第19章 实数（知识清单）数学沪教版五四制2024八年级上册

第19章 实数 一、平方根 1.算术平方根 一般地，如果一个 x的平方等于a，即x²=a，那么这个 x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”.a 叫作被开方数。 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为 。 2.算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小) ()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动 . 3.平方根 一般地，如果 x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作 ，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用 表示，其中 表示的正平方根（即算术平方根）， 表示的负平方根，读作 ．0的平方根记为 。 4.平方根的性质 有两个平方根，它们互为相反数; 的平方根是0; 没有平方根. 二、立方根 1.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作 .例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用 表示。 2.立方根的性质 正数的立方根为 ，的立方根为 ，负数的立方根为 。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小) 倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动 三、实数的分类 1.有理数的小数形式 可以把 看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成 的形式。反过来， 也都是有理数. 有理数必为 ;反过来， 必为有理数. 2.无理数 又叫无理数. 特别提醒： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 3.实数与数轴 （1）实数的概念与分类 统称为实数.有理数为 ，无理数为 .不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为 （2）实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 特别提醒： 都可以用数轴上的点表示，而且这些点是 的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 ．数轴上的点与实数 。 4.实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 四、实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 五、科学记数法 把一个数表示成 (1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 一、概念理解易错点 1. 有理数与无理数的区分错误 易错点：混淆无限小数与无理数的定义，认为 “无限小数都是无理数”。 2. 平方根与算术平方根混淆 易错点：忽略平方根的正负性，将平方根等同于算术平方根 3. 无理数的形式认知偏差 易错点：认为带根号的数都是无理数，或无理数只能用根号表示。 二、运算过程易错点 1. 根号运算符号错误 易错点：负数开偶次根号时忽略无意义性，或化简时符号处理错误。 2.实数混合运算顺序混乱 易错点：忽略运算优先级（乘方、开方＞乘除＞加减），或符号处理失误。 三、性质应用易错点 1. 实数与数轴对应关系误解 易错点：认为数轴上的点只能表示有理数，或无理数无法在数轴上精确表示。 2. 相反数、绝对值、倒数的概念混淆 易错点：绝对值化简时符号错误：|π-3 | 错写为 3-π（正确应为 π-3，因 π＞3）。 3. 实数大小比较错误 易错点：带根号的数比较时未统一形式，或忽略负数比较规则。 三、科学记数法应用易错点 1. 科学计数法与有效数字错误 易错点：科学计数法中指数计算错误：36000 错写成 36×10³（正确应为 3.6×10⁴）； 有效数字位数判断错误：0.00508 的有效数字是 5、0、8，共 3 位（从左边第一个非 0 数字起）。 2. 对无理数近似值的精度误用 易错点：计算时近似值精度不足或误用，导致结果错误 易错点01有理数与无理数区分 1．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）下列实数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期末）在 ， ，，，   中，有理数的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是 ． 易错点02平方根与算数平方根 4.的算术平方根是 ． 5.的算术平方根是 ． 6.的平方根是 ． 7.的平方根是 ． 易错点03实数运算 8．（23-24七年级下·上海松江·期中）求的值：． 9．（22-23七年级下·上海宝山·期末）计算：． 10.计算或求下列式子中的； (1)； (2)． 11.计算：． 12.化简求值： 已知是的整数部分，，求的平方根． 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 易错点04 实数性质 13．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）估算的值是在（    ） A．0和1之间 B． 和0之间 C． 和之间 D． 和之间 14．（22-23七年级下·上海黄浦·期中）数轴上表示数和的两点之间的距离为 ． 15.的平方根是 ；的相反数是 ；的倒数是 ． 16.化简： ． 17.比较： 18（22-23七年级下·上海青浦·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）若a、b均为正整数，当时，我们称b是的“整值”， 则的整值是 ． 20.如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 21．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 22.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 23．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 24．（上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 易错点05 科学记数法与有效数字应用 25.近年来，国产动画强势崛起，《哪吒之魔童降世》成为现象级作品，其票房一路高歌猛进，已斩获15600000000元佳绩．数据15600000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 26.2025年3月，中国科学院物理研究所的科研团队成功研制出了单原子层金属，成为全球首个成功制备大面积二维金属材料的团队，其厚度大约为0.35纳米（1纳米米）．那么0.35纳米用科学记数法表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 27．某国产芯片上某种电子元件大约占，将用科学记数法表示为，则n的值为（   ） A． B． C． D．7 28.长城总长约为6700010米，用科学记数法表示约为（保留两个有效数字）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 29．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ． 30．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，，则 （精确到0.01）． 31.小兰同学参加了“大美赣州，醉美欧潭”的绘画比赛．她在一张面积为的正方形图纸上绘了《翠浪塔》打算投稿，现有一个长方形信封，长、宽之比为，面积为． (1)小兰的绘画作品的边长为______． (2)小兰能将作品不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． (3)已知，，请你计算长方形信封的长．（结果精确到0.01） 32.完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数 一、平方根 1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a 的算术平方根.a 的算术平方根记为“”，读作“根号 a”.a 叫作被开方数。 因为0的平方是0，所以规定0的算术平方根是0，记为=0. 2.算术平方根性质 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 3.平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. 求一个数a的平方根的运算叫作开平方，例如，求64的平方根，就是要对 64 进行开平方运算，64是被开方数. 正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0. 4.平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 二、立方根 1.立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数 求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对 64 进行开立方运算，64是被开方数. 一个数a的立方根用“”表示。 2.立方根的性质 正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位 三、实数的分类 1.有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无理数 无限不循环小数又叫无理数. 特别提醒： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 3.实数与数轴 （1）实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 （2）实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 特别提醒： 每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 4.实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 四、实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 五、科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 一、概念理解易错点 1. 有理数与无理数的区分错误 易错点：混淆无限小数与无理数的定义，认为 “无限小数都是无理数”。 2. 平方根与算术平方根混淆 易错点：忽略平方根的正负性，将平方根等同于算术平方根 3. 无理数的形式认知偏差 易错点：认为带根号的数都是无理数，或无理数只能用根号表示。 二、运算过程易错点 1. 根号运算符号错误 易错点：负数开偶次根号时忽略无意义性，或化简时符号处理错误。 2.实数混合运算顺序混乱 易错点：忽略运算优先级（乘方、开方＞乘除＞加减），或符号处理失误。 三、性质应用易错点 1. 实数与数轴对应关系误解 易错点：认为数轴上的点只能表示有理数，或无理数无法在数轴上精确表示。 2. 相反数、绝对值、倒数的概念混淆 易错点：绝对值化简时符号错误：|π-3 | 错写为 3-π（正确应为 π-3，因 π＞3）。 3. 实数大小比较错误 易错点：带根号的数比较时未统一形式，或忽略负数比较规则。 三、科学记数法应用易错点 1. 科学计数法与有效数字错误 易错点：科学计数法中指数计算错误：36000 错写成 36×10³（正确应为 3.6×10⁴）； 有效数字位数判断错误：0.00508 的有效数字是 5、0、8，共 3 位（从左边第一个非 0 数字起）。 2. 对无理数近似值的精度误用 易错点：计算时近似值精度不足或误用，导致结果错误 易错点01有理数与无理数区分 1．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）下列实数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的定义，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：0．2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0）；③含有的数，如：． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期末）在 ， ，，，   中，有理数的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的概念，有理数可分为整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数，根据分类对题目中的实数进行化简判断即可． 【详解】解：为无理数， 是分数，为有理数； 是有限小数，为有理数； 为无理数，故是无理数； ，为无理数； ∴和是有理数， 故选：B． 3．下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是 ． 【答案】2个 【知识点】无理数 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数． 【详解】解：=1，=1，=2， 所以无理数有：、0.1010010001…，共2个． 故答案为2个． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 易错点02平方根与算数平方根 4.的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 5.的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算，再求的算术平方根，即可求解． 【详解】解： 5的算术平方根是. 故答案为：. 6.的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查求平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据平方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 7.的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的计算方法进行计算即可得出答案．熟练掌握算术平方根和平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为：． 易错点03实数运算 8．（23-24七年级下·上海松江·期中）求的值：． 【答案】，． 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根解方程，方程两边除以，得到，再根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即，， ∴，． 9．（22-23七年级下·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，准确计算． 10.计算或求下列式子中的； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． （2）首先求出，然后根据立方根的含义和求法，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 则， ． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根，解题的关键是掌握利用立方根来求解方程． 11.计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 12.化简求值： 已知是的整数部分，，求的平方根． 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1. 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、无理数整数部分的有关计算 【详解】分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整数部分a的值；由于=3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可． 详解：（1）∵3＜＜4，∴a=3． ∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3； （2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b| =a+1+2（b﹣1）+（a﹣b） =a+1+2b﹣2+a﹣b =2a+b﹣1． 点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键． 易错点04 实数性质 13．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）估算的值是在（    ） A．0和1之间 B． 和0之间 C． 和之间 D． 和之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算出的值，再求解、辨别． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识进行估算、求解． 14．（22-23七年级下·上海黄浦·期中）数轴上表示数和的两点之间的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质、实数与数轴 【分析】利用两点间的距离公式，右边的数减去左边的数即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是理解两点间的距离就是右边的数减去左边的数． 15.的平方根是 ；的相反数是 ；的倒数是 ． 【答案】 ±2； ； ． 【知识点】求一个数的平方根、实数的性质 【分析】先化简，再求其平方根；数值相同符号相反的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此作答即可． 【详解】∵，4的平方根为±2， ∴的平方根为±2； 的相反数是； 的倒数是． 故答案为：±2，，． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根、相反数以及倒数的知识．掌握平方根、相反数以及倒数的定义是解题的关键． 16.化简： ． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、无理数的大小估算 【详解】本题考查了无理数的估算，化简绝对值，掌握无理数的估算方法是解题关键．估算出，得到，再根据绝对值的性质化简，即可求解． 【分析】解：， ， ， ． 故答案为：． 17.比较： 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 18（22-23七年级下·上海青浦·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据，即，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）若a、b均为正整数，当时，我们称b是的“整值”， 则的整值是 ． 【答案】6 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查根数的估算，根据夹逼法求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整值是， 故答案为：． 20.如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为 ． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 【答案】32400 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值． 【详解】解：∵＝180，且＝1.8， ∴＝180， ∴a＝32400， 故答案为：32400． 【点睛】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键． 21．填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … … （1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？ （2）根据这个规律，若已知，求a的值． 【答案】填表见解析；（1）见解析；（2） 【知识点】立方根的实际应用 【分析】（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答； （2）根据（1）总结的规律解答． 【详解】 a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … （1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位， ∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到． 【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 22.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 23．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 24．（上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【知识点】无理数的大小估算 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 易错点05 科学记数法与有效数字应用 25.近年来，国产动画强势崛起，《哪吒之魔童降世》成为现象级作品，其票房一路高歌猛进，已斩获15600000000元佳绩．数据15600000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：数据15600000000用科学记数法表示为， 故选：B 26.2025年3月，中国科学院物理研究所的科研团队成功研制出了单原子层金属，成为全球首个成功制备大面积二维金属材料的团队，其厚度大约为0.35纳米（1纳米米）．那么0.35纳米用科学记数法表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：0.35纳米米． 故选：D． 27．某国产芯片上某种电子元件大约占，将用科学记数法表示为，则n的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的数用科学记数法表示一般形式为，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 即n的值为． 故选：C 28.长城总长约为6700010米，用科学记数法表示约为（保留两个有效数字）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数．一般形式为，其中，指数由原整数位数减1；保留几位有效数字，从左边起第一个不为零的数字数够需要的数字，把下一位四舍五入．据此求解即可． 【详解】解：将6700010米用科学记数法表示米， 保留两个有效数字为米， 故选：B 29．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．也考查了有效数字． 【详解】解： 故答案为：． 30．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，，则 （精确到0.01）． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、无理数的大小估算 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】 ； 故答案为：． 31.小兰同学参加了“大美赣州，醉美欧潭”的绘画比赛．她在一张面积为的正方形图纸上绘了《翠浪塔》打算投稿，现有一个长方形信封，长、宽之比为，面积为． (1)小兰的绘画作品的边长为______． (2)小兰能将作品不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． (3)已知，，请你计算长方形信封的长．（结果精确到0.01） 【答案】(1)16 (2)小兰能将这张贺卡不折叠就放入此信封 (3)长方形信封的长约为 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，实数比较大小，熟知算术平方根的计算方法是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长方形信封的长和宽，再比较出长方形信封的宽与正方形边长的大小关系即可得到答案； （3）根据，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形图纸的面积为， ∴这个正方形图纸的边长为，即小兰的绘画作品的边长为； （2）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ， ，， ， ， ， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小兰能将这张贺卡不折叠就放入此信封． （3）解：∵， ∴， ， ∴长方形信封的长约为． 32.完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$