第十七章 因式分解（单元分层测试·冲刺卷）数学新教材人教版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，的变形属于因式分解． B选项，的左边已是整式乘积形式，不属于因式分解． C选项，的右边不是乘积形式，不属于因式分解． D选项，的右边含分式，不是整式乘积，不属于因式分解． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 3．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察到原式两个括号中均含，可将其整体代换为，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式换元后为． 4．（26-27八年级上·广西柳州·期中）如图，边长为的长方形周长为14，面积为10，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵边长为的长方形周长为14，面积为10， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·广东梅州·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 6．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段检测）设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 7．（26-27八年级上·湖南怀化·阶段检测）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725，1257，7125，7251，2517， 2571，其中最大的数是7251，即为密码．对于多项式，当x取11，y取13时，其密码为（     ） A．42112 B．11242 C．24211 D．42211 【答案】C 【分析】先把对应多项式进行因式分解，然后按照题意求得当x取11，y取13时对应的所有数字组合，取其中最大的数字即可． 【详解】解：∵， 当x取11，y取13时，，，， ∴三个数为11、2、24． 所有数字组合为：11224、11242、21124、22411、24112、24211，其中最大数字为24211． ∴ 密码为24211． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图形阴影面积列出两个等式，再将两式相减化简，变形得到的值． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， 由，， 可得， 故． 9．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）当或时，多项式的值为0，此时x的值称为多项式M的零点．已知多项式有一个零点为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对新定义“零点”的理解，利用若乘积为0，则至少有一个因式为0的性质，展开多项式后即可计算目标值． 【详解】解：∵多项式有一个零点为， ∴当时，，即， ∴， 得， ， 对比，得，， ∴． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27八年级上·北京东城·期中）因式分解：________． 【答案】 【详解】解： ． 12．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可计算出． 【详解】解：平方差公式为， ∵已知，， ∴将已知条件代入公式得． ∴计算得． 13．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）已知长方形的周长为，它两邻边长分别为，且满足，则该长方形的面积为______． 【答案】12 【分析】根据长方形周长得到的值，对给定等式变形因式分解得到的值，联立解出边长后代入面积公式计算即可． 【详解】解：长方形的周长为， ， ①， ， 对等式变形提取公因式，得， 由完全平方公式可得， ②， 联立①②得方程组， 解得， 长方形的面积为． 14．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）已知，，，则的值是________． 【答案】 【分析】观察的结构，先计算两两的差，对所求多项式变形配方，即可求出定值． 【详解】解：∵，，， ∴，， 对所求多项式变形得： 则原式． 15．（26-27八年级上·山东·单元测试）若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．的“优点”为，的“优点”为，若，且，则的值为______． 【答案】25 【分析】根据“优雅数”，“优点”的定义，结合推出，因式分解后，整体思想代入求值即可． 【详解】解：的“优点”为的“优点”为， ，， ∵， ∴， ∴，则 ， ∴，即． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）（1）实数a，b，c满足且，则的值为________． （2）已知a为实数，且，则的值是________． 【答案】 0 1 【分析】（1）利用得到，，，代入所求式子，结合已知条件即可求值； （2）对因式分解为，因此，得到或，求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解∶（1）∵， ∴，，， ∵ ∴ ． （2）∵ ， 又， ∴， ∴或， 当时，，， 当时，， ∴，此方程无实数解， ∴． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·山东聊城·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ··························3分 （2）解： ．··························6分 18．（6分）（25-26七年级下·全国·暑假作业）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先利用提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解： ，··························4分 当，时， 原式．··························6分 19．（6分）（26-27八年级上·山东烟台·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来正确的二次三项式； (2)将原来的二次三项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用看错一次项系数时二次项与常数项正确，看错常数项时二次项与一次项正确的特点，分别展开两个错误分解式，提取对应正确系数组合得到原多项式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：∵看错一次项系数时，二次项系数和常数项正确， ， ∴原二次三项式的二次项系数为，常数项为， ∵看错常数项时，二次项系数和一次项系数正确， ， ∴原二次三项式的一次项系数为， ∴原来正确的二次三项式为； ··························3分 （2）解： ．··························6分 20．（6分）（25-26八年级下·江苏徐州·期中）求证：对于任意正整数，，一定是8的倍数． 【答案】 证明： ∵x，y是任意正整数 ∴是正整数 ∴一定是8的倍数 即对于任意正整数x，y，原式一定是8的倍数． 【分析】对已知多项式进行分解因式即可得出结论． 【详解】证明： ∵x，y是任意正整数 ∴是正整数 ∴一定是8的倍数 即对于任意正整数x，y，原式一定是8的倍数··························6分 21．（8分）（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．（8分）（26-27八年级上·北京东城·期中）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以26是“完美数”； (1)已知（是整数，是常数），要使对于任意整数，的值均为“完美数”，试写出符合条件的一个值_________； (2)证明两个“完美数”之积仍是“完美数”． 【答案】(1)5（答案不唯一） (2)证明：设两个“完美数”分别为，（均为非负整数）， 又，均为非负整数， 符合“完美数”的定义，即两个“完美数”之积仍是“完美数”． 【分析】（1）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k． （2）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明． 【详解】（1）解：对配方得： ， 由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可， 取，得， 此时，符合要求， 因此是一个符合条件的值，答案不唯一．··························4分 （2）证明：设两个“完美数”分别为，（均为非负整数）， 又，均为非负整数， 符合“完美数”的定义，即两个“完美数”之积仍是“完美数”··························8分 23．（8分）（26-27八年级上·山东烟台·期中）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．同理，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们把这种方法称为等体积法． 如图1，在一个棱长为的正方体一角挖掉一个棱长为的正方体，则剩余几何体的体积为．请解决下列问题： (1)将图1的几何体进行如图2所示方法切割，得到三个长方体（如图3），图3中三个长方体的体积依次表示为__________，__________，__________； (2)请利用“等体积法”将分解因式； (3)应用：利用（1）中所得到的等式进行因式分解：； (4)拓展：已知，求代数式的值． 【答案】(1)，，． (2) (3) (4) 【分析】（1）分别找出切割后三个长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式依次算出体积，，． （2）利用等体积法，剩余几何体体积等于三个长方体体积相加，提取公因式得到立方差分解公式． （3）把写成，套用立方差公式，令完成因式分解． （4）先对提公因式再用立方差公式变形，由、算出，代入式子求出结果为． 【详解】（1）解：观察切割得到的第一个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第二个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第三个长方体，长为，宽为，高为． 所以三个长方体的体积依次表示为，，．··························3分 （2）解：∵ 图 1 剩余几何体体积为， 切割后三个长方体体积之和为， ∴ ··························4分 （3）解： ··························6分 （4）解： ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 原式 ．··························8分 24．（12分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：．··························2分 （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． ··························5分 （3），， ，， ．··························8分 （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3．··························12分 25．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期中）【知识回顾】 一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】 已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___________． (2)【应用公式】 因式分解：． (3)【拓展提升】 如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则①___________． ②若该直角三角形两条边长分别为和，且，先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①10；②，840 【分析】（1）将中的b变成，然后再展开后合并同类项即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根，即可得出结果；②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ．··························2分 （2）解： ．··························5分 （3）解：①∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， ∴由图形2可知，，， 又∵， ， ．··························7分 ②∵，，， ∴， ∵该直角三角形两条直角边长分别为和， ∴，，， ∴，， ∴ ．··························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·广西柳州·期中）如图，边长为的长方形周长为14，面积为10，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东梅州·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 6．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段检测）设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·湖南怀化·阶段检测）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725，1257，7125，7251，2517， 2571，其中最大的数是7251，即为密码．对于多项式，当x取11，y取13时，其密码为（     ） A．42112 B．11242 C．24211 D．42211 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）当或时，多项式的值为0，此时x的值称为多项式M的零点．已知多项式有一个零点为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27八年级上·北京东城·期中）因式分解：________． 12．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则______． 13．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）已知长方形的周长为，它两邻边长分别为，且满足，则该长方形的面积为______． 14．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）已知，，，则的值是________． 15．（26-27八年级上·山东·单元测试）若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．的“优点”为，的“优点”为，若，且，则的值为______． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）（1）实数a，b，c满足且，则的值为________． （2）已知a为实数，且，则的值是________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·山东聊城·期末）分解因式： (1) (2) 18．（6分）（25-26七年级下·全国·暑假作业）已知，，求的值． 19．（6分）（26-27八年级上·山东烟台·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来正确的二次三项式； (2)将原来的二次三项式分解因式． 20．（6分）（25-26八年级下·江苏徐州·期中）求证：对于任意正整数，，一定是8的倍数． 21．（8分）（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 22．（8分）（26-27八年级上·北京东城·期中）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以26是“完美数”； (1)已知（是整数，是常数），要使对于任意整数，的值均为“完美数”，试写出符合条件的一个值_________； (2)证明两个“完美数”之积仍是“完美数”． 23．（8分）（26-27八年级上·山东烟台·期中）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．同理，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们把这种方法称为等体积法． 如图1，在一个棱长为的正方体一角挖掉一个棱长为的正方体，则剩余几何体的体积为．请解决下列问题： (1)将图1的几何体进行如图2所示方法切割，得到三个长方体（如图3），图3中三个长方体的体积依次表示为__________，__________，__________； (2)请利用“等体积法”将分解因式； (3)应用：利用（1）中所得到的等式进行因式分解：； (4)拓展：已知，求代数式的值． 24．（12分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 25．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期中）【知识回顾】 一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】 已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___________． (2)【应用公式】 因式分解：． (3)【拓展提升】 如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则①___________． ②若该直角三角形两条边长分别为和，且，先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·广西柳州·期中）如图，边长为的长方形周长为14，面积为10，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东梅州·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 6．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段检测）设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·湖南怀化·阶段检测）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725，1257，7125，7251，2517， 2571，其中最大的数是7251，即为密码．对于多项式，当x取11，y取13时，其密码为（     ） A．42112 B．11242 C．24211 D．42211 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）当或时，多项式的值为0，此时x的值称为多项式M的零点．已知多项式有一个零点为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27八年级上·北京东城·期中）因式分解：________． 12．