培优专题03 乘法公式3考点13题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册
|
2份
|
74页
|
4人阅读
|
0人下载
内容正文：
专题03 乘法公式
常考题型·精准突破
考点一 平方差公式
题型1 运用平方差公式进行运算（重）
题型2 平方差公式与几何图形（重）
题型3 平方差公式的规律性计算（重）
题型4 平方差公式的新定义运算（重）
考点二 完全平方公式
题型1 运用完全平方公式进行运算（高频）
题型2 通过对完全平方公式变形求值（高频）
题型3 完全平方公式在几何图形中的应用（高频）
题型4 求完全平方公式中的字母系数（高频）
题型5 利用完全平方公式进行化简求值（高频）
考点三 乘法公式综合
题型1 乘法公式的综合运算（难）
题型2 完全平方式与几何综合（难）
题型3 乘法公式的新定义运算（难）
题型4 乘法公式的配方法求最值（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 平方差公式
◆题型1 运用平方差公式进行运算（重）
1．（26-27八年级上·北京·期中）计算和化简求值
(1)；
(2)，其中，．
【答案】(1)
(2)化简结果为，代入求值结果为
【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可；
（2）利用单项式乘多项式的运算法则和平方差公式化简原式，再代值求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，原式．
2．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．
【答案】/
【分析】观察各因式的结构特征，可连续两次使用平方差公式简化计算，无需逐项展开多项式．
【详解】解：
．
3．（2026八年级上·全国·专题练习）计算：__________．
【答案】
【分析】利用平方差公式将每个分解为，然后通过“约分”消去中间项，直接得到首尾相乘的结果即可．
【详解】解：
．
4．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的值为________．
【答案】
【分析】利用平方差公式结合已知的的值，通过整体代入即可求出，无需单独求解、的具体数值．
【详解】解：根据平方差公式可得，，
∵，，
∴代入上式得，
化简得．
◆题型2 平方差公式与几何图形（重）
5．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为n，m（），A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为20．
(1)用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积；
(2)连接，则四边形的面积是多少？
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据两个正方形的面积和减去两个三角形面积和即可求出阴影部分的面积；
（2）根据四边形的面积求解即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：
；
（2）解：如图所示，连接，
∵正方形和正方形的面积之差为20，
∴，
∴四边形的面积
．
6．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图所示的两个长方形用不同形式拼成图和图两个图形．
(1)图中阴影部分的面积为 ，图中阴影部分的面积为 用含字母，的代数式表示
(2)由你可以得到等式 ；
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
计算：；
解方程：．
【答案】(1)；
(2)
(3)①76900；②
【分析】（1）根据长方形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据两阴影部分的面积相等解答即可；
（3）①利用平方差公式进行计算即可得解；
②利用平方差公式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为：，
图中阴影部分的面积为：；
（2）解：由（1）你可以得到的等式是：；
（3）解：①原式
．
②，
，
，
．
7．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．
如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母）
A． B． C．D．
(2)小丽在计算时利用了（1）中的公式：
________．（请你将最后结果补充完整）
(3)仿照以上的结论和方法，计算：
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，图②是长为，宽为的长方形，据此求出两个阴影部分面积，再由图①、图②中阴影部分面积相等可得答案；
（2）利用平方差公式求解即可；
（3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图②是长为，宽为的长方形，因此面积为，
由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意．
（2）解：原式
……
．
（3）解：原式
……
．
8．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．
(1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：
图①： ．
图②： ．
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示）
【应用】
(3)请应用这个公式完成下列各题：
①若，则的值为（ ）
A．6；B．4；C．3；D．2
②计算：
【拓展】
(4)计算：
【答案】(1)；；
(2)；
(3)①B；
②；
(4)．
【分析】（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积；
（2）根据图①与图②的面积相等即可得；
（3）①利用两次平方差公式求解即可；
②利用两次平方差公式求解即可；
（4）将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得．
【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为；
（2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：；
（3）①解：原式，
∵，，
∴；
②解：原式
；
（4）解：
．
◆题型3 平方差公式的规律性计算（重）
9．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个）
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值．
(3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律：
…
则：________．
(4)利用你发现的规律：计算：________．
【答案】(1)C
(2)4
(3)
(4)
【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
（2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；
（3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解；
（4）根据（3）的规律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：，
右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：，
所以右图阴影部分面积为：，
由于左右两图阴影部分面积相等，
所以有：；
（2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得：
，
∵
；
（3）解：∵，
，
，
∴；
（4）解：．
10．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）发现：，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是_________．
【答案】
【分析】先用平方差公式补齐因式，对，连续化简，得到；再观察的个位数字周期：指数奇数时个位为4，指数偶数时个位为6，据此求出个位，再减1得到整个式子的个位数字．
【详解】解：
……
观察4的乘方个位：个位是4，个位是6，个位是4，个位是6，周期为2．
64是偶数，故个位数字为6．
，
即最终结果的个位数是5．
11．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
______；
______；
______；
…
______．
(2)请你利用上面的结论计算：．
【答案】(1)；；；
(2)
【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，利用多项式乘多项式乘法法则，通过 “从特殊到一般” 的方式，再归纳出通用规律；
（1）通过计算低次多项式的乘积，归纳出一般性规律，再推广到高次多项式的化简；
（2）利用归纳出的规律进行计算，直接套用结论求解．
【详解】（1）解：；
；
；
…
；
（2）．
12．（26-27九年级下·湖北十堰·自主招生）给出以下等式：
(1)观察以上各式的规律，可以得到：
________（直接写结果，其中n为正整数）
(2)利用以上等式，完成下列两题：
