第20章 二次根式（知识清单）数学沪教版五四制2024八年级上册

第20章 二次根式 知识点01：二次根式的概念 二次根式的定义：形如 的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 知识点02：二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 知识点03：二次根式的性质 性质1： 性质2： 性质3： 性质4： ． 知识点04：化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 知识点1：最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为 ; (2)被开方数不含 . 知识点2：同类二次根式 几个二次根式化为 后，如果被开方数 ，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 要点归纳： （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点3：合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 要点归纳： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 知识点01：二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把 的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 知识点02：二次根式的乘法和除法 二次根式相乘： ； 二次根式相除： 知识点03：分母有理化 1.分母有理化：把分母中的 化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的 不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为 。 易错点01：忽略二次根式的非负性 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）化简 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数满足，那么 ． 5．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）化简： ． 6．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 7．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 易错点02：二次根式有意义的条件判断错误 8．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）使有意义的的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）若有意义，则x的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 易错点03：化简不彻底 14．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 15．化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 16．化简： (1) (2) (3) (4) 易错点04：运算顺序与符号错误 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式： (1) (2) 18.下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 ………………第四步 ………………第五步 (1)在，，，这四个数中，是最简二次根式的是__________； (2)以上第一步的化简中由“”化为“”的依据是__________； (3)第__________步开始出现错误，该式的正确结果为__________． 易错点05：合并同类二次根式错误 19．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 20．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 21．（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 22．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 易错点06：忽略分母有理化的方法 23．（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 24．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集是 25．（24-25八年级上·上海·期中）计算 26．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： 27．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 28．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 29．（24-25八年级上·上海普陀·期末）计算：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简二次根式，结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在下列式子中等号能成立的式子共有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）下列结论中正确的个数是（      ） ①；     ②是最简二次根式；     ③和不是同类二次根式； ④的有理化因式是；     ⑤不等式的解集是； ⑥将保留两个有效数字，可表示为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值 ． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期中）是二次根式，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 ． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）化简： ． 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化： ． 14．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 15．（22-23八年级上·上海·期中）计算： ． 16．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简：． 20．（24-25八年级上·上海·期末）计算： 21．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）计算：． 22．（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：． 23．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）计算：． 24．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 25．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 26．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 二次根式 知识点01：二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 知识点02：二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 知识点03：二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 知识点04：化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 知识点1：最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 知识点2：同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 要点归纳： （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点3：合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 要点归纳： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式 知识点01：二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 知识点02：二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 知识点03：分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 易错点01：忽略二次根式的非负性 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）化简 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数满足，那么 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，关键是依据题意，弄清的取值范围，体现了分类讨论思想．实数满足，分三种情况讨论，①②③，看哪个符合题意，然后把符合题意的代入，即可解答． 【详解】解：实数满足， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， ． 故答案为． 5．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质、是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可，注意这里字母a只能取非正数． 【详解】解：由题意知，， ； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次函数的性质以及求解即可． 【详解】解：由题意，，则 ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 根据二次根式的性质列出不等式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 故答案为：． 易错点02：二次根式有意义的条件判断错误 8．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵x是整数， ∴或4或5， 原式或1， 故选：C． 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是理解二次根式有意义的条件：被开方数非负．根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：若有意义， 则有，解得． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，分式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件是解此题的关键，注意：中．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出，再求出答案即可． 【详解】解：使代数式有意义，必须满足， 解得． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， 则， 总小于0， ， ， 故答案为：． 易错点03：化简不彻底 14．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 【详解】（1） （2） （3） （4） 15．化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分； （2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去； 【详解】（1）原式． （2）原式． 16．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则以及性质． 易错点04：运算顺序与符号错误 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18.下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 ………………第四步 ………………第五步 (1)在，，，这四个数中，是最简二次根式的是__________； (2)以上第一步的化简中由“”化为“”的依据是__________； (3)第__________步开始出现错误，该式的正确结果为__________． 【答案】(1) (2)二次根式的除法法则 (3)二； 【知识点】二次根式的混合运算、最简二次根式的判断、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、最简二次根式、算术平方根的性质，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据最简二次根式的定义“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”即可得； （2）根据二次根式的除法法则即可得； （3）第二步计算二次根式的除法时出现错误；先化简二次根式，再计算括号内的二次根式减法，然后计算二次根式的除法，最后计算二次根式的加法即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在，，，这四个数中，是最简二次根式的是， 故答案为：． （2）解：以上第一步的化简中由“”化为“”的依据是二次根式的除法法则， 故答案为：二次根式的除法法则． （3）解：第二步计算二次根式的除法时出现错误． 正确的计算过程如下： ． 故答案为：二；． 易错点05：合并同类二次根式错误 19．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减运算，化简后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 20．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 21．（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 22．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 易错点06：忽略分母有理化的方法 23．（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 24．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集是 【答案】 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 25．（24-25八年级上·上海·期中）计算 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的减法计算，先分别把减号前后两个式子分母有理化，再根据二次根式的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 26．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】4 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据分母有理化，二次根式的乘法、二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 27．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 28．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简各项，再算加减即可． 【详解】解： ． 29．（24-25八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式是加减运算，二次根式的乘除运算，进行解答，即可． 【详解】解： ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽的因式，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，根据二次根式性质，结合，，逐项进行化简，然后得出答案即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴无意义，故A错误； B．∵，， ∴，故B正确； C．∵，， ∴，故C错误； D．∵，， ∴，故D错误． 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简二次根式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，由二次根式的性质可得：，从而有，即，再化简得出结果． 【详解】解：∵，， ，得， ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在下列式子中等号能成立的式子共有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，二次根式的性质．根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质化简，逐项判断即可． 【详解】解：①，不成立； ②，不成立； ③，不成立； ④不能合并，不成立； ⑤是最简二次根式，不能化简，不成立； 故成立的个数为0个， 故选：A． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）下列结论中正确的个数是（      ） ①；     ②是最简二次根式；     ③和不是同类二次根式； ④的有理化因式是；     ⑤不等式的解集是； ⑥将保留两个有效数字，可表示为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，判断①，最简二次根式的定义，判断②，同类二次根式的定义，判断③，分母有理化，判断④，解不等式，分母有理化判断⑤，求一个数的近似数，判断⑥． 【详解】解：；故①错误； 是最简二次根式，故②正确； ，，故和不是同类二次根式，故③正确； 的有理化因式是；故④错误； 不等式的解集是；故⑤错误； 将保留两个有效数字，可表示为；故⑥错误； 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式，分母有理化，解不等式，求一个数的近似数等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算是解答的关键．先由已知条件判定出a、b的符号，再根据二次根式的性质化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，且， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期中）是二次根式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，即得． 【详解】∵是二次根式， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质及混合运算，利用二次根式的性质，结合完全平方公式化简原式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化和求不等式解集，解题关键熟练掌握分母有理化方法，准确进行计算； 先移项、合并同类项，再系数化为1即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，由即可化简． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，分子分母同乘计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，逆用积的乘方公式是解题的关键．逆用积的乘方公式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 16．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，完全平方公式的应用，先利用分母有理化得出，再将分式化简，代入求解即可． 【详解】解：， ， 将代入，原式． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，先利用二次根式乘法及完全平方式展开，再合并同类项，即可求解；掌握（，），是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．（24-25八年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算括号内的二次根式的加减法，然后计算二次根式的除法与乘法即可得． 【详解】解： ． 21．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 22．（24-25八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据完全平方公式，分母有理化和二次根式的性质将原式化简，再进行合并即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． ． ． 23．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，正确进行计算是解题的关键；依次化简前面三个二次根式，最后一个进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 24．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先分母有理化和计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 25．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 26．（24-25八年级上·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$