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则______． 13．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）已知长方形的周长为，它两邻边长分别为，且满足，则该长方形的面积为______． 14．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）已知，，，则的值是________． 15．（26-27八年级上·山东·单元测试）若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．的“优点”为，的“优点”为，若，且，则的值为______． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）（1）实数a，b，c满足且，则的值为________． （2）已知a为实数，且，则的值是________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（25-26七年级下·山东聊城·期末）分解因式： (1) (2) 18．（6分）（25-26七年级下·全国·暑假作业）已知，，求的值． 19．（6分）（26-27八年级上·山东烟台·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来正确的二次三项式； (2)将原来的二次三项式分解因式． 20．（6分）（25-26八年级下·江苏徐州·期中）求证：对于任意正整数，，一定是8的倍数． 21．（8分）（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 22．（8分）（26-27八年级上·北京东城·期中）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以26是“完美数”； (1)已知（是整数，是常数），要使对于任意整数，的值均为“完美数”，试写出符合条件的一个值_________； (2)证明两个“完美数”之积仍是“完美数”． 23．（8分）（26-27八年级上·山东烟台·期中）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．同理，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们把这种方法称为等体积法． 如图1，在一个棱长为的正方体一角挖掉一个棱长为的正方体，则剩余几何体的体积为．请解决下列问题： (1)将图1的几何体进行如图2所示方法切割，得到三个长方体（如图3），图3中三个长方体的体积依次表示为__________，__________，__________； (2)请利用“等体积法”将分解因式； (3)应用：利用（1）中所得到的等式进行因式分解：； (4)拓展：已知，求代数式的值． 24．（12分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 25．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期中）【知识回顾】 一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】 已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___________． (2)【应用公式】 因式分解：． (3)【拓展提升】 如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则①___________． ②若该直角三角形两条边长分别为和，且，先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A D D B C B A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．12 14． 15．25 16．0 1 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ··························3分 （2）解： ．··························6分 18．（6分） 【答案】 【分析】先利用提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解： ，··························4分 当，时， 原式．··························6分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用看错一次项系数时二次项与常数项正确，看错常数项时二次项与一次项正确的特点，分别展开两个错误分解式，提取对应正确系数组合得到原多项式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：∵看错一次项系数时，二次项系数和常数项正确， ， ∴原二次三项式的二次项系数为，常数项为， ∵看错常数项时，二次项系数和一次项系数正确， ， ∴原二次三项式的一次项系数为， ∴原来正确的二次三项式为； ··························3分 （2）解： ．··························6分 20．（6分） 【答案】 证明： ∵x，y是任意正整数 ∴是正整数 ∴一定是8的倍数 即对于任意正整数x，y，原式一定是8的倍数． 【分析】对已知多项式进行分解因式即可得出结论． 【详解】证明： ∵x，y是任意正整数 ∴是正整数 ∴一定是8的倍数 即对于任意正整数x，y，原式一定是8的倍数··························6分 21．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．（8分）（26-27八年级上·北京东城·期中）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以26是“完美数”； (1)已知（是整数，是常数），要使对于任意整数，的值均为“完美数”，试写出符合条件的一个值_________； (2)证明两个“完美数”之积仍是“完美数”． 【答案】(1)5（答案不唯一） (2)证明：设两个“完美数”分别为，（均为非负整数）， 又，均为非负整数， 符合“完美数”的定义，即两个“完美数”之积仍是“完美数”． 【分析】（1）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k． （2）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明． 【详解】（1）解：对配方得： ， 由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可， 取，得， 此时，符合要求， 因此是一个符合条件的值，答案不唯一．··························4分 （2）证明：设两个“完美数”分别为，（均为非负整数）， 又，均为非负整数， 符合“完美数”的定义，即两个“完美数”之积仍是“完美数”··························8分 23．（8分） 【答案】(1)，，． (2) (3) (4) 【分析】（1）分别找出切割后三个长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式依次算出体积，，． （2）利用等体积法，剩余几何体体积等于三个长方体体积相加，提取公因式得到立方差分解公式． （3）把写成，套用立方差公式，令完成因式分解． （4）先对提公因式再用立方差公式变形，由、算出，代入式子求出结果为． 【详解】（1）解：观察切割得到的第一个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第二个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第三个长方体，长为，宽为，高为． 所以三个长方体的体积依次表示为，，．··························3分 （2）解：∵ 图 1 剩余几何体体积为， 切割后三个长方体体积之和为， ∴ ··························4分 （3）解： ··························6分 （4）解： ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 原式 ．··························8分 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：．··························2分 （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． ··························5分 （3），， ，， ．··························8分 （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3．··························12分 25．（12分） 【答案】(1) (2) (3)①10；②，840 【分析】（1）将中的b变成，然后再展开后合并同类项即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根，即可得出结果；②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ．··························2分 （2）解： ．··························5分 （3）解：①∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， ∴由图形2可知，，， 又∵， ， ．··························7分 ②∵，，， ∴， ∵该直角三角形两条直角边长分别为和， ∴，，， ∴，， ∴ ．··························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $