第20章 二次根式 知识清单 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第20章　二次根式　知识清单

依据上海教育出版社《义务教育教科书·数学》八年级上册（五·四学制）编写，供复习备考使用。

一、章知识概览

【学习内容】本章共两节：20.1 二次根式及其性质；20.2 二次根式的运算。主要学习二次根式的概念与有意义的条件、二次根式的四条性质、化简二次根式与最简二次根式、同类二次根式，以及二次根式的加减乘除与分母有理化。

【考点地位】二次根式是“实数”一章开方运算的延续，又是勾股定理计算、一元二次方程求根的直接工具，在“数与式”板块中起承上启下的作用。中考主要考查二次根式有意义的条件、化简与最简二次根式的判断、同类二次根式的合并、二次根式的四则运算与分母有理化、无理数的估值。

【学习目标】①理解二次根式的概念，会求使二次根式有意义的字母取值范围；②掌握二次根式的四条性质，能据此进行化简；③会把二次根式化成最简二次根式，能判断两个根式是否同类；④会进行二次根式的加减乘除运算，掌握分母有理化的方法；⑤会用二次根式解决简单的几何与实际应用问题。

【知识结构图】本章按“章→节→核心知识点”三层梳理，下表一图速查。

二、核心公式定理

【速查表】本章概念、性质与运算法则汇总如下，复习时以表代翻书。

三、考点知识梳理

（一）20.1 二次根式及其性质

【二次根式】形如 的代数式（其中 a 为有理式），叫作二次根式。在实数范围内，负数没有平方根，所以 有意义的条件是 a≥0，即被开方数不能为负。

求字母取值范围时抓住一条主线：被开方数非负。如 须 ，得 ； 因 恒成立，故 x 可取任意实数。

【性质1】（a≥0）。因为 表示 a 的算术平方根，所以它的平方等于 a。

【性质2】。 是 的算术平方根，是一个非负数，而 a 可能为负数，故二者不一定相等。当 a≥0 时 ；当 a＜0 时 。如 ，因为 π＞3。

【性质3】（a≥0，b≥0）。性质4：（a≥0，b＞0）。据此可把根号内的积、商拆开或合并，如实数运算中的 ，。

【化简二次根式】把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母，这个过程称为化简二次根式。被开方数含分母时，分子、分母同乘一个适当的代数式，使分母变为完全平方式，再把分母移到根号外。

【最简二次根式】化简后满足两个条件的二次根式叫作最简二次根式：①被开方数中各因式的指数都为 1；②被开方数不含分母。二次根式的运算结果，一般都要化成最简二次根式。

常用化简结果：；（a≥0）；，当 x≥0 时为 ；；（x＞0）。

（二）20.2 二次根式的运算

【同类二次根式】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。如 与 是同类二次根式；而 与 不是。