第十七章 因式分解（单元分层测试·能力提升卷）数学新教材人教版八年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十七章因式分解能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案■ A A ⊙ C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11 7a(a-3) 12.4 13.-11 14.121 15.(2x-y+22x-y-2) 16. 6(答案不唯一) 30 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17 【详解】(1)解：4x-64 =4(x4-16) =4x2Y-42] =4(x2+4)x2-4) =402+4x+20x-2）.3分 2x2y-8xv+8y (2)解： =2y(x2-4x+4 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2-26分 18. 【详解】(1)解： (20+5)2-202 =252-202 =(25+20)×(25-20) =45×5. 则(20+5}-20 的结果是5的45倍.3分 (2解：(2k+5-(2) =(2k+5-2k)(2k+5+2k) =5(4k+5) ,k为整数， .4k+5为整数， :、（2k+5)与2的平方能被5整除.…6分 19. 【详解】(1)解：设另一个因式为 x+m,得 x2+6x+a=（x+5)(x+n) 2+6x+a=x2+(n+5)x+5n 则 [n+5=6① .5n=a②， 由①得：n=1, 把n=1代入②得：a=5, ∴.另一个因式是x+1,a的值为5：3分 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②解：设另个因武为2x+川），得 2x2-bx-15=(x+3)(2x+m） 则22-i-15=2+a+6)x+3n [3n=-15① ∴.n+6=-b②， 由①得：n=-5, 把n=-5代入②得：b=-1, ,2X2-bm-15=22+x-15=(c+32x-5）.…6分 20. 【详解】(1)解：x2+6x-27, :9×(-3)=-27xx=x2.x×(-3)+x×9=6x 2+6x-27=(x+90x-3）,2分 (2)解：6x2-7x-3, :1×-3)=-33x-2x=6x23x×(-3)+2x×1=-7x 62-7x-3=3x+02x-3到，4分 (3)解：(x+y-7x+)+6 :(-)×(-6)=6(x+y小(x+y)=(x+y2(x+y)x(-6)+(x+y)x(-1)=-7(x+y) (x+y2-7(x+y)+6=(+y-0(x+y-6).…6分 21 【详解】(1)解：(a-4a+2(a2-4a+6)+4 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令b=2-4a,则 原武6+26+6)+4 =b2+8b+16 =(6+4}. =(a2-4a+4, =[a-2, =-a-2;2分 (2)解：x2+8x-5=0, .x2+8x=5 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7） =[(x+1(x+7)][(x+3)(x+5] =(x2+8x+7)(x2+8x+15) =(5+7)(5+15) =12×20. =240；5分 (3)证明：设四个连续整数为n,n+1,n+2,n+3(n为整数)， 则四个连续整数的积与1的和为 (n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+10(n+2)]+1 =(n2+3n)(n2+3n+2+1 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令m=n2+3n,则 原式m(m+2)+1 =m2+2m+1 =(m+1 =(r+3n+, n为整数， n2+3n+1是整数， ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方8分 22. 【详解】4)解：原式-(a-2a+小-4=(a--2=(a-1+2a1-2)-(a+a-3),2分 2x2+3y2+8x-6y=-11 (2)解： 2x2+3y2+8x-6y+11=0 .2x2+8x+8+3y2-6y+3=0 ∴2(x2+4x+4)+3y2-2y+1=0 .2(x+2}+3(y-1)2=0 .2(x+2)}≥0,30y-12≥0 2(x+2}2=0,3(y-12=0 .x+2=0y-1=0 解得x=-2,y=1, 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x+y=-2+1=-1, （c+到m=(l=1…5分 （3)解：+8+5=4a+bc-2L, 4 d2-4a+4+B-b+11c-20, 4 a-2+2b-j+e-24=0 :a-2=0r2b-1=0c-2=0, .a=2,b=2,c=2, ..a=b=c, .△ABC是等边三角形.8分 23」 【详解】(1)解：①16=(2x2+-(2x2- ∴16是“奇异数”； ②：21不能写 (2k+1)2-(2k-1)2 的形式， .21不是“奇异数”： ③32=(2x4+-(2x4-y .32是“奇异数”.2分 (2)证明：N=(2k+-(2k- N=(42+4k+1)-(42-4k+1)=8k ,k为正整数， .N是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除.5分 (3)解：由题意得：A=8a,B=8b, 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①A+B=8a+8b=64, ∴.a+b=8, .(a+b)}=d2+b+2ab 82=40+2ab, 解得2ab=24, 又：(a-b}=a2+h-2ab :（a-b=40-24=16 a>b :a-b=Vi6=4 AB=32 ②：A+B A=8a’B=8b (803b）-=32.