专题03 平方差公式与完全平方公式（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题03 平方差公式与完全平方公式 常考题型·精准突破 题型1 乘法公式运算的判断（重） 题型2 求完全平方式中的字母系数（高频） 题型3 运用乘法公式进行运算（高频） 题型4 运用乘法公式进行简便运算（重） 题型5 运用乘法公式进行化简求值问题（高频） 题型6 通过对完全平方公式变形求值（高频） 题型7 完全平方公式的应用（难） 题型8 平方差公式在几何图形中的应用（难） 题型9 完全平方公式在几何图形中的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 乘法公式运算的判断 1．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的因式变形，判断是否可化为两个相同二项式的乘积，即可确定能否使用完全平方公式． 【详解】解：完全平方公式适用于两个相同二项式相乘的形式． A选项：，可用完全平方公式计算． B选项：中项相同，项符号相反，为平方差公式形式，不可用完全平方公式计算． C选项：，可用完全平方公式计算． D选项：，可用完全平方公式计算． 2．（26-27七年级上·全国·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、无法转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、，不能转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、，不能转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、是两数和与两数差的积的形式，能用平方差公式计算，该选项符合题意． 3．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意； C. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意． ◆题型2 求完全平方式中的字母系数 4．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）若是完全平方式，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比对应项系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式为完全平方式时，中间项满足， 当时，解得； 当时，解得； ∴． 5．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征，对比对应项系数即可求解的值． 【详解】解：由题意得，是关于的完全平方式， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 6．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）如果二项式加上一个含的单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则满足条件的单项式是____________． 【答案】 或或 【分析】根据完全平方公式分情况讨论，筛选出符合“含的单项式”“构成三项式”要求的结果． 【详解】解：根据完全平方公式，分情况讨论如下： 若和为完全平方式的两个平方项， ，， 中间项为，此时添加后得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得， 此时添加后，得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得，属于分式不是单项式，不符合要求； 若添加或，结果为单项式，不满足三项式要求，舍去； 因此满足条件的单项式为，或． ◆题型3 运用乘法公式进行运算 7．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（26-27八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ◆题型4 运用乘法公式进行简便运算 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式解答； （2）先将原式整理为，再根据平方差公式解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方法则进行计算即可； （2）变形后利用平方差公式计算即可； （3）变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： （3）解： ◆题型5 运用乘法公式进行化简求值问题 13．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）化简求值：，其中．． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当．时，原式． 14．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）化简求值 (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原式 ． 将，代入得： 原式． （2）解：原式 ． 将，代入得：． 15．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，； (3)，其中； (4)，其中． 【答案】(1)，2 (2)， (3)，9 (4)，3 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式 ； （2）解：原式 ， 当，时，原式 ； （3）解：原式 ， ， ， 原式； （4）解：原式 ， ，，且， ， 解得，， 当，时，原式 ． ◆题型6 通过对完全平方公式变形求值 16．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为含和的形式，代入已知条件计算； （2）先将四次式变形，利用完全平方公式逐步计算出中间结果后代入求值． 【详解】（1）解： 代入， 则； （2）解： 代入得，． 17．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ； （2）解：． 18．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）若满足，求的值． 解：设，，则，． (1)请仿照上面的方法求解：若满足，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再求出，然后根据代入计算即可得； （2）设，，则，，根据，求得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （2）解：设，， 则，， ∴ ． ◆题型7 完全平方公式的应用 19．（25-26七年级下·江西抚州·期中）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______； ②直接写出代数式的最小值为_______； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将代数式变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用拆项法将方程变形为：，得到的值，进而求解即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 当时，代数式有最小值为； （2）解：原方程可化为：， ， ∴， 即：， ∴. 20．（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）在学习乘法公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：___________；___________=； (2)若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)已知是的三边长，满足，且的值为代数式的最大值，请求出该三角形的周长． 【答案】(1)，16，4 (2)，小， (3)14 【分析】（1）根据完全平方公式完成填空； （2）利用配方法求出最值即可； （3）根据完全平方公式求出，再利用配方法求出，即可求出周长； 【详解】（1）解：；； （2）解： ， ， ∴当时，有最小值，这个值是； （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵， 又， ∴， ∵的值为代数式的最大值， ∴， ∴该三角形的周长． 21．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【阅读材料】 材料一：“配方法”是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，是解决数学问题常用到的方法． 材料二：，，求的值． 解：∵，，∴． 材料三：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴当时，有最小值，即代数式的最小值是． 【问题解决】 (1)已知，，求的值； (2)代数式是否有最大值，或有最小值？若有，求出它的最大值或最小值，并写出此时x的取值；若没有，请说明理由 【问题拓展】 (3)若，求的值． 【答案】(1)18 (2)当时，代数式有最大值，最大值为23 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据完全平方公式的变形求解即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解：代数式有最大值，最大值为23，过程如下： ， ∵， ∴，即， ∴当时，代数式有最大值，最大值为23； （3）解：∵， ∴ ． ◆题型8 平方差公式在几何图形中的应用 22．（25-26六年级下·山东烟台·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 【答案】(1)A (2)①20；②4049 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）①利用平方差公式进行计算； ②利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． 23．（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 24．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，图②是长为，宽为的长方形，据此求出两个阴影部分面积，再由图①、图②中阴影部分面积相等可得答案； （2）利用平方差公式求解即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意． （2）解：原式 …… ． （3）解：原式 …… ． ◆题型9 完全平方公式在几何图形中的应用 25．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图1，教材已给出关于、的关系式：______；根据图2，关于、的关系式可表示为：______；根据上面的思路与方法，解决下列问题： (2)如图3，，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形． ①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为，，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）图1，利用大正方形的面积两个小正方形的面积个长方形的面积解答即可；图2，利用大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积解答即可； （2）①根据和变形求出即可；②根据，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：图1，边长为的大正方形的面积边长分别为和的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； 图2，边长为的大正方形的面积边长为的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； （2）解：①由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴阴影部分面积为； ②由题意得，， ∴， ∵， ∴ ∴． 26．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， 解决问题： (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，边长为的正方形和边长为的正方形摆放在一起（），其中、、三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积 【答案】(1)10 (2)21 (3)10.5 【分析】（1）设，，则，，然后计算的值即可； （2）设，，则，，然后计算的值即可； （3）分别求出，，根据阴影面积计算即可． 【详解】（1）解：设，，则： ，， ∴ ； （2）解：， 设，，则： ，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和是正方形， ∴，， ∵， ∴ 又，且， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴阴影面积 ． 27．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________； (2)若，，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，点M在边上，，在边上取一点Q，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)79 【分析】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）根据完全平方公式可得，然后利用整体思想求出结果即可； （4）根据题意得，设，则，进而可得，结合三角形面积公式可得；令，易得，然后利用整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （4）设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 令， ∴， ∴正方形和正方形的面积和 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及完全平方公式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：A. ，A选项运算错误，不符合题意； B. ，B选项运算错误，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D. ，D选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 2．代数式是完全平方式，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式的应用，掌握完全平方式的特征是解题的关键，注意：完全平方式有两个：和．利用完全平方公式计算即可求出的值． 【详解】是完全平方式， ， ． 故选：B． 3．若，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减及完全平方公式的应用，求出M与N的差，根据完全平方的非负性即可解决． 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 故选：A． 4．已知a，b是等腰三角形的两条边，且a，b满足等式，则此等腰三角形的周长是（    ）． A．8或10 B．8 C．10 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、绝对值和偶次方的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，则可得，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系分两种情况，据此求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是等腰三角形的两条边， ∴①当这个等腰三角形的三边长为时，，满足三角形的三边关系， 则这个等腰三角形的周长是； ②当这个等腰三角形的三边长为时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 综上，这个等腰三角形的周长是10， 故选：C． 5．有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．94 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用． 设正方形A，正方形B的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】设正方形A，正方形B的边长分别为，由甲得：， 由乙得：， ∴，． 由丙得知：． 故选：A． 二、填空题 6．填空：( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，并能准确找出公式中的和是解题的关键．根据平方差公式，对进行变形，找出与对应的另一个因式． 【详解】解：． 故答案为：． 7．简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的应用，解题关键是将转化为． 将转化为后可得原式为，即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 8．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用， 根据平方差公式得，再结合代入可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 则． 故答案为：． 9．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式，多项式除以单项式化简，再代入求值即可． 【详解】， 原式 ． 故答案为：． 10．如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 三、解答题 11．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． （2）根据平方差公式求解即可． （3）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和完全平方公式进行展开，合并同类项，再运用多项式除以单项式，得出，最后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，再结合，得出，然后代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， 解得， ． 当时，． 14．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式． （1）直接将，代入，根据完全平方公式计算即可； （2）直接将，代入，根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)，4 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先算单项式乘以多项式和用完全平方公式展开，再合并同类项化简，最后把的值代入计算即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，然后算多项式除单项式，最后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解： ， 当，时，原式． 16．如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，其中，B，C，E三点在同一直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为． (1)试通过计算说明，的值与a的大小无关； (2)①___________（用含a，b的代数式表示）； ②若，，则的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）①用两个三角形面积之和求出阴影部分的面积即可； ②根据图形列式求出，表示出，然后利用完全平方公式求出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ∴的值与a的大小无关； （2）解：① ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 17．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)写出第5个等式； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）观察前面等式的规律，确定第5个等式中各数； （2）先根据规律猜想第个等式，再通过整式运算展开化简左边，与右边比较证明等式成立． 本题主要考查了数字的变化规律以及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式：． （2）解：第个等式：． 证明：左边 ， 右边， 所以左边右边， 所以等式成立． 18．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 19．【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________； (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． (3)计算：的个位数字． 【答案】(1) (2)①4；②1 (3)6 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正整数幂的尾数特征，准确识图，熟练掌握平方差公式的结构特征，正整数幂的尾数特征是解决问题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，再由图①，图②中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）①根据得，由（1）中的乘法公式得，将代入计算可得的值； ②变形得，再利用平方差公式求解即可； （3）先计算，再根据，，，，，，…，得到的个位数字为6，然后根据得的个位数字为6，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵图①中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴图①中阴影部分的面积为：， ∵图②中阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图②中阴影部分的面积为：， 由拼图可知：图①中阴影部分的面积图②中阴影部分的面积， ∴得到的一个乘法公式是：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， 即， 由（1）中的乘法公式得：， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ； （3）解： ， ∵，，，，，，…， ∴的个位数字为6， 又∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为6． 20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平方差公式与完全平方公式 常考题型·精准突破 题型1 乘法公式运算的判断（重） 题型2 求完全平方式中的字母系数（高频） 题型3 运用乘法公式进行运算（高频） 题型4 运用乘法公式进行简便运算（重） 题型5 运用乘法公式进行化简求值问题（高频） 题型6 通过对完全平方公式变形求值（高频） 题型7 完全平方公式的应用（难） 题型8 平方差公式在几何图形中的应用（难） 题型9 完全平方公式在几何图形中的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 乘法公式运算的判断 1．B 2．D 3．D ◆题型2 求完全平方式中的字母系数 4． 5．或 6．或或 ◆题型3 运用乘法公式进行运算 7． 【答案】(1) (2) 【分析】根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ◆题型4 运用乘法公式进行简便运算 10． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式解答； （2）先将原式整理为，再根据平方差公式解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方法则进行计算即可； （2）变形后利用平方差公式计算即可； （3）变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： （3）解： ◆题型5 运用乘法公式进行化简求值问题 13． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当．时，原式． 14． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原式 ． 将，代入得： 原式． （2）解：原式 ． 将，代入得：． 15． 【答案】(1)，2 (2)， (3)，9 (4)，3 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式 ； （2）解：原式 ， 当，时，原式 ； （3）解：原式 ， ， ， 原式； （4）解：原式 ， ，，且， ， 解得，， 当，时，原式 ． ◆题型6 通过对完全平方公式变形求值 16． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为含和的形式，代入已知条件计算； （2）先将四次式变形，利用完全平方公式逐步计算出中间结果后代入求值． 【详解】（1）解： 代入， 则； （2）解： 代入得，． 17． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ； （2）解：． 18． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再求出，然后根据代入计算即可得； （2）设，，则，，根据，求得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （2）解：设，， 则，， ∴ ． ◆题型7 完全平方公式的应用 19． 【答案】(1) ① ② (2) 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将代数式变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用拆项法将方程变形为：，得到的值，进而求解即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 当时，代数式有最小值为； （2）解：原方程可化为：， ， ∴， 即：， ∴. 20． 【答案】(1)，16，4 (2)，小， (3)14 【分析】（1）根据完全平方公式完成填空； （2）利用配方法求出最值即可； （3）根据完全平方公式求出，再利用配方法求出，即可求出周长； 【详解】（1）解：；； （2）解： ， ， ∴当时，有最小值，这个值是； （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵， 又， ∴， ∵的值为代数式的最大值， ∴， ∴该三角形的周长． 21． 【答案】(1)18 (2)当时，代数式有最大值，最大值为23 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据完全平方公式的变形求解即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解：代数式有最大值，最大值为23，过程如下： ， ∵， ∴，即， ∴当时，代数式有最大值，最大值为23； （3）解：∵， ∴ ． ◆题型8 平方差公式在几何图形中的应用 22． 【答案】(1)A (2)①20；②4049 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）①利用平方差公式进行计算； ②利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． 23． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 24． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，图②是长为，宽为的长方形，据此求出两个阴影部分面积，再由图①、图②中阴影部分面积相等可得答案； （2）利用平方差公式求解即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意． （2）解：原式 …… ． （3）解：原式 …… ． ◆题型9 完全平方公式在几何图形中的应用 25． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）图1，利用大正方形的面积两个小正方形的面积个长方形的面积解答即可；图2，利用大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积解答即可； （2）①根据和变形求出即可；②根据，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：图1，边长为的大正方形的面积边长分别为和的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； 图2，边长为的大正方形的面积边长为的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； （2）解：①由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴阴影部分面积为； ②由题意得，， ∴， ∵， ∴ ∴． 26． 【答案】(1)10 (2)21 (3)10.5 【分析】（1）设，，则，，然后计算的值即可； （2）设，，则，，然后计算的值即可； （3）分别求出，，根据阴影面积计算即可． 【详解】（1）解：设，，则： ，， ∴ ； （2）解：， 设，，则： ，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和是正方形， ∴，， ∵， ∴ 又，且， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴阴影面积 ． 27． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)79 【分析】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）根据完全平方公式可得，然后利用整体思想求出结果即可； （4）根据题意得，设，则，进而可得，结合三角形面积公式可得；令，易得，然后利用整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （4）设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 令， ∴， ∴正方形和正方形的面积和 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．A 二、填空题 6． 7． 8． 9． 10．45 三、解答题 11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． （2）根据平方差公式求解即可． （3）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 12． 【答案】，11 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和完全平方公式进行展开，合并同类项，再运用多项式除以单项式，得出，最后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 13． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，再结合，得出，然后代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， 解得， ． 当时，． 14． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式． （1）直接将，代入，根据完全平方公式计算即可； （2）直接将，代入，根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15． 【答案】(1)， (2)，4 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先算单项式乘以多项式和用完全平方公式展开，再合并同类项化简，最后把的值代入计算即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，然后算多项式除单项式，最后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解： ， 当，时，原式． 16． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）①用两个三角形面积之和求出阴影部分的面积即可； ②根据图形列式求出，表示出，然后利用完全平方公式求出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ∴的值与a的大小无关； （2）解：① ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 17． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）观察前面等式的规律，确定第5个等式中各数； （2）先根据规律猜想第个等式，再通过整式运算展开化简左边，与右边比较证明等式成立． 本题主要考查了数字的变化规律以及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式：． （2）解：第个等式：． 证明：左边 ， 右边， 所以左边右边， 所以等式成立． 18． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 19． 【答案】(1) (2)①4；②1 (3)6 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正整数幂的尾数特征，准确识图，熟练掌握平方差公式的结构特征，正整数幂的尾数特征是解决问题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，再由图①，图②中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）①根据得，由（1）中的乘法公式得，将代入计算可得的值； ②变形得，再利用平方差公式求解即可； （3）先计算，再根据，，，，，，…，得到的个位数字为6，然后根据得的个位数字为6，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵图①中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴图①中阴影部分的面积为：， ∵图②中阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图②中阴影部分的面积为：， 由拼图可知：图①中阴影部分的面积图②中阴影部分的面积， ∴得到的一个乘法公式是：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， 即， 由（1）中的乘法公式得：， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ； （3）解： ， ∵，，，，，，…， ∴的个位数字为6， 又∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为6． 20． 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平方差公式与完全平方公式 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1乘法公式运算的判断（重） 题型2求完全平方式中的字母系数（高频） 题型3运用乘法公式进行运算（高频） 题型4运用乘法公式进行筒便运算（重） 题型5运用乘法公式进行化简求值问题（高频） 题型6通过对完全平方公式变形求值（高频） 题型7完全平方公式的应用（难） 题型8平方差公式在几何图形中的应用（难） 题型9完全平方公式在几何图形中的应用（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1乘法公式运算的判断 1.(26-27七年级上·上海青浦阶段检测)下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是() A.（-a+b)a-b) B.（-a+b)(a+b) c.（-a-b)(a+b) D.(a+b)(b+a) 2.(26-27七年级上·全国期中)下列算式能用平方差公式计算的是() A.(2a+b)(2b-a B.(2x+1)(-2x-1） C.(3x-y)(-3x+y) D.（-m+n(-m-n) 3.(26-27八年级上·吉林长春阶段检测)下列计算正确的是() A.(a+b)(a-b)=a2+b2 B.(a+b)}2=a2+b C.(a-b}2=a2-b D.(a+b)(a-b)=a2-b2 ◆题型2求完全平方式中的字母系数 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(26-27七年级上·上海青浦阶段检测)若x2-mx+16是完全平方式，则m= 5.(26-27七年级上·上海浦东新阶段检测)己知关于x的整式4x+(k+)x+9是某个关于x的整式的平 方，那么k的值是 6.(25-26七年级下·江西景德镇期中)如果二项式4m4+1加上一个含m的单项式后构成的三项式是一个 完全平方式，则满足条件的单项式是 ◆题型3运用乘法公式进行运算 7.(2026七年级上全国专题练习)计算： (1)(x+4)(x-4)+(2x-1)(x+2): (2(2a-b-3)(2a+b-3). 8.(2026八年级上全国专题练习)计算： (1)(x+4)(x-4+(2x-10(x+2): (2(2a-b-3)(2a+b-3). 9.(26-27八年级上·全国单元测试)计算： (1(m+2)(m-2）-(（3m2n-6n)÷3n: (②)(-x-2y)(2y-x)+(x+2y)2-x(2y-x). ◆题型4运用乘法公式进行简便运算 10.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)利用乘法公式进行简便运算： (1)992-98×100: (2)1052. 11.(25-26七年级下·江苏镇江·期中)简便运算： (1)2022+196×202+982 (2)20262-2025×2027 12.(25-26七年级下·四川巴中阶段检测)运用所学乘法公式等进行简便运算： 2013 (15-m 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1232-124×122 6)5+49 +51×49 2 ◆题型5运用乘法公式进行化简求值问题 13.(26-27七年级上·上海青浦阶段检测)化简求值： [(x+2y-(x+y3x-y)-5y]2x,其中x=-2. 14.(26-27八年级上·河南新乡·阶段检测)化简求值 03d-(2a+b02a-6创-（口-b,其中a-2b= 2 @(2j-0-w1-j-可小(2列.其中=.号 15.(2026八年级上·全国专题练习)先化简，再求值： (1)(2a+1(2a-l)-a(3a+2),其中a=-1; o[2+2x-列(e+-e-2列-2.共中x2y: (③)(a+2y2+(a+1(3a-1)-(a+l(a-l),其中3a2+6a-5=0: ④2y-）-3y-1+2g2+i.其中+2+y-=0。 ◆题型6通过对完全平方公式变形求值 16.(26-27七年级上·上海杨浦阶段检测)已知p+9=-5,P9=6,求下列各式的值： (1)p-9)2: (2)p4+9 17.(26-27八年级上吉林长春阶段检测)己知x2+y=10,x+y=4,求下列各式的值： ((x+1+(y+: (②(x-y2. 18.(26-27七年级上·上海杨浦阶段检测)若x满足(9-x(x-4)=4,求(4-x+(x-9ヅ'的值. 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设9-x=a,x-4=b,则(9-x(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5 ∴.(9-x)2+(x-4)2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17 ()请仿照上面的方法求解：若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5-x2+(x-2)的值. (2)若(3-2m+5n)+(2m-5n-7)=26,求(3-2m+5m)(2m-5n-7)的值. ◆题型7完全平方公式的应用 19.(25-26七年级下·江西抚州期中)阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种 解题方法叫做配方法.配方法在数学领域有着广泛的应用. 例如：求代数式x+4x-5的最小值. 解：原式=2+4x+4-9=(x+2)-9,:当x=-2时，x2+4x-5有最小值是-9. 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：d2+6a+: ②直接写出代数式4x2-4x+5的最小值为 (2)已知2+y2+2x-2y+2=0,求x25+y2m6的值. 20.(26-27八年级上浙江金华开学考试)在学习乘法公式(a±b)=d±2b+b的运用时，我们常利用 配方法求最大值或最小值.例如：求代数式x2+4x+5的最小值，总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2}2+1, (x+2)≥0 :.当x=-2时，(x+2的值最小，最小值是0， .(x+2)+1≥1， :当x=-2时，(x+2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：x2+ +25=(x+5):m2+8m+ =(m+ (2)若y=x2+2x-3,当x= 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，a,b满足a2+41+b2=8b+10a,且c的值为代数式-x2+6x-4的最大值， 请求出该三角形的周长， 21.(25-26七年级下·安徽宿州期中)【阅读材料】 材料一：“配方法”是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式 的和，是解决数学问题常用到的方法。 材料二：y=3,x+y=-5,求x+y2的值. 解：y=3,x+y=-5,x2+y2=x2+2y+y2-2y=(x+y2-2y=(-5}-2×3=19. 材料三：求代数式x2-2x-2的最小值。 解：x2-2x-2=x2-2x+1-1-2=(x-1)}-3, :(x-1)≥0，当x=1时，(x-1-3有最小值-3，即代数式x2-2x-2的最小值是-3. 【问题解决】 (1)已知x-y=4,y=-2,求x2-3y+y的值： (2)代数式-2x2+12x+5是否有最大值，或有最小值？若有，求出它的最大值或最小值，并写出此时x的取 值；若没有，请说明理由 【问题拓展】 (3)若(2026-x)(x-2027)=6,求(2026-x)+(x-2027)的值. ◆题型8平方差公式在几何图形中的应用 22.(25-26六年级下·山东烟台期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然 后将剩余部分拼成一个长方形（如图2)· -a- 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的选项) A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a(a+b)=a+ab D.a2-b2=b(a+b) 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)用你选的等式进行简便计算： ①1012-992-962+942： ②20262-2×20252+2×20242-20232」 23.(25-26七年级下·广东河源期中)【探究发现】 从边长为的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2) 6 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (填字母序号) A.a2-2ab+b2=(a-b月 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) 【知识迁移】 (2)运用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知x2-4y=12,x+2y=4,则x-2y的值为 ②计算： 〔1-g) 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为 B 24.(26-27七年级上：上海杨浦·阶段检测)初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验 证 6112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 图① 图② 如图①，从边长为4的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形 (如图②)· ()通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是 (直接填字母) A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.a(a+b)=a+abD.(a-b)'=a2-b2 (2小丽在计算(2+)×(2+)×(2+×…×(24+)时利用了(1)中的公式： (2+1)×(22+1)×(2+)xx(24+1） =(2-1)x(2+1)×(22+1)×(2+1)×…x(24+1) (请你将最后结果补充完整) ③)仿照以上的结论和方法，计算：2+3+)×(3+×(3+××+) ◆题型9完全平方公式在几何图形中的应用 25.(26-27八年级上·河南南阳阶段检测)现有长与宽分别为a、b的小长方形若千个，用两个这样的小 长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： D S B S2 G a 图1 图2 图3 (I)根据图1，教材已给出关于a、b的关系式：一；根据图2，关于a、b的关系式可表示为： 根据上面的思路与方法，解决下列问题： (2)如图3，AB=12,点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形. ①若两正方形的面积和S+S2=80,求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为20，AC>BC,求BC-AC的值. 26.(26-27八年级上湖南衡阳阶段检测)阅读理解：若x满足(30-x(x-10)=160,求 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (30-x)2+x-10)2的值. 解：设30-x=a,x-10=b,则(30-x)(x-10)=ab=160,a+b=(30-x)+(x-10)=20, (30-x)2+x-10)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×160=80 解决问题： (①若x满足(2026-x)(x-2022)=3,则(2026-2+x-20222=-: (2若x满足41015-x}2+(2x-20202=58,求(2030-2x2x-2020)的值： (3)如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG摆放在一起(a>b)，其中B、C、G三点 在同一条直线上，若a2+b2=29,BG=7,求阴影部分面积 D 27.(26-27八年级上河南周口阶段检测)我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计 算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：(a+b°=2+2ab+b(如图1)· 图1 图2 图3 (1)观察图2，请你写出(a+b)2、(a-b)、ab之间的等量关系是 7 ②)若x+y=4,~y=4,且x>y,求x-y的值： (3)若(2026-m)2+(m-2025)}2=7,求(2026-m)(m-2025)的值： (④如图3，在△BCE中，∠BCE=90°，CE=8,点M在边BC上，CM=3,在边CE上取一点O,使 BM=EQ,分别以BC,CO为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPP,连接BO,若△BCO的面 21 积等于2，设BM=x(x>0）,求正方形ABCD和正方形COP的面积和。 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.下列各式计算正确的是() A.-6a2b2.(-3a2b）=-18ab B.-2x(3x2y-2xy)=-6x3y-4x2y c-名月 D.x+22=x2-4x+4 2.代数式4x2+x+4是完全平方式，则m等于（) A.8 B.8或-8 C.4 D.4或-4 3.若M-2x2-12x+15,N=x2-8x+11,则M与N的大小关系为() A.M≥N B.M>N C.MSN D.M<N 4.己知a,b是等腰三角形的两条边，且ab满足等式la-4+b-4h+4=0,则此等腰三角形的周长是 (). A.8或10 B.8 C.10 D.18 5.有两个正方形A、B,现将B放在A的内部得图甲，将A,B重新放置后，构造新的正方形得图乙.若 图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B,按如图丙摆放，则阴影 部分的面积为() A.94 B.77 C.78 D.79 二、填空题 6.填空：(4x-y)( )=16x2-y2 7.简便计算：20252-2023×2027= 8.若a2-b2=12,a+b=4,则b-a=_ 9.已知3x-2y=5,则代数式6m+(--(父+y门(-2x的值为， 10.如图，两个边长分别为a和b的正方形如图(1)放置，其未叠合部分（阴影）面积为5：若再在图 (1)中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图(2）)，两个小正方形叠合部分（阴影） 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积为S2.若a+b=9,ab=12,则S+S=一 a S 6 S2 b 图(1) 图(2) 三、解答题 11.计算： (①)(4ab-6a2b2+12ab2)÷2ab (2)(a-2b+3c)(a+2b-3c) (3)(3x-2y)2-(2x+3y月 12.先化简，再求值：[(2x-y+(2x+y2x-月-2y](2x),其中x=5,y=3. 13.先化简，再求值：[c-22-(x+3y)小(x-3y)+3y2]÷(4y),其中y=Vx-1+-x+2. 14.已知x=2-5,y=2+5,求下列式子的值： (1)x2+y2: (2)x2y2+xy+V5 15.先化简，再求值 1 (①)x(x+2y)-(x+1+2x,其中x=25,y=-25 ②[(2x+y2x-y)-(2x-3y]+(-2y),其中x=1,y=2. l6.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG拼在一起，其中a>b,B,C,E三点在同 直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为S,S2 D G C 图1 图2 (I)试通过计算说明，S的值与4的大小无关： (2)①S2= (用含a,b的代数式表示)； 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若a-b=2,a2+b2=7,则S2的值为 17.观察下列等式： 第1个等式：2×4-32=-1： 第2个等式：3×5-42=-1： 第3个等式：4×6-52=-1： 第4个等式：5×7-62=-1： … (1)写出第5个等式： (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示)，并证明. 18.如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形 状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）· 名 m n m 图① 图② (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为（用含m,”的式子表示）： (②)观察图②，写出代数式(m+n)',(m-nm)与mn之间的等量关系； (3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题： ①若m+n=7,mn=5,求(m-n的值： 。1)2 ②若a+-3,求a- 的值 a 19.【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开， 拼成图②的长方形. 6 图① 图② 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()由上面的拼图可以得到一个乘法公式： (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m-n=3,4m2=12+n2,则2m+n的值为 ②计算：2022-2023×2021 3)计算：(2+22+(2+(2+1(22+)+1的个位数字. 20.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题. >a- M D A H -a>b> 图1 图2 图3 ①如图1，将边长为a+b的正方形分割成四部分，则a2+b2=(a+b)2- ②用4个长和宽分别为a、b的长方形拼成如图2的正方形，则(a+b)=(a-b)+ 【阅读理解】“若x满足(70-xx-50)=30,求(70-x2+(x-502的值” 解：设70-x=a,x-50=b, 则(70-x)(x-50)=ab=30,a+b=(70-x)+(x-50)=20 (70-x)2+(x-50)2=a2+b2=(a+b2-2ab=202-2×30=340 【解决问题】 (1)若x满足(40-xx-30)=-20,则(40-x)2+(x-30)2的值为 (2)如图3，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH 和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.（结果必须是一个具体的数 值) 12/12