①对任意的实数a，试比较与1的大小关系；
②求值：
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）观察所给等式，即可总结出规律；
（2）①把看作，即可利用所得规律计算；
②将原式变形为，根据所得规律计算即可．
【详解】（1）解：，
（2）解：①
，
∵，
∴，即．
②
◆题型4 平方差公式的新定义运算（重）
13．（2026八年级上·全国·专题练习）对于任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：．
(1)求的值；
(2)若，化简并求代数式的值．
【答案】(1)9
(2)化简为，值为1
【分析】（1）根据新定义，直接列出算式即可求解；
（2）根据新定义，得到，再代入化简后的代数式，即可求解．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：∵，
∴．
∴原式．
14．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）新定义：，例如，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了定义新运算，平方差公式，弄清运算法则是解题的关键；
根据新定义可得，再根据平方差公式得出答案．
【详解】解：根据题意可得．
故答案为：．
15．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是___________，第150个“师一优数”是____________．
【答案】 24 1216
【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“师一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“师一优数”可表示为，再分别求出、和时的“师一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，
则“师一优数”可表示为，
∵为正整数，
当时，第1个“师一优数”为；
当时，第2个“师一优数”为；
当时，第3个“师一优数”为；
归纳类推得：第个“师一优数”可表示为（为正整数）．
当时，，即第150个“师一优数”为1216，
故答案为：24，1216．
16．（25-26八年级下·四川泸州·期中）定义“完美差数”为两个连续奇数的平方差．例如，，所以8是完美差数．已知某个完美差数等于32，则这两个连续奇数中较大的数是_____．
【答案】
9
【分析】根据“完美差数”的定义，设出两个连续奇数，依据定义列出方程，利用平方差公式化简求解，即可得到结果．
【详解】解：设这两个连续奇数中较大的数为，则较小的奇数为．
根据题意得
由平方差公式因式分解得
化简得
整理得
解得．
考点二 完全平方公式
◆题型1 运用完全平方公式进行运算（高频）
17．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）计算：_______．
【答案】
【分析】将第二个因式调整顺序，转化为完全平方结构，借助完全平方公式展开化简即可．
【详解】解：∵
∴原式
根据完全平方公式展开得
18．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）已知，则____．
【答案】
【分析】设，则，，利用完全平方公式进行化简即可．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
19．（26-27八年级上·四川南充·期中）化简：______．
【答案】
【详解】解：
20．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）计算：
【答案】
【详解】
．
◆题型2 通过对完全平方公式变形求值（高频）
21．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则_______．
【答案】
【分析】通过完全平方公式的恒等变形，将待求式的平方与已知的差式、乘积式建立关联，代入计算后开方即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴等式两边同时平方得．
根据完全平方公式展开得．
∵
∴代入上式移项得．
∵待求式的平方展开为．
∴代入、得．
∴对等式两边开平方得．
22．（26-27八年级上·吉林长春·期中）已知，，则的值为________．
【答案】
24
【分析】将已知的两个完全平方式展开，通过两式相加消去交叉项，即可计算得到的值．
【详解】解：， ，
，
，
．
23．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则的值是________．
【答案】1
【详解】解：∵，
∴，
将已知，代入上式
∴．
24．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）已知，．求下列代数式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
◆题型3 完全平方公式在几何图形中的应用（高频）
25．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）如图，点是线段上一点，，，分别以、为边向外作正方形、，正方形的面积为，正方形的面积为，若，．
(1)求的面积；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式求出的值，进而求出的面积；
（2）借助已经求出的、的值，先求出，再利用平方差公式计算的值．
【详解】（1）解：由题意得：，，
点在线段上，，
，
正方形面积，正方形面积，且，
，
四边形是正方形，
∴是直角三角形，直角边为和，
，
由完全平方公式：，
将，代入得：
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，，，
由完全平方公式：，
将，代入得：，
，
，
由平方差公式：，
将，代入得：，
即．
26．（26-27八年级上·吉林长春·期中）通过第章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
(1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证的乘法公式是________．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
(2)若，，则________；
【类比应用】
(3)若，求的值；
【知识迁移】
(4)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，则的长度为________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)6
【分析】（1）根据图形直接计算即可得出公式；
（2）利用完全平方公式变形求解即可；
（3）根据题意利用完全平方公式变形即可求解；
（4）设，得出，再由题意得出，确定，再利用完全平方公式变形即可求解．
【详解】（1）解：用图①的面积的两种不同的表示方式得出等式 ；
（2），
；
（3），，
，
，
，
；
（4）设，
由题意得：，
，
∵，
，
，
化简，得 ，
，
，
，
∴．
27．（26-27八年级上·重庆江北·期中）如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在分割过程中面积没有变化．
(1)若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是__________（用含，的式子表示）；图2中四部分的面积之和是____________________（用含，的式子表示）；因此，可以得到等式_________________；
(2)若，，分别求和的值；
(3)若，直接写出的值．
【答案】(1)；；
(2)，
(3)12
【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式求解即可；
（2）根据，求解即可；
（3）设，则，，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是；
图2中四部分的面积之和是；
因此，可以得到等式；
（2）∵，，
∴
，
；
（3）设，
则，
∵，
∴，
∴
．
28．（26-27八年级上·福建厦门·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示：（ ）；
A． B． C．
图2表示：_______；
(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②若，求的值．
(3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．
【答案】(1)B，
(2)①3；②22
(3)1856
【分析】（1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积；
（2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值；②根据将原式变形求解即可；
（3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可．
【详解】（1）解：图1中，由图可知，，也可以表示为，
∴，即，
图2中，由图可知，，也可以表示为，
∴；
（2）解：①，
，
，，
；
②设，，则，，
∴，
即；
（3）解：设，
，，
，，
，
长方形的面积是200，
，
，
令，，
，，
，
，
四边形的面积.
◆题型4 求完全平方公式中的字母系数（高频）
29．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）若关于x的整式（m是常数）是某个整式的平方，则m的值是________．
【答案】
【分析】已知关于的二次三项式是完全平方式，需匹配完全平方公式的结构，推导一次项系数的取值.
【详解】解：由题意，该整式可对应为，
将对应式子展开得，
故.
30．（26-27八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则的值等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：∵是完全平方式，且首项为，常数项，
∴完全平方式为或，
∵，，
∴或，
解得或．
31．（26-27八年级上·重庆江北·期中）关于的整式是一个完全平方式，则__________．
【答案】
或
【分析】根据完全平方式的结构特征，由已知的两个平方项确定对应底数，结合乘积二倍项的系数关系建立等式求解的值．
【详解】解：∵ 整式是一个完全平方式，
∴该式符合完全平方公式的结构，其中，，
∴一次项的系数满足，
当时，解得；
当时，解得；
∴或．
32．（26-27八年级上·北京·期中）我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数．
定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以为“奇异数”，它的层级是．
(1)下列各数为“奇异数”的是________；（填序号）
①；②；③．
(2)请说明：任意一个“奇异数”都能被整除；
(3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）．若，，________．
【答案】(1)①③
(2)证明：设“奇异数”对应的层级为（为正整数），则
∵为正整数，
∴能被整除，即任意一个“奇异数”都能被整除．
(3)
【分析】（1）利用平方差公式化简，再逐一代入运算值即可；
（2）利用平方差公式化简即可得出结果；
（3）利用得到，再利用完全平方公式运算出，结合和的取值范围得到与的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴①，解得：，是奇异数；
②，解得：，不符合为正整数，不是奇异数；
③，解得：， 是奇异数；
（2）略
（3）∵的层级为，的层级为，
∴可以写成的形式，可以写成的形式，
整理可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，为正整数，，，，
∴，，
∴．
◆题型5 利用完全平方公式进行化简求值（高频）
33．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
，
当，时，原式．
34．（26-27八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
；
【分析】先计算完全平方公式和平方差公式，再去括号合并同类项，最后代入计算求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
35．（26-27九年级上·北京顺义·期中）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】先展开代数式并合并同类项，将已知等式变形后整体代入求值．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
36．（26-27八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】先对原式进行化简，再由已知条件将整体代入求解得到结果．
【详解】解：原式
．
代入，原式．
考点三 乘法公式综合
◆题型1 乘法公式的综合运算（难）
37．（26-27八年级上·北京海淀·期中）已知，求代数式的值．
【答案】11
【详解】解：原式，
，
，
，
，
原式，
，
．
38．（26-27八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值．
【答案】13
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
39．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知，A、B分别为两个代数式，；．
(1)求这两个代数式
(2)化简的结果．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意得出，从而得出，再求出，然后求出B即可；
（2）根据题意列出算式，然后用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵；，
∴，
即，
∴，
∴
；
（2）解：
．
40．（26-27七年级上·上海青浦·期中）已知，求的值．
【答案】
【分析】首先根据平方差公式、单项式乘多项式运算法则进行计算，进而合并同类项完成化简，再将整理为，然后代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式
．
◆题型2 完全平方式与几何综合（难）
41．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在如图1所示的的网格图中，放置着5个边长为1的小正方形，将它们按某种裁剪线剪开后重新拼装，能拼装成一个大正方形．
(1)①请你在图1中画出裁剪线，并在图2中画出重新拼装后的大正方形；
②重新拼装的大正方形的边长为__________．
(2)图3是由4个边长分别为的长方形和1个小正方形拼成的正方形图案．
①图3中小正方形的边长为__________；
②若该图案的总面积为，中间小正方形的面积为，则下列结论正确的是__________．（把所有正确结论的字母填在横线上）
A． B． C．若，则
(3)在（2）的基础上，顺次连接长方形的对角线，得到一个新的正方形（如图4），若其面积为，求，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)①在图1中画出裁剪线如图三块，在图2中按顺序重新拼装后的大正方形如图：
②重新拼装的大正方形的面积为，则边长为．
(2)①；②A B
(3)
【分析】（1）①根据面积不变裁剪即可；
②根据重新拼装的大正方形的面积为求边长；
（2）①结合图形求图3中小正方形的边长；
②由图可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，，再逐个结论判断即可；
（3）求出，，，再找关系即可．
【详解】（1）略
（2）解：①根据四个边长分别为的长方形可以得图3中小正方形的边长为；
②由图可得大正方形的边长为，小正方形的边长为
∴，，
A．，结论正确；
B．，结论正确；
C．若，则，，即，结论错误；
（3）解：由图可得，，，
∴．
42．（26-27八年级上·全国·期末）完成以下问题
(1)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ；
(2)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
(3)已知，，求的值；
(4)已知，求的值；
(5)【拓展提升】当时，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）解：观察图1可知，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积，即；
（2）解：观察图2可知，大正方体的体积等于小正方体的体积加6个长方体的体积，即；
（3）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴；
（4）解：∵，，，
∴，
∴，，
由（2）可知，，
∴；
（5）解：令，，
则有，，
，
即．
43．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)9；
(2)；
(3)25．
【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可；
（2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可；
（3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：令，
则，
．
（3）解：设，
，
．
则图中阴影部分的面积为
．
44．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：
(1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________．
(2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和．
(3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值．
①求与之间的数量关系．
②若，求的定值．
【答案】(1)
(2)平方米
(3)①；②
【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可；
（2）设，由题意得，，，根据代入计算即可．
（3）①根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答；②根据（3）①所求代入求值即可．
【详解】（1）解：图1中4个小长方形的面积为，
图2中4个小长方形的面积为，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设米，米，
由题意得，米，
∵种花区域的面积和为120平方米
∴，即，
∴
（平方米），
答：种草区域的面积和为80平方米．
（3）解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为，
∴，
∴，
∵不论的长为何值时，永远为定值，且，
∴的值与无关，
∴，
即a与b之间的数量关系为；
②由（3）①得，，
∴当时，．
◆题型3 乘法公式的新定义运算（难）
45．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）．
例：已知与为伴侣数，且，求的值．
解：与为伴侣数
即
根据以上信息，解答下列问题：
(1)已知与为伴侣数，，求的值；
(2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据伴侣数的定义和完全平方公式解答即可求解；
（）根据伴侣数的定义和完全平方公式分别求出的值，进而求出的值，再与比较即可求解；
本题考查了新定义运算，完全平方公式的应用，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：与为伴侣数，
，
，
，
∵，
；
（2）解：与为伴侣数，
，
，
，
，
又，
，
即，
又，
，
即，
∴
，
．
46．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______；
(2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值；
(3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，的最小值为1；
(3)当时，S为“完美数”．
【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值；
（3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值．
【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
∴的最小值为1；
（3）解：，
，是整数，
，也是整数，
要使S为“完美数”，
∴，
解得：，
∴当时，S为“完美数”．
47．（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________；
（2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________；
探究问题：
（3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________；
（4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________．
【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键．
解决问题（1）根据题目信息即可求解；
（2）根据即可求解；
探究问题（3）根据即可求解；
（4）根据，即可求解；
拓展结论：根据题意可得即可求解；
【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为；
是“完全数”，理由：因为；
故答案为：；是“完全数”．
（2），
，或，
或，
故答案为：4或；
探究问题：（3），
，，
；
故答案为：．
（4），
由题意得：，
；
拓展结论：，
；
当时，最小，最小值为1．
故答案为：1．
48．（25-26七年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为和谐数．
①如果将n个和谐数按从小到大的顺序依次排列，就会形成一组和谐数列：，，…，则一定是的倍数；
②若，则是和谐数；
③m，n为正整数，且，若和都是和谐数，则也是和谐数．
则上述结论正确的是______________．
【答案】①②
【分析】设两个连续正奇数为，（为正整数），可证明，则和谐数一定是8的正整数倍，可得都是8的正整数倍可判断①；先化简代数式，结合，对照和谐数定义可判断②；当时，可证明，，，可判断③．
【详解】解：①设两个连续正奇数为，（为正整数），
则
，
∵k为正整数，
∴是正整数，
∴和谐数一定是8的正整数倍，
∵都是和谐数，
∴都是8的正整数倍，
∴一定是的倍数，故①正确；
②∵，
∴
，
，
∴代数式是和谐数，故②正确．
③当时，，
∵，即8是和谐数，
∴此时是和谐数，
∵，且，
∴此时也是和谐数，
∵，而12不是8的正整数倍，
∴此时不是和谐数，故③错误；
综上所述，正确的有①②．
◆题型4 乘法公式的配方法求最值（难）
49．（26-27七年级下·广东佛山·阶段检测）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．
【解决问题】
(1)数61 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
(2)已知，则 ；
(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；
【拓展结论】
(4)已知、满足，求的最小值．
【答案】(1)是；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求；
（3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解；
（4）根据条件求出的值，再进行配方求解．
【详解】（1）解：∵，
∴是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵
，
为“完美数”，
∴
∴；
（4）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴当，时，的最小值为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
50．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）我们把二次三项式，叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求二次多项式的最大值或最小值．例如：，所以当时，多项式有最小值，最小值是．若，则二次多项式的最小值为______．
【答案】
【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，代入所求多项式，再利用配方法结合完全平方式的非负性，即可求出多项式的最小值.
