖y轴‖PF,
∴.△PEF一△AEG,
G
PF4
.155,
4
∴PF=3,
解得：t1=t2=2,
AH=1+2=3.
PH-9
9
在Rt△APH中，
tan∠PAB=PH=2-3:
AH 3 2
(3)解：B4,0,C0,3
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∴.OB=4,OC=3
“BC=V0B2+0C2=5
y=-3x+9x
4
4x+3=-3
x+1川x-4
设Mm,
329
-m+
4
m+3
4
当BC为矩形的对角线时，BC=CM2+BM2
cM-m+子m+m+3-3f-m+子m+n月
12
4
4
m,
4
Bn-m-4+-子r+号m+3-m-4+器m*1m-4
2
16
25=m2+
m+号mm-4+是n+1m-4
4
16
整理得，
9m_27m+61m+11m=0
8482
即9m4-54m3+61m2+44m=0
“mm-49m2-18m-11=0
.m≠0，m≠4
∴.9m2-18m-11=0
解得：m=1+235或m=1-25
3
3
5,17,则
3
255,17
M1+
326
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m=12g5m*1m-4引-251小1-24
25-4=-5+17,则
3
4
26
M1
25_5+1马
3’-2+6
当CM为对角线时，如图，设BM交y轴于点Q,
YA
M:
M
M:
'ㄥCBM=90
∴.ㄥOQB=90°-ㄥOBQ=∠CBO
·tan∠CB0=C0-3
B04
tan∠OQB=OB=3
0Q4
0号0n
4×4=
3
3代入B4,0
设直线BQ的解析式为y=&-1
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0=4秋当
k月
直线Q的解折式为y-号x
3
4.16
y
X
联立
3
3
y、
3.2.9
X+3
4
X=-
25
解得：
x=4或
y=0
244
y=-
27
M
2
244
9
27
当BM为对角线时，CM⊥BC
.CM‖BQ
∴.直线CM的解析式为y=
X+3
y
联立
3t3
y=-
4
X+3
4
11
X=
解得：
x=4或
9
y=0
25
y=
27
…M
11125
9’27
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综上所述，
M1
255+戌M1-2g5,-5+|或M-
3,26
3’26
w罗
9.【详解】(1)解：将点2,1和4，-7分别代入y=ax+bx+1,
得乙，
a=-1
解得b=2
∴.抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+1,
.y=-x2+2x+1=-x-12+21
.它的顶点坐标为1,2.
(2)解：①：如图1所示，x=-2时，y=-7,
故图像G的最低点为-2，-7，
到最高点之间的距离为：2+7=9，
所以矩形一边的长为9，
另一边的长度：n-m=2--2=4,
所以，矩形R的面积：4×9=36】
②：如图2所示，m=-2,矩形R的垂直高度h=9,
点M关于x=1对称的点，横坐标的值为4，
所以要保证矩形R的垂直高度h=9,则，点N的横坐标不能大于4，
同时，点N又要在对称轴x=1的右侧，
所以矩形R的水平宽度p的取值最小值为1--2=3，最大值为4--2=6，
故范围是3≤p≤6
③：根据题意设Mm,-m2+2m+1则Nm+3,-m2-4m-2
第一种情况：当m+3≤1，即m≤-2时，
h=yw-yM=-m2-4m-2--m2+2m+1=-6m-3=3'
∴.m=-1(舍去)：
第二种情况：当d,即-2<m≤-
2时，
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h=2-yM=2--m2+2m+1=m2-2m+1=3
.m=1-3或m=1+3(舍去)，
当m=1-9V3时，-m2+2m+1=-1-3}+2×1-3+1=-1'
.M1-3,-1月
第三种情说：当，印m<1时，
h=2-yw=2--m2-4m-2=m2+4m+4=3
∴.m=-2+3或m=-2-3(舍去)，
当m=-2+9V3时-m2+2m+1=--2+3}+2×-2+3+1=63-10°
∴.M-2+93,6V3-10
第四种情况：当m≥1时，h=yw-yw-m2-4m-2--m2+2m+1=-6m-3=3'
.m=0(舍去)：
综上，点M的坐标为1-3，-1或-2+3,63-10
◆题型4二次函数与菱形存在性问题
10.【详解】(1)解：，OC=OB且OC·OB=9,
∴.OC=OB=3,
.B3,0,C0,3,
-9+3b+c=0
b=2
c=3
解得c=3
∴，抛物线的表达式为y=-x+2x+3:
(2)解：如图，连接CP,交对称轴l于E,
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y=-x2+2x+3=-x-12+4
.∴抛物线的对称轴为直线X=1,点M的横坐标为1，
,四边形CDPM是菱形，
∴CP⊥DM,DE=ME,CP‖x轴，
,抛物线解析式为y=-x2+2x+3,
∴.当x=0时，y=3,
.C(0,3),
.E(1,3),DE=ME=3,
.DM=6,
∴.点M的坐标为1,6：
(3)解：设点Q的坐标为1，n,直线CF交X轴于点G,直线BE交y轴于点H,
E
图2
设直线CQ的解析式为y=kx+b1,
C0,3,
:k+b,=n,解得k=n-3
b=3
b=3
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∴.直线CQ的解析式为y=n-3x+3,
联立得y=n-3x+3,
y=-x2+2x+3
解得x=0或
x=5-n
y=3y=-nm2+8n-12
点F的坐标为5-n,-n2+8n-12点G的坐标为，3,0
3-n’
同理求得直我BH的解析式为)=一分x+
3n
2
点E的坐标为
+2n
点H的坐标为0,3n
2
·点E在y轴的左侧，
号-1<0，即n<2,
33an-*a-125w31-号川
由题意得
32h-48m-1-2---lg西
2
解得n=7(舍去)或n=-1,
.点Q的坐标为1，-1
11.【详解】(1)解：把A-3,0、C0,3代入y=-x2+bx+c,得
d,
解得乙，
∴.抛物线W的函数表达式为y=-x2-2x+3,
化为项点式，得y=-x+1+4
∴.点D的坐标为-1,4：
(2)解：设直线AC的表达式为y=mx+n,代入A-3,0、C0,3得
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b,
解得乙，
∴.直线AC的表达式为y=x+3,
设点p的横坐标为t-3≤t≤0则Pt,t+3Qt,-t2-2t+3
PQ=yo-yp=-t2-2t+3-t+3=--3t
-1<0,
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
-3
3
.t=-
2x-12:在-3≤t≤0取值内，
当=-3时，PQ=-
)由@音nm张大时0-=县p-是是3引点
03引2×引3
设平移后抛物线顶点Dh,k抛物线对称轴为直线x=h对称轴交x轴于点Eh,0?
根据D的位置，可分两种情况讨论：
①如图，当点D在x轴上方时，四边形PQDE是菱形，则PQ=PE=DE,
D
D
92明
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2*4或h=-335
解得h=-3+35
24
k-o小=是即k-呈
41
解得k=9或k=-
9
4
4
(不合题意，舍去)：
六D的坐标为
3+359戌_3_359
4’4244
,抛物线W的顶点为D-1,4,
“当D的坐标为
3,359时，
X
3+35
4’4
--1=+352-4:-乙，抛物线w向右平移
4
244
4
1.3V5
4
个单位长度，向下平移4
个单位长度：
当D的坐标为
3
359时，
335
24’4
24
--1=-1-35,9-4=-Z抛物线w向左平移
244
1+3V
1
24
个单位长度，向下平移4个单位长度：
②当点D在X轴下方时，四边形PQED是菱形，则PQ=QE,
.9
3
h
4
两边平方，得81_
2,225
16
/16
_3-h=-9
12
移项并整理，得
此方程无实数根，
故此情况不成立：
综上，抛物线W向右平移-号+35
7
2+4个单位长度，向下平移4个单位长度或向左平移
,1,35
4
个单位长度，
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向下平移
个单位长度，能使得以P、Q、D、E为顶点的四边形是菱形.
