第十七章 因式分解（单元分层测试·培优卷）数学新教材人教版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·培优（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C D B D C C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．3 15． 16．10 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提公因式即可分解； （2）先将原式变形为，再提公因式分解即可． 【详解】（1）解： ···············3分 （2）解： ··············6分 18．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ；··············3分 （2）解：∵，， ∴．··············6分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对给定的多项式进行分组变形，构造完全平方式，再利用平方的非负性求解、的值，最后计算； （2）先对给定的等式移项，将其变形为完全平方式的和，利用平方的非负性求出、的值，再根据三角形三边关系定理确定的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ；·············2分 （2）解：， ， ， ， ，， ，， ，，是的三边长， ∴， ．·············6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ·············2分 （2）解：由题意得， 均为整数， ， ．·············6分 21．（8分） 【答案】(1)加法交换律；平方差公式 (2) 原式 ． (3)①；② 【分析】（1）根据题意解答即可； （2）根据题中思路利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （3）①根据题意利用拆项添项法，并结合提公因式法和平方差公式进行因式分解； ②根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； 【详解】（1）解：根据题意可得材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是加法交换律； 材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为平方差公式．·············2分 （2）原式 ·············4分 （3）解：① ．·············6分 ②原式 ．·············8分 22．（8分） 【答案】(1)， (2)，相等 ①代数式的表达式为； ②， 【分析】（1）将代入，将代入，计算即可得出结果； （2）将代入，计算即可得出结果； ①由题意可得当时，，令，，代入计算即可得出结果； ②由题意可得，再将和利用完全平方公式进行部分因式分解，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，， 当时，；·············2分 （2）解：当时，，此时和的数量关系是相等，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1．·············4分 ①当时，， ∵代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2， ∴当时，， 令， ∴， ∴， ∴代数式的表达式为；·············6分 ②∵代数式参照代数式取值延后， ∴， ∴，， ∴， ∴．·············8分 23．（8分） 【答案】(1)（平方米） (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积和完全平方公式解题； （2）根据铺设草坪区域的面积与方案一完全相等列式计算即可； （3）根据推出，结合x、y均为正整数分析即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中草坪的面积为： （平方米）；·············2分 （2）解：∵要保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，设方案二里面长方形休闲区域的另一边长为， 则有， ∴， ∴；·············5分 （3）解：由题意知，， ∴， ∴， ∵x、y均为正整数，而， ∵， ∴， ∴， 解得．·············8分 24．（12分） 【答案】(1) (2) ②③④ (3) 【详解】（1）解：∵，，‘’B为实数，A，B互为“搭档平方式”， ∴；·············2分 （2）解：不是一个整式的平方，不符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； 综上，符合题意的是②③④；·············6分 （3）解：∵，， ∴； ∵A，B互为搭档平方式， ∴是整式的平方， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵A的最大值为8， ∴， ∵， ∴.·············12分 25．（12分） 【答案】(1) (2)大， (3)7 (4)144 【分析】（1）将原式整理得，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将原式配方得，据此求解即可； （3）设，，则，，利用完全平方公式变形计算即可求解； （4）由题意得，，，可得，设，，据此计算可得图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解： ；·············3分 （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式有最大值，取得最值时的取值为；·············6分 （3）解：设，， ∵， ∴，， ∴；·············8分 （4）解：正方形的边长为，，， ，， 长方形的面积是32，即， 设，，则，， 阴影的面积， 答：图中阴影部分的面积为144．·············12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27八年级上·北京东城·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住因式分解结果为几个整式乘积的特征进行判断． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解； B、，等式右侧为和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，等式右侧为差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、是几个整式的乘积形式，是因式分解． 2．（26-27八年级上·湖南永州·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵多项式的各项系数为和， ∴系数的最大公约数是， ∵各项都含有的相同字母是、，且的最低指数是，的最低指数是， ∴该多项式的公因式是． 3．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 【答案】B 【分析】题目利用图形面积关系解释代数恒等式，需识别数形对应关系. 【详解】解：四个小纸片的面积之和为， 拼成的大长方形长为，宽为， 面积为； 由面积相等可得． 该过程将代数式与几何图形结合，体现了数形结合思想． 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式与添括号将代数式变形，然后把，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 5．（北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期八年级期中考试数学试卷）若为完全平方式，则k的值为（     ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：∵为完全平方式，． ∴． ∴． 6．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种卡片的面积之和等于拼成的长方形面积，通过因式分解求出长方形的另一边长． 【详解】解：所有卡片的总面积为 而 ∵长方形面积长宽，且已知一边长为， ∴另一边长为． 7．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】结合整式的完全平方的两类形式（二项式平方、单项式平方），逐一验证各单项式． 【详解】解：∵ ， ∴ ①③符合条件； ∵ ， ∴ ②符合条件； ∵ ， ∴ ④符合条件； ∵ ， ∴ ⑤符合条件； 故答案为D． 8．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）有两个正方形、，将放在的内部得图1，将、并列放置后得图2，如果图1和图2中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形、的面积之和是（     ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】利用正方形面积公式及图形拼接关系，建立关于边长的方程组； 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图可知阴影部分面积为， 由图可知阴影部分面积为， ， ， ，即， 将代入得， 解得， （负值已舍去）， ∴， ． 9．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．28 C．40 D．48 【答案】C 【分析】设两个偶数分别为、（、为整数，），则美丽数，与同奇偶，再逐一验证选项． 【详解】解：设两个偶数分别为、（、为整数，）， 根据定义，美丽数， ，和为偶数， 与同奇偶， 对选项逐一判断： A选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此36是美丽数； B选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此28是美丽数； C选项：，，不存在两个同奇偶的整数相乘得10，因此40不是美丽数 D选项：，，取，，均为偶数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此48是美丽数． 10．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：_____________． 【答案】 【详解】解： ． 12．（26-27七年级上·上海·单元测试）如果，那么括号内的整式是___________. 【答案】 【分析】利用平方差公式将等式右边式子变形为，即可求解． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 13．（25-26七年级下·贵州贵阳·阶段检测）若，，则________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将分解后，再将整体代入即可． 【详解】解：， 将代入，得， ． 14．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知，，，那么代数式的值是_____． 【答案】3 【分析】先计算、、的差值，将原式拆分为含差值的整式形式，消去含x的项后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 将a、b、c的表达式代入上式． ． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”． 因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，…，按此规律，2028是第______个“智慧数” 【答案】 【分析】设是正整数，由，得出所有的奇数，除之外都是“智慧数”；结合，得出所有大于或等于能被整数的偶数都是“智慧数”；再求出不是“智慧数”；结合，得出是能被整除的偶数，是“智慧数”；从而即可得出结果． 【详解】解：设是正整数， ∵， ∴所有的奇数，除之外都是“智慧数”； ∵，， ∴所有能被整数的偶数，除之外都是“智慧数”； 令被除余的偶数为（为正整数）， 假设，若、同为奇数或同为偶数，则能被整除，若、为一个奇数和一个偶数，则为奇数，不能被整除， ∴不是“智慧数”； ∵， ∴是能被整除的偶数，是“智慧数”； ∴从到，所有满足条件的奇数有个，所有满足条件能被整除的偶数有个， ∵， ∴2028是第个“智慧数”． 16．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 【答案】10 【分析】设正方形A，B的边长分别为，，结合题意可得，，进一步可得，从而可得答案. 【详解】解：设正方形A，B的边长分别为，， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为. 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（26-27八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提公因式即可分解； （2）先将原式变形为，再提公因式分解即可． 【详解】（1）解： ···············3分 （2）解： ··············6分 18．（6分）（26-27七年级上·上海松江·期中）已知，，求下列各式的值． (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ；··············3分 （2）解：∵，， ∴．··············6分 19．（6分）（26-27八年级上·河南鹤壁·期中）先阅读下面的内容，再回答问题： 例题：若，求m和n的值． 解：， ． ． ，． ，． 问题： (1)若，求的值； (2)已知，，是的三边长，满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对给定的多项式进行分组变形，构造完全平方式，再利用平方的非负性求解、的值，最后计算； （2）先对给定的等式移项，将其变形为完全平方式的和，利用平方的非负性求出、的值，再根据三角形三边关系定理确定的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ；·············2分 （2）解：， ， ， ， ，， ，， ，，是的三边长， ∴， ．·············6分 20．（6分）（26-27八年级上·全国·单元测试）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ·············2分 （2）解：由题意得， 均为整数， ， ．·············6分 21．（8分）（26-27八年级上·河南周口·期中）阅读与思考 下面是小雨同学的课后学习笔记，请你认真阅读并完成相应的任务． 因式分解的新方法 问题：如何将多项式和分解因式？ 回顾课堂所学“提取公因式法”“公式法”均不能将其分解，于是他便在网上查阅资料，资料提供了“拆项添项法”：把多项式某一项拆成两项（拆项），或添上互为相反数的两项（添项），保持恒等变形，再将所得式子分组，使式子能用“提公因式法”或“公式法”进行分解．具体分解示例如下： 拆项法： ……（▲） ……（★） 添项法： …… 任务： (1)材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是______；材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为______． (2)请你将材料中的“添项法”分解步骤补充完整． (3)应用材料中介绍的方法，将下列多项式分解因式： ①； ②． 【答案】(1)加法交换律；平方差公式 (2) 原式 ． (3)①；② 【分析】（1）根据题意解答即可； （2）根据题中思路利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （3）①根据题意利用拆项添项法，并结合提公因式法和平方差公式进行因式分解； ②根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； 【详解】（1）解：根据题意可得材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是加法交换律； 材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为平方差公式．·············2分 （2）原式 ·············4分 （3）解：① ．·············6分 ②原式 ．·············8分 22．（8分）（26-27八年级上·北京东城·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 3 10 5 2 1 5 17 10 5 2 1 (1)完成上表； (2)观察表格可以发现：若时，，而当时，__________，此时和的数量关系是__________，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，求代数式的表达式．（用含的代数式表示）： ②已知代数式参照代数式取值延后，则__________，__________． 【答案】(1)， (2)，相等 ①代数式的表达式为； ②， 【分析】（1）将代入，将代入，计算即可得出结果； （2）将代入，计算即可得出结果； ①由题意可得当时，，令，，代入计算即可得出结果； ②由题意可得，再将和利用完全平方公式进行部分因式分解，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，， 当时，；·············2分 （2）解：当时，，此时和的数量关系是相等，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1．·············4分 ①当时，， ∵代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2， ∴当时，， 令， ∴， ∴， ∴代数式的表达式为；·············6分 ②∵代数式参照代数式取值延后， ∴， ∴，， ∴， ∴．·············8分 23．（8分）（26-27七年级上·上海松江·期中）某小区一块正方形绿化地块，边长为x米．物业规划改造：在大正方形内部，划出一块小正方形休闲区，剩余区域铺设草坪．设计师给出两种方案： 方案一：如图1，小正方形的边长比大正方形边长少米（）． 方案二：如图2，保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，但把内部小正方形调整为一个长方形，其中一边长为米． (1)用含x、y的整式，求出方案一中草坪的面积（化成最简形式）； (2)请求出方案二里面长方形休闲区域的另一边长（用含x、y的式子表示）； (3)已知x、y均为正整数，且方案一中草坪面积为124，求x，y的值． 【答案】(1)（平方米） (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积和完全平方公式解题； （2）根据铺设草坪区域的面积与方案一完全相等列式计算即可； （3）根据推出，结合x、y均为正整数分析即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中草坪的面积为： （平方米）；·············2分 （2）解：∵要保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，设方案二里面长方形休闲区域的另一边长为， 则有， ∴， ∴；·············5分 （3）解：由题意知，， ∴， ∴， ∵x、y均为正整数，而， ∵， ∴， ∴， 解得．·············8分 24．（12分）（26-27八年级上·北京海淀·期中）对于整式A，B，若的结果可以写成一个整式的平方，则称整式A，B互为“搭档平方式”． 例如：，，，则称A与B互为“搭档平方式”． (1)已知，B为常数，若A，B互为“搭档平方式”，则________； (2)若，则下列整式中与整式A互为“搭档平方式”的是________（填写序号）； ①    ②    ③    ④ (3)若，（m，n为常数），整式A，B互为“搭档平方式”．若A的最大值为8，求n的值。 【答案】(1) (2) ②③④ (3) 【详解】（1）解：∵，，‘’B为实数，A，B互为“搭档平方式”， ∴；·············2分 （2）解：不是一个整式的平方，不符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； 综上，符合题意的是②③④；·············6分 （3）解：∵，， ∴； ∵A，B互为搭档平方式， ∴是整式的平方， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵A的最大值为8， ∴， ∵， ∴.·············12分 25．（12分）（26-27七年级上·上海浦东新·期中）阅读与思考： 阅读材料：“整体思想”是初中代数中非常重要的数学思想：我们可以把一部分代数式看成一个完整的整体，不急于拆开展开计算，通过配方、换元等变形方式，结合完全平方公式简化问题． 材料①利用整体思想配方（拆添项法）： 对于二次三项式，可以直接写成完全平方，这里我们把看作一个整体．但不能直接写成完全平方，我们可以添上、再减去，构造出完全平方式，再用平方差公式因式分解： 同时，配方之后，还可以借助平方的非负性，研究代数式的最值． 材料②利用整体思想换元： 当题目中出现两个重复的整体式子时，我们可以设这两个整体为，利用恒等式求值． 例“若满足，求的值”． 解：设，，则，， 那么． 请你运用上面的整体思想，完成下面问题： (1)用拆添项法因式分解：； (2)代数式是否存在最值？如果有，请说明是最________值（填“大”或“小”），且取得最值时的取值为________； (3)若满足，则的值是________； (4)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)大， (3)7 (4)144 【分析】（1）将原式整理得，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将原式配方得，据此求解即可； （3）设，，则，，利用完全平方公式变形计算即可求解； （4）由题意得，，，可得，设，，据此计算可得图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解： ；·············3分 （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式有最大值，取得最值时的取值为；·············6分 （3）解：设，， ∵， ∴，， ∴；·············8分 （4）解：正方形的边长为，，， ，， 长方形的面积是32，即， 设，，则，， 阴影的面积， 答：图中阴影部分的面积为144．·············12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27八年级上·北京东城·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南永州·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 5．（北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期八年级期中考试数学试卷）若为完全平方式，则k的值为（     ） A．2 B． C．6 D． 6．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 8．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）有两个正方形、，将放在的内部得图1，将、并列放置后得图2，如果图1和图2中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形、的面积之和是（     ） A．27 B．28 C．29 D．30 9．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．28 C．40 D．48 10．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：_____________． 12．（26-27七年级上·上海·单元测试）如果，那么括号内的整式是___________. 13．（25-26七年级下·贵州贵阳·阶段检测）若，，则________． 14．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知，，，那么代数式的值是_____． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”． 因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，…，按此规律，2028是第______个“智慧数” 16．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（26-27八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）（26-27七年级上·上海松江·期中）已知，，求下列各式的值． (1)： (2)． 19．（6分）（26-27八年级上·河南鹤壁·期中）先阅读下面的内容，再回答问题： 例题：若，求m和n的值． 解：， ． ． ，． ，． 问题： (1)若，求的值； (2)已知，，是的三边长，满足，求的取值范围． 20．（6分）（26-27八年级上·全国·单元测试）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 21．（8分）（26-27八年级上·河南周口·期中）阅读与思考 下面是小雨同学的课后学习笔记，请你认真阅读并完成相应的任务． 因式分解的新方法 问题：如何将多项式和分解因式？ 回顾课堂所学“提取公因式法”“公式法”均不能将其分解，于是他便在网上查阅资料，资料提供了“拆项添项法”：把多项式某一项拆成两项（拆项），或添上互为相反数的两项（添项），保持恒等变形，再将所得式子分组，使式子能用“提公因式法”或“公式法”进行分解．具体分解示例如下： 拆项法： ……（▲） ……（★） 添项法： …… 任务： (1)材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是______；材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为______． (2)请你将材料中的“添项法”分解步骤补充完整． (3)应用材料中介绍的方法，将下列多项式分解因式： ①； ②． 22．（8分）（26-27八年级上·北京东城·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 3 10 5 2 1 5 17 10 5 2 1 (1)完成上表； (2)观察表格可以发现：若时，，而当时，__________，此时和的数量关系是__________，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，求代数式的表达式．（用含的代数式表示）： ②已知代数式参照代数式取值延后，则__________，__________． 23．（8分）（26-27七年级上·上海松江·期中）某小区一块正方形绿化地块，边长为x米．物业规划改造：在大正方形内部，划出一块小正方形休闲区，剩余区域铺设草坪．设计师给出两种方案： 方案一：如图1，小正方形的边长比大正方形边长少米（）． 方案二：如图2，保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，但把内部小正方形调整为一个长方形，其中一边长为米． (1)用含x、y的整式，求出方案一中草坪的面积（化成最简形式）； (2)请求出方案二里面长方形休闲区域的另一边长（用含x、y的式子表示）； (3)已知x、y均为正整数，且方案一中草坪面积为124，求x，y的值． 24．（12分）（26-27八年级上·北京海淀·期中）对于整式A，B，若的结果可以写成一个整式的平方，则称整式A，B互为“搭档平方式”． 例如：，，，则称A与B互为“搭档平方式”． (1)已知，B为常数，若A，B互为“搭档平方式”，则________； (2)若，则下列整式中与整式A互为“搭档平方式”的是________（填写序号）； ①    ②    ③    ④ (3)若，（m，n为常数），整式A，B互为“搭档平方式”．若A的最大值为8，求n的值。 25．（12分）（26-27七年级上·上海浦东新·期中）阅读与思考： 阅读材料：“整体思想”是初中代数中非常重要的数学思想：我们可以把一部分代数式看成一个完整的整体，不急于拆开展开计算，通过配方、换元等变形方式，结合完全平方公式简化问题． 材料①利用整体思想配方（拆添项法）： 对于二次三项式，可以直接写成完全平方，这里我们把看作一个整体．但不能直接写成完全平方，我们可以添上、再减去，构造出完全平方式，再用平方差公式因式分解： 同时，配方之后，还可以借助平方的非负性，研究代数式的最值． 材料②利用整体思想换元： 当题目中出现两个重复的整体式子时，我们可以设这两个整体为，利用恒等式求值． 例“若满足，求的值”． 解：设，，则，， 那么． 请你运用上面的整体思想，完成下面问题： (1)用拆添项法因式分解：； (2)代数式是否存在最值？如果有，请说明是最________值（填“大”或“小”），且取得最值时的取值为________； (3)若满足，则的值是________； (4)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元测试 第十七章 因式分解·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（26-27八年级上·北京东城·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南永州·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 5．（北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期八年级期中考试数学试卷）若为完全平方式，则k的值为（     ） A．2 B． C．6 D． 6．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 8．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）有两个正方形、，将放在的内部得图1，将、并列放置后得图2，如果图1和图2中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形、的面积之和是（     ） A．27 B．28 C．29 D．30 9．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．28 C．40 D．48 10．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：_____________． 12．（26-27七年级上·上海·单元测试）如果，那么括号内的整式是___________. 13．（25-26七年级下·贵州贵阳·阶段检测）若，，则________． 14．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知，，，那么代数式的值是_____． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”． 因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，…，按此规律，2028是第______个“智慧数” 16．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（26-27八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）（26-27七年级上·上海松江·期中）已知，，求下列各式的值． (1)： (2)． 19．（6分）（26-27八年级上·河南鹤壁·期中）先阅读下面的内容，再回答问题： 例题：若，求m和n的值． 解：， ． ． ，． ，． 问题： (1)若，求的值； (2)已知，，是的三边长，满足，求的取值范围． 20．（6分）（26-27八年级上·全国·单元测试）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 21．（8分）（26-27八年级上·河南周口·期中）阅读与思考 下面是小雨同学的课后学习笔记，请你认真阅读并完成相应的任务． 因式分解的新方法 问题：如何将多项式和分解因式？ 回顾课堂所学“提取公因式法”“公式法”均不能将其分解，于是他便在网上查阅资料，资料提供了“拆项添项法”：把多项式某一项拆成两项（拆项），或添上互为相反数的两项（添项），保持恒等变形，再将所得式子分组，使式子能用“提公因式法”或“公式法”进行分解．具体分解示例如下： 拆项法： ……（▲） ……（★） 添项法： …… 任务： (1)材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是______；材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为______． (2)请你将材料中的“添项法”分解步骤补充完整． (3)应用材料中介绍的方法，将下列多项式分解因式： ①； ②． 22．（8分）（26-27八年级上·北京东城·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 3 10 5 2 1 5 17 10 5 2 1 (1)完成上表； (2)观察表格可以发现：若时，，而当时，__________，此时和的数量关系是__________，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，求代数式的表达式．（用含的代数式表示）： ②已知代数式参照代数式取值延后，则__________，__________． 23．（8分）（26-27七年级上·上海松江·期中）某小区一块正方形绿化地块，边长为x米．物业规划改造：在大正方形内部，划出一块小正方形休闲区，剩余区域铺设草坪．设计师给出两种方案： 方案一：如图1，小正方形的边长比大正方形边长少米（）． 方案二：如图2，保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，但把内部小正方形调整为一个长方形，其中一边长为米． (1)用含x、y的整式，求出方案一中草坪的面积（化成最简形式）； (2)请求出方案二里面长方形休闲区域的另一边长（用含x、y的式子表示）； (3)已知x、y均为正整数，且方案一中草坪面积为124，求x，y的值． 24．（12分）（26-27八年级上·北京海淀·期中）对于整式A，B，若的结果可以写成一个整式的平方，则称整式A，B互为“搭档平方式”． 例如：，，，则称A与B互为“搭档平方式”． (1)已知，B为常数，若A，B互为“搭档平方式”，则________； (2)若，则下列整式中与整式A互为“搭档平方式”的是________（填写序号）； ①    ②    ③    ④ (3)若，（m，n为常数），整式A，B互为“搭档平方式”．若A的最大值为8，求n的值。 25．（12分）（26-27七年级上·上海浦东新·期中）阅读与思考： 阅读材料：“整体思想”是初中代数中非常重要的数学思想：我们可以把一部分代数式看成一个完整的整体，不急于拆开展开计算，通过配方、换元等变形方式，结合完全平方公式简化问题． 材料①利用整体思想配方（拆添项法）： 对于二次三项式，可以直接写成完全平方，这里我们把看作一个整体．但不能直接写成完全平方，我们可以添上、再减去，构造出完全平方式，再用平方差公式因式分解： 同时，配方之后，还可以借助平方的非负性，研究代数式的最值． 材料②利用整体思想换元： 当题目中出现两个重复的整体式子时，我们可以设这两个整体为，利用恒等式求值． 例“若满足，求的值”． 解：设，，则，， 那么． 请你运用上面的整体思想，完成下面问题： (1)用拆添项法因式分解：； (2)代数式是否存在最值？如果有，请说明是最________值（填“大”或“小”），且取得最值时的取值为________； (3)若满足，则的值是________； (4)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $