第21章 一元二次方程 知识清单 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第21章　一元二次方程　知识清单

依据上海教育出版社《义务教育教科书·数学》八年级上册（五·四学制）编写，供复习备考使用。

一、章知识概览

【学习内容】本章共五节：21.1 一元二次方程的概念；21.2 一元二次方程的解法（因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）；21.3 一元二次方程的判别式；21.4 一元二次方程的根与系数的关系；21.5 一元二次方程的应用（二次三项式的因式分解、列方程解应用题、可化为一元二次方程的分式方程）。

【考点地位】一元二次方程是初中代数的核心内容，上承整式、因式分解与分式，下启二次函数与一元二次不等式，也是高中方程、不等式与解析几何的基础。中考对本章的考查覆盖全面：概念与一般形式多以选择、填空出现，解法与判别式常单独命题，韦达定理多与代数式求值综合，应用题则以增长率、面积、销售利润为载体出现在解答题中。

【学习目标】①理解一元二次方程的概念，会把方程化成一般形式并指出各项系数；②掌握因式分解法、开平方法、配方法与求根公式法，能根据方程特点选择较简便的解法；③会用判别式判断方程根的情况，并由根的情况求字母范围；④掌握根与系数的关系，会不解方程求与两根有关的代数式的值；⑤能对二次三项式进行因式分解（Δ≥0）；⑥会列一元二次方程解增长率、面积、利润等实际问题，会解可化为一元二次方程的分式方程并验根。

【知识结构图】本章按“章→节→核心知识点”三层梳理，下表一图速查。

二、核心公式定理

【速查表】本章概念、公式与常用变形汇总如下，复习时以表代翻书。

三、考点知识梳理

（一）21.1 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程。概念包含三个条件：①整式方程，即分母中不含未知数；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是 2。三者缺一不可。

任何一个一元二次方程，去括号、移项、合并同类项后，都可以化成 一般形式 （a≠0）的形式。其中 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项，常数项不带未知数、要连同符号一起读。二次项系数 a≠0 是一元二次方程的“身份标志”，解题时最容易漏掉。

使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的根（也叫方程的解）。判断一个数是否为方程的根，只需把它代入原方程，看左右两边是否相等。如把 x＝﹣4 代入 ，得 16﹣8﹣8＝0，所以 ﹣4 是它的根；而把 x＝1 代入得 1+2﹣8＝﹣5≠0，所以 1 不是它的根。

把实际问题化为方程时，先设未知数，再用含未知数的式子表示各量。如长方形绿地面积为 1200 平方米、长比宽多 10 m，设宽为 x m，则长为（x+10）m，列出 ，整理得 。

（二）21.2 一元二次方程的解法

【因式分解法】由 AB＝0 必得 A＝0 或 B＝0，这是因式分解法的依据。步骤是：移项使右边为 0→把左边分解为两个一次因式的积→令每个因式分别为 0→解出两个一元一次方程。如 提取公因式得 ，所以 ，。