9-3b+c=0
12.【详解】(1)解：把A-3,0,B1,0代入y=x+bx+c中，得
1+b+c=0
b=2
解得，
c=-3
∴.这个二次函数的表达式为yy=x+2x-3;
(2)解：对于二次函数的表达式y=x+2X-3,令X=0,则y=-3,
.C0,-3,
设直线AC的表达式为y=k1x+b1,
把A-3,0,C0,-3代入y=+b,得
-3k1+b1=0,
解得，
b1=-3
&-
∴.直线AC的表达式为y=-x-3,
设Pm,0川-3≤m≤0，
.PM⊥x轴.
∴.Mm,-m-3Nm,m2+2m-3
MNW=-m-3-m2+2m-3=-m2-3m
'.S四边形AwCB=S△ANC+S△ACB
=SAAM+SACM+S△ACB
MN-AP+MN-OP+AB-OC
2
/2
=-MN-OA+-AB-OC
2
=号-m2-3m小3+2×4×3
2
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m+3+25
3
2
28
q=-
<0
2
.当m=-
时，ScB有最大值
3
2
8
(3)解：“Mm,-m-3Nm,m2+2m-3C0,-3A-3,0
MN=-m-3-m2+2m-3=m2-3mMC=-2m'OA=0C=3'∠AC0=45
分以下三种情况：
①如图中，当点M在线段AC上，MN=MC,四边形MNQC是菱形时.
∴.MN=-m2-3mMC=-V2m
图2-1
∴.-m2-3m=-V2m,
解得m=-3+V2或m=0(舍去)
∴.MN=3V2-2,
∴.CQ=MW=3V2-2,
∴.0Q=3V2+1,
.Q0,-32-1
②如图，当MC是菱形的对角线时，
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根据菱形的性质可得∠ACO=∠NCO=45°，
∴.∠MCN=90°，
∴.四边形MNCQ是正方形，
..CN=MN=CQ=MQ,Q0,-m-3),
-m2-3m=-m,
解得m=-2或0（舍去），
.Q0,-1.
③如图，当点M在CA延长线上时，MN=CM,四边形MNQC是菱形时，
N
M
B
则有m2+3m=-√2m,
解得m=-3-V2或0（舍去），
∴.MN=CQ=32+2,
∴.0Q=CQ-0G=3V2-1,
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∴.Q0,3V2-1
④如图，当点M在AC延长线上时，MN=CM,四边形MNQC是菱形，此时m>O,
MN=-m2-3m=m2+3m'MC=-V2m=2m
则有m2+3m=2m,
解得m=2-3<0或m=0,
都不满足m>0,
综上所述，满足条件的点的坐标为0，-32-1戌0，-1或0,32-1
◆题型5二次函数与正方形存在性问题
13.
【详解】(1)解：将A-1,0,B4,5代入y=x2+mx+n得
[1-m+n=0
16+4m+n=5
解这个方程组得
m=-2
n=-3
∴.抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b,
把点A-1,0,B|4,5代入y=x+b,
-k+b=0
得4k+b=5
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(k=1
解得b=1”
.直线AB的解析式为：y=x+1,
设Dd,d-2d-3川-1<d<4则E(d,d+1
则e=id1d-23=-*3d4=-日-
(-1<d<4)
当d=3时，DE有最大值为
5
4
y
E
(3)解：由(1)知抛物线y=X-2x-3的对称轴为x=二)×1，■
.'点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB,
.当点C在AB上时，AC+BC最小，
由(2)知直线AB的解析式为：y=x+1,
把x=1代入y=x+1,得y=2,
∴.点C的坐标为1,2：
如图，.直线AB的解析式为：y=x+1,
∴.直线与y轴的交点为D0,1,OD=1
.A-1,0),OA=1,
.∴.OA=OD,∠DAO=∠ADO=45°，
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若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作CM1⊥y轴于点M1,∠CDM1=∠ADO=45°，∠CM1D=90°，则△DN1C为等腰直角
三角形，
过点c作CN,⊥DN口：则△DM,C为等腰直角三角形，
则四边形CM1DN1为正方形，
依题意，知D与F重合，DN1=CN1=CM1=1,
∴.xw,=xp+1=1,yw,=yc-1=1'
则点N1的坐标为1,1：
B
M
D
②以M1为中心分别作点F,C的对称点M2,N2,连接CM2,M2N2,N2F,
∴.CM,=M,N2=N2F=CF,M1M2=M1F=1,∠CM2F=∠CFM2=45°，△M2M1C为等腰直
角三角形，
则四边形M2N2FC是菱形，△FM2C为等腰直角三角形，点Mz的坐标为0,3)
.∠M,CF=90°，
则四边形M2N2FC是正方形，则点N2的坐标为-1,2：
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y个
B
M
A
DEN
③延长N,M,到N使NM,=M,C作N,E1⊥AB于点F
∴.∠CM,N3=∠M,CF1=∠N3F1C=90°，
则四边形M2N3F1C是矩形
又N3M2=M2C,
则四边形M2N3F1C是正方形，
∴.N3M2=M2C=N2M2,
即M为NaN,的中点，
又M20,3,N2-1,2
则N的坐标为1,4
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y个
B
N
M,
M
C
D
A
④取M2C的中点N4,FC的中点F2,连接M1N4,M1F2,
由①②得△M2M1C,△FM1C为等腰直角三角形，
∴.△N4M1C,△F2M1C为等腰直角三角形
则M1F2CN4为正方形，
x==2生-
22
则N的坐标为15，
22
B
N
M,
N
F)
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综上所述，点的坐标为：N11,N-12N,14,.}引
(4)解：抛物线y=X-2x-3=x-1P-4顶点1，-4对称轴x=1
在区间0≤x≤t:
①当t≥1，区间最小值为-4，
.区间最大值=-4+8=4
当1≤t<2,最大值在x=0处为-3，-3--4=1≠8，不满足；
当t≥2，右端点X=t的函数值更大，
令t2-2t-3=4,解得t=1+22(负根舍去)；
②当0<t<1时，函数在0≤x≤t单调递减，
最小值在x=t:y,=t2-2t-3最大值在x=0:y=-3:
则有-3-t2-2t-3=-t2+2t=8
t-2t+8=0'△=-2P-4×1×8=-28<0'方程无实根，
综上，t=1+2V2
14.【详解】(1)解：设图2中抛物线的解析式为y=ax+k,
由题意可知，C0,32.5,B15,10,
,k=32.5
225a+k=101
k=32.5
解得
a=-0.1
.抛物线的解析式为y=-0.1x2+32.5:
(2)解：设FG=m,
,四边形HEFG为正方形，
.∴.EF=FG=m,
由对称性可知Fm,
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把点F
2m代入y=-014325
得-0.1
2
+32.5=m'
解得m1=10/17-20'm,=-1017-20（不合题意，舍去)，
:纵杆FG的长度为10V17-20米.
15.【详解】(1)解：将-1,0,3,0分别代入y=-x2+bx+c,
得
-1-b+c=0,
-9+3b+c=0,
解得
b=2,
c=3,
故抛物线的函数表达式为y=-x+2x+3.
(2)解：，P为第一象限内抛物线上一动点，
六pt,-t2+2t+3其中0<t<3
,抛物线的函数表达式为y=-x+2x+3,
C0,3」
令-x2+2X+3=3,解得X1=0,X2=2,
:PE⊥y轴
.当t=2时，点E与点C重合.
心PE=tE0,-+2t+3
①当0<t<2时，如图1，点E在点C上方，
此时CE=-t2+2t+3-3=-t2+2t,
f=2t+2-t2+2t=-2t2+6t
当f、-2r+6t号解有=号
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E
E
AO D
B右
B
图1
图2
②当2<t<3时，如图2，点E在点C下方，
此时cE=3--2+2t+3=2-2t
f=2t+22-2t=2t2-2t
当f号时，22-2是解，，41-
2,t4=
2
(舍去)·
31+V10
综上可知，t的值为2或2
(3)解：，MG⊥x轴，NH⊥x轴，
∴.MGNH
又MN‖x轴，
∴.四边形MNHG是矩形，
∴.NH=MG
设点N的横坐标为，则Nn,-n2+2n+3
.NH=-n2+2n+3.
.C0,3,B3,0,
∴设直线BC的函数表达式为y=k+3,把B3,0,代入，得k=-1,
∴，直线BC的函数表达式为y=-X+3,
.Mm,-m+3,
∴.MG=-m+3,MN=m-n,
∴.-n2+2n+3=-m+3①.
要使四边形MNHG为正方形，则要满足MN=MG
点N的位置有以下两种情况.
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①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时MN=m-n.
若MW=MG,则m-n=-m+3,整理，得m=)②，
把②代入①，得-n2+2n+3=-3+n+3,
解得n=-2n,=3（不符合题意，舍去)，
.m24
-m+3=
41
M
②当点N在点C右侧的抛物线上时，MN=n-m
若MN=MG,则n-m=-m+3,解得n=3,此时点N与点B重合，不符合题意.
综上可知，点M的坐标为57：
4’4
B
图3
综合攻坚知能拔高
一、选择题
1.B
2.B
3.A
4.B
5.C
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6.B
7.D
二、填空题
8.627
9.15
10.-2,4或-2，-4
11.0,3
4,-5或-2，-5或2,3
三、解答题
12.【详解】(1)解：当y=0时，x2-2x-6=0,
解得：x,=1+7,x,=1-V7
∴点A1-7,0,B1+7,0
C是AB的中点，
C1,01:
(2)解：，点E,F在抛物线上，
设点Ee,e-2e-6,Ff,f-2f-6
:点D在抛物线y=x2-2X-6上，且点D的横坐标为-2，
.D-2,2
由(1)知C1,0,
四边形CDEF是平行四边形，
2e+1=-2+f,20+e2-2e-6=2+-2f-6l,
6
即点F的横坐标为6：
13
(3)解：把x=-2代入y=x2-2x-6得：
y=-22-2×-2-6=2'
∴点D-2,2,
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设直线CD的解析式为y=kx+bk≠O,
把点C1,0,D-2,2代入得：
k+b=0
-2k+b=2
k=-
解得：
2-3
直线CD的解析式为y=一3X+
如图，过点E作EG⊥X轴交直线CD于点G,连接CE,
B
点elao,d-2a-6则点ca,号a+号引
EG=
知+引a-2a-6=-a++
a+
3
3
3
,平行四边形CDEF的面积是13，
SACDE
13
5cEGxeh
解得：a=-1或3
(舍去)，
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点E-1,-3,
.D-2,2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点C1,0,
∴.点E-1,-3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点F2,-5.
13.【详解】(1)解：在y=x-2x-3中，
当y=0时，x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3,
当x=0时，y=-3,
.A-1,0,B3,0,C0,-3:
(2)解：如图所示，过点A作AH⊥AC交CD于点H,过点H作HG⊥x轴于点G,
∴.∠CAH=∠AGH=∠COA=90°，
.∠GAH+∠GHA=∠OAC+∠GAH,
∴.∠GHA=∠OAC;
由(1)得A-1,0,C0,-3,
.OA=1,OC=3:
:∠ACD=45°，∠CAH=90,
∴.△ACH是等腰直角三角形，
.'.AC=AH,
∴△OAC≌△GHA AAS,
..GH=OA=1,AG=OC=3,
∴.OG=AG-OA=2,
.H2,1:
设直线CH的解析式为y=k+b(k≠0，
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|2k+b=1
b=-3P
「k=2
b=-3
∴.直线CH的解析式为y=2x-3:
文223成
y=x2-2x-3
∴.点D的坐标为4,5：
(3)解：设Es,t,Fm,0,
当AC为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得：
s+m=-1+0
2
t+00+-3
2
2
.t=-3,
s2-2s-3=-3,
解得s=0(舍去)或s=2,
∴.点E的坐标为2，-3：
当AE为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得：
-1+s_m+0
2
2
t+00+-3)
2
2
∴.t=-3,
s2-2s-3=-3,
解得s=0(舍去)或s=2,
∴点E的坐标为2，-3；
当AF为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得：
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-1+m_s+0
22
-3+t_0+0
2
2
∴.t=3,
∴s2-2s-3=3,
解得s=1+V7或s=1-V7,
六点E的坐标为1-7,3或1+97,3
综上所述，点E的坐标为2，-3或1-7,3戌1+7,3
14.【详解】(1)解：，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,0,B两点，与y轴交于点C0,5,
,1+b+c=0
c=5
b=-6
c=5
∴.抛物线的解析式为y=x2-6x+5;
(2)解：在y=x2-6x+5中，当y=0时，x2-6x+5=0,
解得x=1或x=5,
B5,0,
.C0,5,
∴.OB=0C=5,
.∠B0C=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
.∠0CB=45°：
设直线BC的解析式
y=x+b'k≠0'
则5k+b=0
b=5
.k=-1
b=5
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∴.直线BC的解析式为y=-x+5:
如图所示，过点P作PRy轴交BC于点R,设plp,p'-6p+5则Rp,-p+5
∴∠PRQ=∠OCB=45°：
PQ⊥BC,
“.△PRQ是等腰直角三角形，
..PQ=RQ
六PR=PQ2+RQ-2PQ
P0-竖限
婴-p+5-p-in+0
2
-p2+5p
=-2.
52+252,
2p-21
8
N
<0,
当P=2时，PQ有最大值，最大值为252
89
(3)解：.抛物线的解析式
y=x2-6x+5=x-32-4'
,对称轴为直线X=3,
设M3,m,
当BC为对角线时，则∠BMC=90°，
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∴.BM2+CM2=BC2,
3-52+m-02+3-02+m-52=0-5P+5-02
解得m=6或m=-1,
∴.点M的坐标为3,6或3，-1，
当点M的坐标为3,61时，BC的中点坐标为0+5,0+5
2’2
,矩形的两条对角线的中点坐标相同，
·MN的中点坐标为55，
2’2
横坐标为×2-3=2，纵坐标为号*2
3
∴.点N的坐标为2，-1：
当点M的坐标为3，-1时，BC的中点坐标为0+5,0+5即5，三，
2’2
22
,矩形的两条对角线的中点坐标相同，
MN的中点坐标为S5,
2’2
点N的碳业标为号×2-3-2，织坐标为号×2-1=6
∴点N的坐标为2,6；
当BC为边时，若∠BCM=90°，则CM+BC=BM2,
六3-02+m-5+0-5+5-02=3-52+m-02,
解得m=8,
点M的坐标为3,8，
∴BM的中点坐标为3+5,80，即44
2’2
,矩形的两条对角线的中点坐标相同，
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CV的中点坐标为4,4，
∴，点N的横坐标为4×2-0=8，纵坐标为4×2-5=3，
∴.点N的坐标为8,3：
若∠CBM=90°，则BM2+BC=CM2,
÷0-52+5-02+3-52+m-02=3-02+m-52
解得m=-2,
∴点M的坐标为3，-2，
“CM的中点坐标为3+0，一2+5，即33，
2
,2
2'2
,矩形的两条对角线的中点坐标相同，
六BN的中点坐标为
33
22
的横坐标为×2-5=一2，纵坐标为号×2
点N的坐标为-2,3：
综上所述，点N的坐标为2，-1或2,6或8,3或-2,3.
15.【详解】(1)解：“抛物线C1y=aX-6x+c与x轴交于点A1,0和点B:与y轴交于点C0,5
a-6+c=0
c=5
解得：
a=1
c=51
.∴抛物线C1的函数表达式为y=x-6x+5;
(2)解：，抛物线C1的函数表达式为y=x2-6x+5,
∴y=0时，x2-6x+5=0,
解得：X1=1,x2=5,
.A(1,0),B(5,0）,
,点P是抛物线y=x-6x+5在x轴下方的一个动点，点P的横坐标为P,
∴.1<p<5.
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设p(p,p2-6p+5)
,PE⊥y轴于点E,PF⊥LX轴于点F,
∴.OF=p,PF=-p+6p-5,
矩形PEOF是正方形
∴.OF=PF,即p=-p+6p-5.
5,h5E
解得：p,=5+
2
(3)解：设BC与抛物线C1的对称轴交于点E,直线BC的解析式为y=x+n,
.B(5,0,C(0,5)
5m+n=0
n=5
解得：
m=-1
n=5:
∴.直线BC的解析式为y=-x+5,
:抛物线C的函数表达式为y=x-6x+5=(x-32-4
.对称轴为直线X=3,
:对于直线BC,当x=3时，y=-3+5=2,
.E(3,2,
:将抛物线y=X-6x+5=(X-3-4向右平移h个单位长度后，得到新抛物线C,
∴抛物线c的解析式为
y=(x-3-h)2-4
对于抛物线C,:当x=3时，y=(3-3-h2-4=R2-4
N(3,h2-4)'
如图，当点N在点E上方时，
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C
.EN‖OC,
.△OCG一△i,
:旋N
0C_0G
.OG=4GN,
÷0C=4EN,即5=4(2-4-2'
解得：h=29
(负值舍去)：
如图，当点N在点E下方时，
.EN‖OC,
.△OCG一△i,
光
六42-(2-4)=5
解得：h=19
2
(负值舍去)·
综上所述：h的值为
V29.V19
或2
专题02 二次函数与四边形
常考题型·精准突破
题型1 二次函数与四边形的面积问题（重）
题型2 二次函数与平行四边形存在性问题（高频）
题型3 二次函数与矩形存在性问题
题型4 二次函数与菱形存在性问题
题型5 二次函数与正方形存在性问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1二次函数与四边形的面积问题
1．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t．
(1)________，________；
(2)连接，当时，求t的值；
(3)设以，，，为顶点的四边形的面积为，
①求关于t的函数解析式；
②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围．
2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积．
(3)设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______．
3．（2026九年级上·山东·专题练习）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值．
◆题型2二次函数与平行四边形存在性问题
4．（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，二次函数的图象经过、两点．
(1)求这个二次函数解析式；
(2)点为坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
5．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值；
(3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（26-27九年级上·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标．
◆题型3二次函数与矩形存在性问题
7．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方；
①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标；
②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点两点，与轴交于点，连接直线．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)点是位于直线上方抛物线上的一个动点，
①如图1所示，过点作平行于轴与抛物线另一个交点为，当点位于上方时，过点作与轴平行的直线交于点，连接线段、、．当四边形的面积等于时，求点坐标；
②如图2所示，连接与直线交于点，当时，求的值；
(3)是抛物线上一个动点，在平面内是否存在，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
9．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图像．过图像的左右两端M，N分别作轴的垂线，过图像的最高点和最低点分别作轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形．
①若，，则矩形的面积是_____；
②若，矩形的垂直高度，则矩形的水平宽度p的取值范围是_____；
③若矩形为正方形且边长为3，求点的坐标．
◆题型4二次函数与菱形存在性问题
10．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标．
(3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标．
11．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标．
(2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值．
(3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？
12．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值；
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
◆题型5二次函数与正方形存在性问题
13．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求线段长度的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上一动点，且与的和最小；点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，请直接写出的值；
14．（2026·陕西西安·模拟预测）某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图（由轨道和支撑杆构成）．其左边部分可近似地看成抛物线的一部分，如图2．线段，，，，是5条支撑杆，点A，E，C，F，B都在抛物线上，且点C为抛物线最高点．，均平行于地面，，，均垂直于地面，米，米，距离地面10米．以O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求图2中抛物线的函数表达式；
(2)若图中的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度．
15．（2026·安徽阜阳·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值；
(3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标．
综合攻坚·知能拔高
一、选择题
1．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．10
2．（2026·江苏苏州·二模）定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值
C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大
4．如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（ ）
①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．
A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤
5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，抛物线G：与抛物线H：交于点，且分别与y轴交于点D，过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，则以下结论：①抛物线G可由抛物线H向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到；②无论x取何值，总是负数；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
8．（2025·湖南·模拟预测）设形状相同（即全等）的两条抛物线与，若的顶点在的图象上，且的顶点在的图象上，则称与互为“北斗星链”抛物线.已知的一条“北斗星链”抛物线是，与相交于点，，连接，在线段右上方的抛物线上取点，在线段左下方的抛物线上取点，作四边形，则________，四边形的面积的最大值是________.
9．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点从点出发向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积的最小值为___________．
10．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______．
11．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________．
三、解答题
12．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上．
(1)直接写出点C的坐标；
(2)如图（1），若点F在抛物线上，当点D横坐标为时，求点F的横坐标；
(3)如图（2），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标．
13．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点
(1)直接写出、、三点的坐标
(2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标
(3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标．
14．（26-27九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．为直线下方抛物线上一点，过点作于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值；
(3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值．
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