第19章 实数 知识清单 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第19章　实数　知识清单

依据上海教育出版社《义务教育教科书·数学》八年级上册（五·四学制）编写，供复习备考使用。

一、章知识概览

【学习内容】本章共两节：19.1 平方根与立方根；19.2 实数。主要学习算术平方根、平方根、立方根的概念与求法，无理数与实数的概念，实数与数轴的一一对应，实数的绝对值、大小比较与四则运算，以及科学记数法。

【考点地位】实数是“数与式”的基础，是二次根式、一元二次方程的直接前提。中考主要考查平方根与立方根的计算、无理数的辨识与估算、实数在数轴上的表示与大小比较、实数的混合运算（含零指数与负整数指数幂）。

【学习目标】①理解算术平方根、平方根、立方根的意义，会用符号表示并求值；②知道无理数与实数的概念，会用夹逼法估算无理数的大小；③理解实数与数轴上的点一一对应，会把实数标在数轴上；④会把有理数的绝对值、大小比较与运算法则推广到实数；⑤会用科学记数法表示较大或较小的数。

【知识结构图】本章按“章→节→核心知识点”三层梳理，下表一图速查。

二、核心公式定理

【速查表】本章概念与公式汇总如下，复习时以表代翻书。

三、考点知识梳理

（一）19.1 平方根与立方根

【算术平方根】如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 叫作 a 的算术平方根，a 的算术平方根记作 ，读作“根号 a”，a 叫作被开方数。规定 0 的算术平方根是 0，即 。

由定义可知，算术平方根有两个“非负”：被开方数 ，算术平方根 。所以 不可能等于负数，。

【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个数 x 叫作 a 的平方根，也称为二次方根。求一个数 a 的平方根的运算叫作开平方。

平方根的个数规律：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是它的算术平方根；0 的平方根是 0；负数没有平方根。正数 a 的两个平方根记作 。

【立方根】如果一个数 x 的立方等于 a，即 ，那么这个数 x 叫作 a 的立方根，也称为三次方根。求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方。

立方根的个数规律：任何实数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数，即 。

【小数点移动规律】被开方数的小数点向右或向左每移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或向左移动一位；被开方数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点相应地移动一位。

（二）19.2 实数

【有理数的小数形式】任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

【无理数】无限不循环小数叫作无理数，如 、、、π 等都是无理数。判断时要看小数形式，不能只看是否带根号。

【估算无理数】被开方数越大，对应的算术平方根越大，即若 ，则 。据此用夹逼法可确定 的范围：，得 ；再逐位比较可得更精确的范围。

【实数与数轴】有理数和无理数统称为实数。每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点也都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。

【绝对值与大小比较】一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。从数轴上看，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数大。

【实数的运算】有理数的运算法则、运算律可以推广到实数。含零指数、负整数指数幂的算式，先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的。