即ab=4a+4b' .8a+8b b-4a-4b=0,即a-4b-4)=16 a,b为正整数，a>b, .a-4>b-4,且b-4是16的正、负整数因数， 若b-4>0. [a-4=16 [a=20「A=160 b-4=1,解得b=5,B=40, a-4=8 a=12 「A=96 b-4=2,解得b=6,B=48, 「a-4=4 b-4=4,解得a=b=8,舍去， 若b-4<0, 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-4=-1 a=3 b-4=-16,解得b=-12,舍去， [a-4=-2 a=2 b-4=-8,解得b=-4,舍去， [a-4=-4 b-4=4,解得a=b=0,舍去. [A=160A=96 综上，B=40或B=48.8分 24. 【详解】（山解：设-5x+6=(K+ao(x+b）,则r-5+6=+a+br+b [a+b=-5 由系数对应关系可得ab=6, [a=-3「a=-2 ∴.b=-2或b=-3, ,x2-5x+6=(x-2)(x-3) 4分 (②解：设+1=(-++m+,则+r+1=+(m-+2-m)2+(m-x1 由系数对应关系知m-1=0, 解得m=1, :++1=(-x+02++刊）.…8分 (3)解：：r-(a+2)r+(a+40)x-39= 有三个整数解，且其中一个解为x=1, -(a+2)x2+(a+40)x-39=(c-l(x+mx+m）,则 设 x3-(a+2)x2+(a+40)x-39=x3+(m+n-l)x2+(mn-m-n)x-mn 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,a=-1-(m+n) .mn=39 m=1m=-1m=3m=-3 .n=39或n=-39或n=13或n=-13, m=1 当n=39时，a=-1-(1+39)=-41, m=-1 当n=-39时，a=-1-[-1+(-39)]=39, [m=3 当n=13时，a=-1-(3+13)=-17. m=-3 当n=-13时，a=-1-[-3+(-13)]=15, ∴.a=-41或39或-17或15.12分 25. 【详解】(1)解：·r-y=(x+y(x-) ,992-12=(99+1)×(99-1)=100×98=9800 故答案为：9800；3分 3-y3 (2)解：棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积 x.x.(x-y)=x2(x-y)=x-x2y 甲的体积为： 乙的体积为：xy(x-)=y(x-以=xy-y2 丙的体积为： y.y(x-y)=y2(x-y)=xy2-y3 剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即(x-)+(x-)+y(c-)=(x-(x2+y+y) 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -y=(-yx2+y+y2） 枚答案为：（-：+w+y）,6分 (3)解：x-y=2,y=1, :(x-y=x2-2y+y2=4 .x2+y2=4+2xy=4+2×1=6 （+y=+2y+y=(x+y）+2y=6+2x1=8.x>0,y>0. :x+y>0.x+y=22 根据(2)的计算得到-y=(x-x+y+yr） 同理，r+少=(c+y-y+y）) x-y(x-y(x2+y+y2） 2×(6+1)7 六(+y[0x*r2-+yr[22×6-订100.2分 10/10 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十七章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：各项系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂为，相同字母的最低次幂为， ∴ 公因式为． 2．下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从左边是否为多项式、右边是否为几个整式的乘积的角度，判断各选项的变形是否为因式分解. 【详解】解：对各选项逐一分析如下： A、∵左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，∴符合要求； B、∵左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，∴不符合要求； C、∵右边含减法运算，不是几个整式的乘积形式，∴不符合要求； D、∵左边不是多项式，右边含除法运算，不是几个整式的乘积形式，∴不符合要求； 3．下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（     ） 甲： 乙： A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】A 【详解】解：甲：，是整式的乘法； 乙：，是因式分解， 故A选项符合题意． 4．若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，含因式，故A不符合题意； B选项：，含因式，故B不符合题意； C选项：，不含因式，故C符合题意； D选项：，含因式，故D不符合题意． 6．如果，，那么的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先提取公因式，把式子整理成含和的形式，整体代入数值计算即可． 【详解】解：， 代入，， 可得原式． 7．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 8．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 【答案】B 【分析】先整理等式为两个完全平方的和，求出，的值，再分情况讨论边长，结合三边关系排除不合理解，计算周长． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0 ∴， 解得，． 分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立． ②若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，，满足三角形三边关系． ∴的周长为． 9．我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【分析】根据“美丽数”定义，设两个偶数表示出平方差，因式分解推导美丽数的性质，再结合性质判断各选项即可． 【详解】解：设两个偶数分别为,（，为整数，）， 根据定义，美丽数， 即， ，和为偶数， 与同奇偶， 对选项逐一判断： A选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此36是美丽数． B选项：，，10的所有正因数分解为、，两组因数均为一奇一偶，不符合同奇偶要求，不存在整数解，因此40不是美丽数． C选项：，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此44是美丽数． D选项：，取，，均为偶数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此48是美丽数． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：_______． 【答案】 【分析】确定多项式的公因式，通过提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 12．如果，，那么_________． 【答案】4 【详解】解：根据平方差公式，得，将，代入上式，得：， ∴． 13．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 14．已知关于 、的二元一次方程组 ，则 的值为______． 【答案】121 【分析】先将所求代数式因式分解得，，再观察方程组，得到的值，代入计算即可得结果． 【详解】解： ， 得 ： ∴． ∴ ． 15．对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 【答案】 【分析】首先依据新定义的运算法则把所给式子转化为常规的代数式，然后利用因式分解的步骤和方法分解因式即可． 【详解】解：原式 16．定义：若正整数a满足（m为正整数），则称a为“积序数”． （1）请写出一个“积序数”：________； （2）已知两个不同的“积序数”之差为12，其中较大的数不超过50，则较小的数为________． 【答案】 6（答案不唯一） 30 【分析】(1) 根据积序数的定义，取正整数的值代入即可求出一个积序数． (2) 设两个积序数分别为和（），利用差为12列方程，对与进行因数分解，逐一检验求解． 【详解】（1）解：取， 则， 故一个积序数为6．（答案不唯一） （2）解：设两个不同的积序数分别为和，其中为正整数且， 由题意得：， 即， 整理，得，， ， ，， 将12分解为两个正整数之积，且满足上述条件： 当，时，，解得，， 此时，，，符合题意， 当，时，，解得，，不是正整数，舍去， 当，时，，解得，，不是正整数，舍去， 综上所述，较小的积序数为30． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式．再两次运用平方差公式分解； （2）先提公因式．再运用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 18．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【答案】(1)45 (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． （2）略． 19．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 20．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 21．先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)证明：设四个连续整数为，，，（为整数）， 则四个连续整数的积与1的和为， ， ， 令，则 原式， ， ， ， 为整数， 是整数， 四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【分析】（1）将多项式整体代换简化二次式，用完全平方公式逐层因式分解即可； （2）对四个一次因式分组相乘构造整体，结合已知方程整体代入求值即可； （3）设四个连续整数为，，，（为整数），分组相乘构造相同二次整体，换元后配成完全平方即可完成证明． 【详解】（1）解：， 令，则 原式， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 22．例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子因式分解即可； （2）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． （3）移项后利用完全平方公式变形，然后根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b和c的值即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 23．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 【答案】(1)①③ (2)证明：， ， ∵为正整数， ∴是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除． (3)①4；②或 【分析】（1）根据题中所给关系式逐一判断即可； （2）先对进行因式分解，再结合为正整数，即可证明； （3）①先根据题中所给条件求出，再结合求得，进而求解； ②根据和，得出，再因式分解得，分情况讨论进而求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴16是“奇异数”； ②∵不能写成的形式， ∴21不是“奇异数”； ③∵， ∴32是“奇异数”． （2）略． （3）解：由题意得：，， ①∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵ ， ∴， ， ∴． ②∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，为正整数，， ∴，且是16的正、负整数因数， 若， ，解得，， ，解得，， ，解得，舍去， 若， ，解得，舍去， ，解得，舍去， ，解得，舍去． 