【详解】解：由得，，
将代入得：
，
∵，
∴，
故二次多项式的最小值为.
51．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________
(2)已知，则___________；
(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(4)已知实数满足，求的最值．
【答案】(1)
(2)5
(3)
解：可取，理由如下：
对配方，
得，要使为“完美数”，可取，即，此时，因为是整数，所以和是整数，符合“完美数”的定义，故符合条件的一个值为10；
(4)的最小值是
【分析】本题考查的是配方法的应用，“完美数”的定义，熟记完全平方公式是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义解答；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算；
（3）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答；
（4）对原式进行变形，再根据配方法进行求最小值即可．
【详解】（1）解：是完美数，
；
故答案为：；
（2）解：，
，即，
且，
解得：，
则；
故答案为：5；
（3）略
（4）解：，
∵，
∴，
的最小值是．
52．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）．
(1)用配方法将分解因式；
(2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长．
(3)当x，y为何值时，代数式取得最大值，最大值为多少？
【答案】(1)
(2)5
(3)当时，代数式取最大值，最大值为16
【分析】（1）根据，再根据平方差公式分解即可；
（2）将原式化为，再根据完全平方公式整理成平方和等于0的形式求出a，b的值，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边关系解答；
（3）根据完全平方公式整理为，再讨论极值即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴．
∴三边长为2，2，1，则周长为；
（3）解：
，
∵，，
∴当时，，
所以当时，代数式取最大值，最大值为16．
综合攻坚·知能拔高
53．（26-27八年级上·山东烟台·期中）根据我们学习解决数学问题的经验，我们计算一个几何图形，有时可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式，例如：利用图1可以得到数学等式，那么利用图2可以得到数学等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】最大的正方形面积等于其边长的平方，又等于三个较小的正方形面积与六个长方形的面积之和，据此分别表示出大正方形的面积即可得到答案．
【详解】解：图2中，最大的正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积又等于三个较小的正方形面积与六个长方形的面积之和，
故大正方形的面积为，
∴．
54．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合完全平方公式特征的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】解：完全平方公式对应的乘法式子特征为两个二项式各项均对应相同或均互为相反数．
①、③、④、⑥均满足一项相同、一项互为相反数，不符合完全平方公式特征．
∵②中两项均互为相反数，
∴符合完全平方公式特征．
∵⑤中两项均互为相反数，
∴符合完全平方公式特征．
综上，符合的共2个．
55．（26-27七年级上·上海普陀·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：∵整式是关于的整式的平方，
∴该式为完全平方式，
∵首项为，末项为，
∴中间项系数满足，即，
解得或．
56．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得：
．
57．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把原式变形为，由得到平方和为. 又由即可求出答案．
【详解】解：将每个完全平方展开，得
分别合并同类项，个常数1相加得，故
原式．
∵ 的值为1或，
∴ ，即平方和为．
∵ ，
∴ 原式．
58．（26-27八年级上·贵州铜仁·期中）边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为36，，则__________．
【答案】8
【分析】利用面积割补法，用和表示出阴影部分的面积，结合完全平方公式 进行变形，代入已知数值求解即可．
【详解】解：由图可知，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴，
∴．
59．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）已知：，求的值__________．
【答案】2023
【分析】由已知方程判断，将方程两边同除以得到的整体值，再利用完全平方公式的变形计算目标代数式的值．
【详解】解：∵ 若，代入的左边得，
∴ ，
根据等式的性质，可将方程两边同时除以，得到，整理得．
∵ 由完全平方公式展开，变形可得，
∴ 将代入上式，得．
60．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知，，，则代数式的值为__________．
【答案】
【分析】先对所求代数式因式分解变形，再计算，，两两的差，整体代入计算即可．
【详解】解：先对代数式整理变形：
，
根据已知条件计算两两之差：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
将差值代入变形后的代数式计算：
．
61．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在数学综合与实践课上，小明用9张A类正方形卡片，1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片（三种卡片如图所示）拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是150，且，则的值为______．
【答案】
【分析】A类正方形卡片，B类正方形卡片和C类长方形卡片的面积分别为,大正方形的边长是150，且，据此列方程并解方程即可．
【详解】解：由题意可知，A类正方形卡片，B类正方形卡片和C类长方形卡片的面积分别为,
由题意可得，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
62．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________．
【答案】36
【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
延长交的延长线于点，
∵点为的中点，
∴，
则，
，
，
∵点为的中点，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
化简，得，
∴小正方形的面积为．
63．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，3
【分析】先用完全平方公式、平方差公式、整式的除法化简，再用非负数的和为零的解答规则求出字母的值，代入化简后的代数式解答即可．
【详解】解：
，
，
且，
，
原式．
64．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代数式化简，并合并同类项，根据不含有项和常数项，即可求出的值．
（2）先将式子去括号，合并同类项，将的值代入即可求出．
【详解】（1）解：
，
代数式化简后，不含有项和常数项，
，，
，．
（2）解：
．
，
原式．
65．（26-27八年级上·北京东城·期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将它剪成四个小长方形，然后按图2所示的位置摆放．
(1)图2中的阴影部分为正方形，其边长等于__________；
(2)观察图2，写出代数式，和的等量关系：_______________；
(3)若，都是有理数，且，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形可直接进行求解；
（2）由等积法可进行求解；
（3）根据（2）中的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：由图2可知：阴影部分的边长为；
（2）解：图2阴影部分的面积为，也可以根据正方形的面积公式得，
∴，即；
（3）解：由（2）中的结论可得：，
∵，，
∴，
∴．
66．（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）观察下列图形与等式的关系．
根据上述图形与等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是________；第6个图中空白部分小正方形的个数满足的等式为________（仿照图中等式写法）．
(2)用含n的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：________（仿照图中等式写法）．
(3)运用上述规律计算：．
【答案】(1)11，13
(2)
(3)
【分析】根据题图找出的规律计算即可得解．
【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，
第6个空白小正方形的个数算式应为：；
（2）解：由题图知，
图①空白部分小正方形的个数是；
图②空白部分小正方形的个数是；
图③空白部分小正方形的个数是；
，
所以图空白部分小正方形的个数是：；
（3）解：由（2）问规律可计算得，
．
67．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）探索：
……
(1)根据规律可以看出：__________
(2)试求的值（提示：在前面的表达式中可以设）
(3)已知，，，，……依此规律判断：……的值的个位数字是几？
(4)试求……的值（结果保留幂的形式）
【答案】(1)
(2)
(3)个位数字是
(4)
【分析】（1）比较四个等式中左右两边 的指数，归纳出右边指数比左边最高次数大 的规律；
（2）在（1）的结论中取 ，右边可直接算出，左边正是所求的和；
（3）先用（1）的结论把和化为 的幂与 的差，再由 的正整数次幂的个位数字的循环规律确定个位数字；
（4）在（1）的结论中取 ，两边同时除以 ．
【详解】（1）解：
．
（2）解：在（1）的结论中取 ，得
．
∴ ．
（3）解：在（1）的结论中取 ，，得
．
∴ ．
∵ ，，，，，，
∴ 的正整数次幂的个位数字按，，，的顺序每四个一循环．
∵ ，
∴ 的个位数字与 的个位数字相同，为．
∴ 的个位数字为 ，
∴ 所求和的个位数字是．
（4）解：在（1）的结论中取 ，，得
．
∴
．
【点睛】本题考查多项式乘法的规律探究与幂的个位数字的周期性；解题关键是把已知等式“两式相乘、中间项两两抵消”的结构反过来用——第二个括号恰好就是待求的和式，乘上 便化成 ；求个位数字的关键是看准 的幂的个位数字以 为周期，用指数除以 的余数定位．
68．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成：
(1)【算法赏析】：若满足，求的值．
解：设，，则，
……
请继续完成计算．
(2)【算法体验】：若满足，求的值；
(3)【算法应用】：如图，已知数轴上、、表示的数分别是、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为137，求长方形的面积．
【答案】(1)12
(2)1260
(3)64
【分析】（1）根据完全平方公式可得求解即可；
（2）按（1）方法进行即可求解；
（3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有，设，，根据求解即可．
【详解】（1）解：设，，
则，，
；
（2）解：设，，
则，，
；
（3）解：正方形的边长为，面积为，
正方形的边长为，面积为，
则有，
设，，
则，，
所以长方形的面积为：．
69．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】
为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中．
【知识建构】
数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：．
【类比探究】
(1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________．
【实战运用】
(2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________．
【深度拓展】
(3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值．
【迁移运用】
(4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和．
【答案】(1)
(2)90
(3)5
(4)12
【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案；
（2）利用（1）的结论，整体代入计算即可；
（3）设，，则，，根据代入计算即可；
（4）设，，由题意得到，，根据代入计算即可．
【详解】（1）解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即，
由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为，
因此阴影部分的面积为，
所以有代数恒等式：；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：设，，则，，
∴
；
（4）解：∵，设，，
∴，，，，
∵种花区域的面积和为，即，
∴，
∵，
∴种草区域的面积和为：
．
70．（25-26七年级下·北京平谷·期末）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是“完美数”；
(1)在6，26，99中，是“完美数”的是________；
(2)已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________；
(3)如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
(3)证明：，都是“完美数”，
可设，，其中，，，都是非负整数．
对式子变形配方：
整理得．
，
，，，都是非负整数，
，都是整数，平方后均为非负整数．
可以表示为两个非负整数的平方和．
也是“完美数”．
【分析】（1）根据定义，逐一验证三个数能否表示为两个非负整数的平方和，即可得到结果．
（2）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k．
（3）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明．
【详解】（1）解： 对三个数逐一验证：
6无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”；
，符合“完美数”的定义，是“完美数”．
99无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”．
（2）对配方得：
．
由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数，
根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可．
取，得，
此时，符合要求，
因此是一个符合条件的值，答案不唯一．
（3）略
1 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
专题03 乘法公式
常考题型·精准突破
考点一 平方差公式
题型1 运用平方差公式进行运算（重）
题型2 平方差公式与几何图形（重）
题型3 平方差公式的规律性计算（重）
题型4 平方差公式的新定义运算（重）
考点二 完全平方公式
题型1 运用完全平方公式进行运算（高频）
题型2 通过对完全平方公式变形求值（高频）
题型3 完全平方公式在几何图形中的应用（高频）
题型4 求完全平方公式中的字母系数（高频）
题型5 利用完全平方公式进行化简求值（高频）
考点三 乘法公式综合
题型1 乘法公式的综合运算（难）
题型2 完全平方式与几何综合（难）
题型3 乘法公式的新定义运算（难）
题型4 乘法公式的配方法求最值（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 平方差公式
◆题型1 运用平方差公式进行运算（重）
1．（26-27八年级上·北京·期中）计算和化简求值
(1)；
(2)，其中，．
2．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．
3．（2026八年级上·全国·专题练习）计算：__________．
4．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的值为________．
◆题型2 平方差公式与几何图形（重）
5．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为n，m（），A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为20．
(1)用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积；
(2)连接，则四边形的面积是多少？
6．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图所示的两个长方形用不同形式拼成图和图两个图形．
(1)图中阴影部分的面积为 ，图中阴影部分的面积为 用含字母，的代数式表示
(2)由你可以得到等式 ；
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
计算：；
解方程：．
7．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．
如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母）
A． B． C．D．
(2)小丽在计算时利用了（1）中的公式：
________．（请你将最后结果补充完整）
(3)仿照以上的结论和方法，计算：
8．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．
(1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：
图①： ．
图②： ．
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示）
【应用】
(3)请应用这个公式完成下列各题：
①若，则的值为（ ）
A．6；B．4；C．3；D．2
②计算：
【拓展】
(4)计算：
◆题型3 平方差公式的规律性计算（重）
9．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个）
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值．
(3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律：
…
则：________．
(4)利用你发现的规律：计算：________．
10．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）发现：，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是_________．
11．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
______；
______；
______；
…
______．
(2)请你利用上面的结论计算：．
12．（26-27九年级下·湖北十堰·自主招生）给出以下等式：
(1)观察以上各式的规律，可以得到：
________（直接写结果，其中n为正整数）
(2)利用以上等式，完成下列两题：
①对任意的实数a，试比较与1的大小关系；
②求值：
◆题型4 平方差公式的新定义运算（重）
13．（2026八年级上·全国·专题练习）对于任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：．
(1)求的值；
(2)若，化简并求代数式的值．
14．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）新定义：，例如，则________．
15．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是___________，第150个“师一优数”是____________．
16．（25-26八年级下·四川泸州·期中）定义“完美差数”为两个连续奇数的平方差．例如，，所以8是完美差数．已知某个完美差数等于32，则这两个连续奇数中较大的数是_____．
考点二 完全平方公式
◆题型1 运用完全平方公式进行运算（高频）
17．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）计算：_______．
18．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）已知，则____．
19．（26-27八年级上·四川南充·期中）化简：______．
20．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）计算：
◆题型2 通过对完全平方公式变形求值（高频）
21．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则_______．
22．（26-27八年级上·吉林长春·期中）已知，，则的值为________．
23．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则的值是________．
24．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）已知，．求下列代数式的值：
(1)
(2)
◆题型3 完全平方公式在几何图形中的应用（高频）
25．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）如图，点是线段上一点，，，分别以、为边向外作正方形、，正方形的面积为，正方形的面积为，若，．
(1)求的面积；
(2)求的值．
26．（26-27八年级上·吉林长春·期中）通过第章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
(1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证的乘法公式是________．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
(2)若，，则________；
【类比应用】
(3)若，求的值；
【知识迁移】
(4)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，则的长度为________．
27．（26-27八年级上·重庆江北·期中）如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在分割过程中面积没有变化．
(1)若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是__________（用含，的式子表示）；图2中四部分的面积之和是____________________（用含，的式子表示）；因此，可以得到等式_________________；
(2)若，，分别求和的值；
(3)若，直接写出的值．
28．（26-27八年级上·福建厦门·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示：（ ）；
A． B． C．
图2表示：_______；
(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②若，求的值．
(3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．
◆题型4 求完全平方公式中的字母系数（高频）
29．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）若关于x的整式（m是常数）是某个整式的平方，则m的值是________．
30．（26-27八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则的值等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
31．（26-27八年级上·重庆江北·期中）关于的整式是一个完全平方式，则__________．
32．（26-27八年级上·北京·期中）我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数．
定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以为“奇异数”，它的层级是．
(1)下列各数为“奇异数”的是________；（填序号）
①；②；③．
(2)请说明：任意一个“奇异数”都能被整除；
(3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）．若，，________．
◆题型5 利用完全平方公式进行化简求值（高频）
33．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）先化简再求值：，其中，．
34．（26-27八年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，．
35．（26-27九年级上·北京顺义·期中）已知，求代数式的值．
36．（26-27八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值．
考点三 乘法公式综合
◆题型1 乘法公式的综合运算（难）
37．（26-27八年级上·北京海淀·期中）已知，求代数式的值．
38．（26-27八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值．
39．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知，A、B分别为两个代数式，；．
(1)求这两个代数式
(2)化简的结果．
40．（26-27七年级上·上海青浦·期中）已知，求的值．
◆题型2 完全平方式与几何综合（难）
41．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在如图1所示的的网格图中，放置着5个边长为1的小正方形，将它们按某种裁剪线剪开后重新拼装，能拼装成一个大正方形．
(1)①请你在图1中画出裁剪线，并在图2中画出重新拼装后的大正方形；
②重新拼装的大正方形的边长为__________．
(2)图3是由4个边长分别为的长方形和1个小正方形拼成的正方形图案．
①图3中小正方形的边长为__________；
②若该图案的总面积为，中间小正方形的面积为，则下列结论正确的是__________．（把所有正确结论的字母填在横线上）
A． B． C．若，则
(3)在（2）的基础上，顺次连接长方形的对角线，得到一个新的正方形（如图4），若其面积为，求，，三者之间的数量关系．
42．（26-27八年级上·全国·期末）完成以下问题
(1)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ；
(2)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
(3)已知，，求的值；
(4)已知，求的值；
(5)【拓展提升】当时，求．
43．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积．
44．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：
(1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________．
(2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和．
(3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值．
①求与之间的数量关系．
②若，求的定值．
◆题型3 乘法公式的新定义运算（难）
45．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）．
例：已知与为伴侣数，且，求的值．
解：与为伴侣数
即
根据以上信息，解答下列问题：
(1)已知与为伴侣数，，求的值；
(2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小．
46．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______；
(2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值；
(3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由．
47．（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________；
（2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________；
探究问题：
（3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________；
（4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________．
48．（25-26七年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为和谐数．
①如果将n个和谐数按从小到大的顺序依次排列，就会形成一组和谐数列：，，…，则一定是的倍数；
②若，则是和谐数；
③m，n为正整数，且，若和都是和谐数，则也是和谐数．
则上述结论正确的是______________．
◆题型4 乘法公式的配方法求最值（难）
49．（26-27七年级下·广东佛山·阶段检测）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．
【解决问题】
(1)数61 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
(2)已知，则 ；
(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；
【拓展结论】
(4)已知、满足，求的最小值．
50．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）我们把二次三项式，叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求二次多项式的最大值或最小值．例如：，所以当时，多项式有最小值，最小值是．若，则二次多项式的最小值为______．
51．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________
(2)已知，则___________；
(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(4)已知实数满足，求的最值．
52．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）．
(1)用配方法将分解因式；
(2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长．
(3)当x，y为何值时，代数式取得最大值，最大值为多少？
综合攻坚·知能拔高
53．（26-27八年级上·山东烟台·期中）根据我们学习解决数学问题的经验，我们计算一个几何图形，有时可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式，例如：利用图1可以得到数学等式，那么利用图2可以得到数学等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
54．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合完全平方公式特征的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
55．（26-27七年级上·上海普陀·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
56．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）现定义一种运算“⊕”：对任意有理数，，规定，如，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
57．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
58．（26-27八年级上·贵州铜仁·期中）边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为36，，则__________．
59．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）已知：，求的值__________．
60．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知，，，则代数式的值为__________．
61．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在数学综合与实践课上，小明用9张A类正方形卡片，1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片（三种卡片如图所示）拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是150，且，则的值为______．
62．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________．
63．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中满足．
64．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求的值；
(2)求的值．
65．（26-27八年级上·北京东城·期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将它剪成四个小长方形，然后按图2所示的位置摆放．
(1)图2中的阴影部分为正方形，其边长等于__________；
(2)观察图2，写出代数式，和的等量关系：_______________；
(3)若，都是有理数，且，，求的值．
66．（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）观察下列图形与等式的关系．
根据上述图形与等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是________；第6个图中空白部分小正方形的个数满足的等式为________（仿照图中等式写法）．
(2)用含n的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：________（仿照图中等式写法）．
(3)运用上述规律计算：．
67．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）探索：
……
(1)根据规律可以看出：__________
(2)试求的值（提示：在前面的表达式中可以设）
(3)已知，，，，……依此规律判断：……的值的个位数字是几？
(4)试求……的值（结果保留幂的形式）
68．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成：
(1)【算法赏析】：若满足，求的值．
解：设，，则，
……
请继续完成计算．
(2)【算法体验】：若满足，求的值；
(3)【算法应用】：如图，已知数轴上、、表示的数分别是、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为137，求长方形的面积．
69．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】
为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中．
【知识建构】
数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：．
【类比探究】
(1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________．
【实战运用】
(2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________．
【深度拓展】
(3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值．
【迁移运用】
(4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和．
70．（25-26七年级下·北京平谷·期末）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是“完美数”；
(1)在6，26，99中，是“完美数”的是________；
(2)已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________；
(3)如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”．
1 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
