专题07 二次函数相关压轴应用题分类训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册
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内容正文：
专题07 二次函数相关压轴应用题分类训练
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求最大利润
题型二、二次函数与物体运动轨迹
题型三、抛物线形建筑
题型四、二次函数相关方案问题
题型五、二次函数相关多动点几何问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
1：判别式（∆）的用法 · 判断根的存在性及个数（注意二次项系数是否为0）。当题目出现恒成立、值域、最值时，将其转化为关于x的方程，利用∆≥0构造不等式求参数范围。2：韦达定理的“非对称”变形 · 基础对称式直接套用。 ·非对称处理（难点）：利用根的定义降次，利用整体代换，再结合∆求范围。3：根的“代入”降次，遇到高次多项式或复杂分式，优先用此式逐级降次，化为一次式。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求最大利润
典例1 某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
日销售量y/盒
10
(1)求p与x的函数关系；
(2)若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
(3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1小红帽百货商店用元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了．
(1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价；
(2)若第二批胶囊遮阳伞按元把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于，请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题
(3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把元，每天可卖出把，市场调查发现，每把降价元钱，每天可多卖出把，若每天的利润为元，售价为每把元，写出与的关系式，求出每天获得最大利润时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润．
3．根据以下素材解决问题
人形机器人销售盈利方案
素
材
1
随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人．
调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元．
素
材
2
两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示
甲型机器人每台销售单价（万元/台）
两种型号机器人的总销售量（台）
根据以上信息解决下列问题
(1)求甲、乙两款机器人制造成本；
(2)求总销量与之间的关系；
(3)若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价．
4．石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润．
(1)求该品牌酥梨的进价．
(2)若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
(3)根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量．
题型二、二次函数与物体运动轨迹
典例1 综合与实践：无人机投递轨迹建模与参数优化分析
无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，年中国工业级无人机市场规模将达亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．现以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系．
已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分．
【任务一：调整仓库位置】
(1)因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标求满足这些条件的的值．
【任务二：优化重型包裹投递路径】
(2)将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量．记作．当无人机投递重型包裹时，因周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一调整后的轨迹顶点相同，同时需要改变抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
(1)求出a，k的值；
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
7．如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分．
已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．
(1)请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式；
(2)运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由．
8．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值．
题型三、抛物线形建筑
典例1 【问题情境】
如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米．
请尝试解决以下问题：
【数学建模】
（1）设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y（米），该处离车棚支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
【实践探究】
（2）若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离；
【拓展应用】
（3）为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥．
如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线．
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡．
【模型建立】
(1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________；
【模型应用】
(2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围．
11．《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案：
改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽20m，拱顶离水面5m．据推算，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m； 为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长．
问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2m，船体宽9m需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注：）
问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图4中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
12．某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图1所示，其中支架米，米，两种支架各用了200根．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；
②求出改造前大棚的最大高度；
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
题型四、二次函数相关方案问题
典例1 某设备制造厂共有70名工人，生产A，，三种设备．生产部门提供的日生产能力如下：
设备型号
每名工人日生产数量
4台
2台
1台
每名工人每日只能生产A，，三种设备中的一种，并且C设备每日至少生产10台，设备和设备每日生产数量相等．
销售部门提供的预估利润如下：
设备型号
利润
60元/台
96元/台
日生产数量为10台时，每台获利200元；在此基础上，日生产数量每多1台，每台获利减少4元．
设生产A设备的工人有名，该设备制造厂每日的预估总利润为元．
(1)生产设备的工人人数是______名；（用含的代数式表示）
(2)求销售设备的预估利润（元）与之间的函数表达式；
(3)尝试制定使最大的生产方案．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．
信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件．
(1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本．
(2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案．
15．科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：
方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；
方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．
两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：
(1)对于方案1，设．
①求的长度（用含x的代数式表示）；
②求的最大值；
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．
16．某公司推销一种产品，公司付给推销员的月报酬有两种方案如图所示：其中方案一所示图形是顶点在原点的抛物线的部分，方案二所示的图形是射线， 设推销员销售产品的数量为(件)，付给推销员的月报酬为(元)，
（1）请直接写出两种方案中关于的函数关系式：方案一： ，方案二： ；
（2）当销售量达到多少件时，两种方案的月报酬差额将达到元？
（3）若公司决定改进“方案二”：基本工资元，每销售1件产品再增加报酬元，当推销员销售量达到件时，方案二的月报酬不低于方案一的月报酬，求的取值范围
题型五、二次函数相关多动点几何问题
典例1 如图，四边形为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接．
(1)点________（填M或N）能到达终点；
(2)求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1如图，在中，，，．动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，设移动时间为t（单位：秒，）．
(1)当______，；
(2)当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与相似？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，求：
(1) ； ．
(2)当运动多少秒时，恰好是等腰直角三角形？
(3)当运动多少秒时，的面积最大？
20．如图，在正方形中，动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），与之间的函数图象如图所示．
(1)正方形的边长为______，点P的运动速度为______；
(2)求与之间的函数关系式；
(3)若在上运动时，点，的位置记为，若在上运动时，点，的位置记为，且点从运动到的距离为，求六边形面积的最大值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
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专题07 二次函数相关压轴应用题分类训练
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求最大利润
题型二、二次函数与物体运动轨迹
题型三、抛物线形建筑
题型四、二次函数相关方案问题
题型五、二次函数相关多动点几何问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
1：判别式（∆）的用法 · 判断根的存在性及个数（注意二次项系数是否为0）。当题目出现恒成立、值域、最值时，将其转化为关于x的方程，利用∆≥0构造不等式求参数范围。2：韦达定理的“非对称”变形 · 基础对称式直接套用。 ·非对称处理（难点）：利用根的定义降次，利用整体代换，再结合∆求范围。3：根的“代入”降次，遇到高次多项式或复杂分式，优先用此式逐级降次，化为一次式。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求最大利润
典例1 某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
日销售量y/盒
10
(1)求p与x的函数关系；
(2)若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
(3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案．
【答案】(1)
(2)，第14天时的销售利润最大，最大销售利润是324元
(3)8天
【分析】（1）设，然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解；
（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解．
【详解】（1）解：（1）设，
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
∴，
解得，
所以，；
（2）解：时，，
时，，
所以，w与x的函数关系式为，
时，∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大为，
时，，
∴当时，w最大为324，
∵，
∴第14天时当天的销售利润最大，最大销售利润是324元；
（3）解：根据题意得：小张的日销售利润不低于300元
当时，，
解得，
∴整数解为1，2，故天数为2天；
当时，，
解得，，
∴，
∵x是整数，
∴，共6天，
综上，小张的日销售利润不低于300元的天数为天．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1小红帽百货商店用元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了．
(1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价；
(2)若第二批胶囊遮阳伞按元把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于，请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题
(3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把元，每天可卖出把，市场调查发现，每把降价元钱，每天可多卖出把，若每天的利润为元，售价为每把元，写出与的关系式，求出每天获得最大利润时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润．
【答案】(1)20
(2)7折
(3)；当售价定为每把元时，最大值为元．
【详解】（1）解：设第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元，则第二批胶囊遮阳伞每把的进价为元，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元；
（2）解：由（1）得第二批胶囊遮阳伞每把的进价为（元），
则第二批购进数量为（把），
设按折销售，
依题意得：，
解得．
答：最多可以按折销售；
（3）解：根据题意得：
，
，
当时，有最大值，最大值为，
与的关系式为，当售价定为每把元时，利润最大，最大值为元．
3．根据以下素材解决问题
人形机器人销售盈利方案
素
材
1
随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人．
调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元．
素
材
2
两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示
甲型机器人每台销售单价（万元/台）
两种型号机器人的总销售量（台）
根据以上信息解决下列问题
(1)求甲、乙两款机器人制造成本；
(2)求总销量与之间的关系；
(3)若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价．
【答案】(1)甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元
(2)
(3)，当，即甲型机器人的销售单价万元时，最大利润万元．
【详解】（1）解：设甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元，
由题意得，
解得，
∴甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元；
（2）解：由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台，
∴两种型号机器人的总销售量；
（3）解：∵总销量不低于250台，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，
∴，解得，
甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台，
∴总利润
，
∴对称轴为，
∵，，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，有最大值，最大值万元．
4．石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润．
(1)求该品牌酥梨的进价．
(2)若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
(3)根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量．
【答案】(1)该品牌酥梨的进价为元/千克．
(2)
(3)要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克．
【详解】（1）解：设该品牌酥梨的进价为x元/千克．
由题意，得，
解得．
答：该品牌酥梨的进价为4.5元/千克．
（2）解：当时，；
当时，．
∴．
（3）解：当时，
．
∵，
∴当时，有最大值为100；
若时，．
∵．
∴当时，有最大值为125．
∵，
∴当一天购进酥梨的数量为300千克时，超市销售酥梨的利润最大．
答：要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克．
题型二、二次函数与物体运动轨迹
典例1 综合与实践：无人机投递轨迹建模与参数优化分析
无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，年中国工业级无人机市场规模将达亿元．有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．现以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系．
已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分．
【任务一：调整仓库位置】
(1)因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标求满足这些条件的的值．
【任务二：优化重型包裹投递路径】
(2)将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量．记作．当无人机投递重型包裹时，因周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一调整后的轨迹顶点相同，同时需要改变抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：平移后的抛物线的解析式为，
把代入，
可得：，
整理可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
满足这些条件的的值为 ；
（2）解：由（1）可知，调整后的抛物线的解析式为，
调整后的顶点坐标为，
新抛物线的解析式为，
，
当时，随的增大而增大，
当时，可得：，
当时，可得：，
垂直波动量米，
，
解得：，
的值为．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
(1)求出a，k的值；
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，
∴最大值，
当时，，
解得：，，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为，
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二级则，
解得：，
∴，
∴这两个位置之间的距离为．
7．如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分．
已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．
(1)请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式；
(2)运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由．
【答案】(1)
建立平面直角坐标系如图．
(2)
这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆，理由：在（1）的基础上，由题意，得．
运动员落地即为，
．
解得（舍去），．
由可判断这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆．
【详解】（1）解：以点为原点，地平线为轴，竖直为轴建立平面直角坐标系．
则．
设抛物线．
将点代入函数表达式，得．
解得．
抛物线的表达式为．
（2）略
8．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值．
【答案】(1);
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米，
则得，
解得：，
∴
无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，
则水平距离为：（千米）
则点的横坐标为：，
则点；
（2）解：∵抛物线经过点,
则将点代入抛物线的表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（3）解：由题可知点,
由（2）可知抛物线的顶点坐标为：,
则平移后得顶点坐标为，
点平移后的坐标为：
则新抛物线的表达式为：，
∴抛物线的轨迹在点的上方，
将点的坐标代入可得，
解得：
则的最大值为：．
题型三、抛物线形建筑
典例1 【问题情境】
如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米．
请尝试解决以下问题：
【数学建模】
（1）设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y（米），该处离车棚支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
【实践探究】
（2）若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离；
【拓展应用】
（3）为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度．
【答案】
（1）（2）点P离地面的距离为2.375 m．（3）支架的最大长度为1.125 m．
【详解】（1）由题知，，抛物线的顶点坐标为，
，
代入点可得，，解得，
．
（2）当时，，即点P离地面的距离为．
（3）由题知，，
当时，，
，
设直线的解析式为，代入，，
可得，
解得，
直线的解析式为，
，
设，
点F在线段上，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值1.125．
支架的最大长度为．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥．
如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线．
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡．
【模型建立】
(1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________；
【模型应用】
(2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围．
【答案】(1)16，，，
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上，
∴即，即，
设抛物线的解析式为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵和关于原点中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的解析式为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：设所在抛物线为，
和所在抛物线关于点对称，
，
且的顶点和顶点也关于点对称，
即，
恰好经过的顶点，
，即，
解得，
在轴左侧，
，
所在抛物线为；
（3）解：观察图3可知，
与关于轴对称，
所在抛物线为．
和直线的交点坐标满足方程组，
，
消去得，即，
，
解得，
当时，和直线必有交点，
和直线的交点坐标满足方程组，
，
消得，即，
，解得，
由韦达定理，，至少有一负根．
和直线的交点坐标满足方程组，
，
消得，即，
，解得，
由韦达定理，，至少有一正根．
考虑函数，当时，，
则，
∴．
综上所述，的取值范围为．
11．《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案：
改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽20m，拱顶离水面5m．据推算，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m； 为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长．
问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2m，船体宽9m需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注：）
问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图4中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】（1）
（2）能顺利通过
（3）该抛物线的函数表达式为
（4）∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标最小为，
把代入得：
，
解得：，
0∴悬挂点的横坐标取值范围为；
方案一：从顶点处开始悬挂，
∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，，
∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为；
方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，
，
∴可以挂（盏），
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为.
【详解】解：问题1：设圆的圆心为点C，相交于点D，
由题意可得：，
∴，
设该圆的半径为r，则，
根据勾股定理可得：，
则，
解得：；
问题2：由问题1可知，，
当河段水位涨达到最高时，，
∵货船漏出水面高米，
∴该货船顶端与圆心距离，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴船体在圆弧的拱顶正下方能顺利通过．
问题3：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示：
根据题意可得：，
设该抛物线的表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
问题4：略
12．某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图1所示，其中支架米，米，两种支架各用了200根．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；
②求出改造前大棚的最大高度；
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②
(2)最大值是2米
【详解】（1）①设改造前的抛物线解析式为，
由题意可知，，，在抛物线上，
∴，
解得，，
∴．
②∵，，，
∴时，
．
（2）中，当时，，
∴，
设改造后抛物线解析式为，
∵对称轴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴．
当时，，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵经费预算为40000元，
∴，
解得，，
∵，
∴随a的增大而减小，
∴时，最大，．
答：最大值是2米．
题型四、二次函数相关方案问题
典例1 某设备制造厂共有70名工人，生产A，，三种设备．生产部门提供的日生产能力如下：
设备型号
每名工人日生产数量
4台
2台
1台
每名工人每日只能生产A，，三种设备中的一种，并且C设备每日至少生产10台，设备和设备每日生产数量相等．
销售部门提供的预估利润如下：
设备型号
利润
60元/台
96元/台
日生产数量为10台时，每台获利200元；在此基础上，日生产数量每多1台，每台获利减少4元．
设生产A设备的工人有名，该设备制造厂每日的预估总利润为元．
(1)生产设备的工人人数是______名；（用含的代数式表示）
(2)求销售设备的预估利润（元）与之间的函数表达式；
(3)尝试制定使最大的生产方案．
【答案】(1)
(2)
(3)生产方案为：生产A设备的工人20名，生产设备80台；生产设备的工人40名，生产设备80台；生产设备的工人10名，生产设备10台
【详解】（1）解：根据题意，生产B设备的工人人数是（名），
∴生产C设备的工人人数是（名）．
故答案为：．
（2）解：根据题意，，
∴y与x之间的函数表达式为．
（3）解：，解得：．，
∵，对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w值最大，（名），（名）．
∴生产方案为：生产A设备的工人20名，生产设备80台；生产设备的工人40名，生产设备80台；生产设备的工人10名，生产设备10台．可使w最大．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．
信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件．
(1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本．
(2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案．
【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元
(2)制作A品100件，B品200件时总利润最大
【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，
答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元；
（2）解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件，
则，
∵制作A品和B品的总成本不超过1400元，
∴，
解得：，
∵且，
解得：，
∴，
∵，且，
∴当时，w随着x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为4800，
此时，
即制作A品100件，B品200件时总利润最大．
15．科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：
方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；
方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．
两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：
(1)对于方案1，设．
①求的长度（用含x的代数式表示）；
②求的最大值；
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．
【答案】(1)①，②3600
(2)
两种方案任选其一即可，理由如下：
设方案2中的，
∵，
∴，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∴，即
，
∵，
∴当时，y₂有最大值，最大值为3600．
∵，
∴两种方案养殖区总面积最大值相等，
∴选择两种方案均可．
【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
②由题意得，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3600；
（2）略
16．某公司推销一种产品，公司付给推销员的月报酬有两种方案如图所示：其中方案一所示图形是顶点在原点的抛物线的部分，方案二所示的图形是射线， 设推销员销售产品的数量为(件)，付给推销员的月报酬为(元)，
（1）请直接写出两种方案中关于的函数关系式：方案一： ，方案二： ；
（2）当销售量达到多少件时，两种方案的月报酬差额将达到元？
（3）若公司决定改进“方案二”：基本工资元，每销售1件产品再增加报酬元，当推销员销售量达到件时，方案二的月报酬不低于方案一的月报酬，求的取值范围
【答案】（1），；（2）当销售量达到件时，两种方案的月报酬差额将达到元；（3）．
【详解】解：（1）设，
把代入得：，
解得：，
．
设，
把，代入得：，
解得：，
．
（2）由题意得：，
解得：，（舍去），
答：当销售达到50件时，两种方案月报酬差额将达到3800元．
（3）当销售员销售产量达到40件时，
方案一的月报酬为：，
方案二的月报酬为：，
由题意得：，
解得：，
答：当推销员销售量达到40件时，方案二的月报酬不低于方案一的月报酬，至少增加40元．
题型五、二次函数相关多动点几何问题
典例1 如图，四边形为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接．
(1)点________（填M或N）能到达终点；
(2)求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
【答案】(1)M
(2)，当时，S的值最大为
【分析】（1）利用速度公式可计算出点M到点A和点N到点C的时间，从而可判断点M能到达终点；
（2）经过t秒时可得，根据推出的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．
【详解】（1）解：点M需要秒运动到点A，点N需要秒运动到点C，
所以点M能到达终点；
（2）解：经过t秒时，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，S的值最大为．
题型模版
1.特征：根的状态：“有两个不等实根”、“有实数根”、“无实数根”。 恒成立/有解：二次函数值域、分式函数定义域为R、等式恒成立。 交点问题：抛物线与x轴有交点，或两函数图像有公共点。 最值特定：求某分式函数（分子分母都是二次式）的值域。
2.方法：把式子化为标准形式。 列式构造：根据题意建立关系。解集验证：解出参数范围。关键一步：必须带回原方程验证二次项系数是否为0，以及端点值（临界点）是否真正满足题意。
变式1-1如图，在中，，，．动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，设移动时间为t（单位：秒，）．
(1)当______，；
(2)当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与相似？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴根据勾股定理，得．
由题意可得，，
当时，，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：
（2）以A，P，M为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得（不合题意，舍去）．
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与相似；
（3）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作于点H．则，
∴，即．
∴．
∴．
∵，
∴S有最小值．
当时，．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
19．如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，求：
(1) ； ．
(2)当运动多少秒时，恰好是等腰直角三角形？
(3)当运动多少秒时，的面积最大？
【答案】(1)，
(2)当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形
(3)3秒
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用、等腰三角形的性质，数形结合和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据动点P和动点Q的运动速度和路径进行解答即可；
（2）当时，恰好是等腰直角三角形，则，解方程即可得到答案；
（3）设同时出发后经过，的面积为，则，，进而得出的表达式，将其化为顶点式，再结合的取值范围即可得出答案
【详解】（1）解：∵动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．
∴；；
故答案为：，
（2）根据题意可知，当时，恰好是等腰直角三角形，
此时，；
解得，
即当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形；
（3）解：设同时出发后经过，的面积为，
则，，
则，
，点的运动速度为，点的运动速度为，
，
，
时，S有最大值9，即的最大面积为．
即当运动3秒时，的面积最大
20．如图，在正方形中，动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），与之间的函数图象如图所示．
(1)正方形的边长为______，点P的运动速度为______；
(2)求与之间的函数关系式；
(3)若在上运动时，点，的位置记为，若在上运动时，点，的位置记为，且点从运动到的距离为，求六边形面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)12
【详解】（1）解：由题意可得的面积为，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
解得，负值舍去，
∴正方形的边长为，
∴点的运动速度为，
故答案为：，；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，线段是对角线，
∴，
∵点、的速度为，设运动时间为秒，
∴点从的时间为，从的运动时间为，
点从的时间为，从的运动时间为，
①当时，，
∴，，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
②当时，如图所示，
∴，
∴，，，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
综上所述，与之间的函数关系式为，
（3）解：设点运动到点处时，，则点Р运动到点处时，．
设六边形的面积为，
则
，
∴当时，六边形的面积最大，最大值为．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
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