综上，或． 24．【阅读理解】利用待定系数法进行因式分解与解方程． 因式分解：． 设， 则， 由系数对应关系可得：，根据观察可得整数解：或， 所以． 用上述方法可解方程：，即，因此方程的解为或，能说明的因式为和． 【模仿学习】 (1)因式分解：； (2)已知含有因式，请将进行因式分解； 【创新应用】 (3)已知关于的方程有三个整数解，且其中一个解为，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或15 【分析】（1）设，再由系数对应关系计算即可得出结果； （2）设，再由系数对应关系计算即可得出结果； （3）设，再由系数对应关系计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则， 由系数对应关系可得， ∴或， ∴． （2）解：设，则 由系数对应关系知， 解得， ∴． （3）解：∵有三个整数解，且其中一个解为， ∴设，则， ∴， ∵， ∴或或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴或或或15． 25．【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以， 【尝试应用】 (1)利用材料中得到的等式计算：________； (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 (3)若，，且，，求的值． 【答案】(1)9800 (2) (3)的值为 【分析】（1）根据材料提示得到，由此即可求解； （2）根据立体图形体积的计算方法，分别算出甲、乙、丙的体积，再根据整式的混合运算计算即可求解； （3）运用完全平方公式变形得到，，结合（2）的计算方法得到原式，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积， 甲的体积为：， 乙的体积为：， 丙的体积为：， ∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 根据（2）的计算得到， 同理，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $… 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 学校 外 内 第十七章因式分解·能力提升 姓名 建议用时：120分钟，满分：120分 级： 装 考号 订 订 线 试题第11页（共8页） 可学科网·上好课 试题第12页（共8页） 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十七章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 2．下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（     ） 甲： 乙： A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 4．若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 6．如果，，那么的值是（     ） A． B． C． D． 7．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 9．我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（     ） A．36 B．40 C．44 D．48 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：_______． 12．如果，，那么_________． 13．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 14．已知关于 、的二元一次方程组 ，则 的值为______． 15．对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 16．定义：若正整数a满足（m为正整数），则称a为“积序数”． （1）请写出一个“积序数”：________； （2）已知两个不同的“积序数”之差为12，其中较大的数不超过50，则较小的数为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．因式分解： (1)； (2)． 18．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 19．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 20．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 21．先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 22．例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 23．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 24．【阅读理解】利用待定系数法进行因式分解与解方程． 因式分解：． 设， 则， 由系数对应关系可得：，根据观察可得整数解：或， 所以． 用上述方法可解方程：，即，因此方程的解为或，能说明的因式为和． 【模仿学习】 (1)因式分解：； (2)已知含有因式，请将进行因式分解； 【创新应用】 (3)已知关于的方程有三个整数解，且其中一个解为，求整数的值． 25．【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以， 【尝试应用】 (1)利用材料中得到的等式计算：________； (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 (3)若，，且，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $