第十九章 实数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 初中数学第十九章实数单元强化卷，90分钟100分，通过基础巩固、能力提升、创新应用的分层设计，覆盖实数核心知识，适配单元复习，体现抽象能力、运算能力与应用意识的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|有理数无理数判断、立方根平方根、科学记数法|结合2026春晚观众人次考科学记数法，体现时代性| |填空题|12/36|平方根计算、数轴化简、图形与实数结合|以灵宝剪纸图形考实数表示，融合文化传承| |解答题|7/52|新定义“完美组合数”、图形翻滚与数轴综合|设计“完美组合数”探究及正方形翻滚数轴问题，培养创新意识与几何直观|

第十九章 实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列实数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 3．2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 5．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 6．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的平方根是______． 8．比较大小：___________9． 9．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 10．已知，那么的值约为_____． 11．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 12．与最接近的整数是______． 13．已知是两个连续整数，若，则___________． 14．若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 15．规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 16．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 17．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． 18．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算：． 20． 解方程： 21．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 22．若是有理数，且满足，求的算术平方根． 23．灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 25．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C C B C 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7． 8． 9． 10． 11．1 12．8 13． 14． 15．2 16．/ 17．/ 18．141 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．【答案】 【详解】解： ． 20．【答案】或 【详解】解： 或 或 所以原方程的解为或. 21．【答案】 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 22．【答案】 【详解】解：原方程为， 展开并整理得， ∵x，y是有理数， ∴有理部分和无理部分系数分别相等， 即，， 由，得， 代入，得， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为． 23．【答案】(1)厘米 (2)解：不能剪出想要的圆形纸片，理由如下： 设圆的半径为厘米， 则， 则， ∵ ∴直径大于厘米，此时直径大于长方形的宽， ∴不能剪出想要的圆形纸片． 【详解】（1）解：由题意设长方形彩纸的长为厘米，宽为厘米， 则， 解得：或（舍）， ∴长为（厘米），宽为（厘米）， ∴周长为：（厘米） （2）略 24．【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【详解】（1）解：∵，， ， ∴是一组“完美组合数”； （2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这三个数中有两个数的乘积为， ∵这三个数互不相等，且， ∴， ∴． 25．【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列实数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，有理数包含整数与分数，无理数是无限不循环小数，据此对各选项判断即可． 【详解】解：是无理数，和是开方开不尽的数，属于无理数， 是分数，属于有理数，只有选项B符合题意． 2．下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 【答案】D 【详解】解：选项A：，的立方根是，A错误； 选项B：表示16的算术平方根，结果为，即，B错误； 选项C：，的平方根是，C错误； 选项D：，的算术平方根是，的算术平方根是，D正确． 3．2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 科学记数法中，的值等于原数的整数位数减1， ∴原数是9位整数，可得，， ∴ 4．在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数；分别对各数判断是否是无理数即可． 【详解】解：4是整数，属于有理数；，是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，而是无理数，是无理数． 所以无理数是， 故选：C． 5．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 6．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键． 根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故选项B正确，不符合题意． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的x的整数值为2、3、4，它们的和为，故选项C错误，符合题意． 设第3次运算的数为x，则， ∴，即； 第2次运算的数为y，则， ∴， ∵， ∴取，则； 第1次运算的数为a，则， ∴，取，则， ∴a的最大值为255，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的平方根是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 8．比较大小：___________9． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可解答，熟知（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 10．已知，那么的值约为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质以及二次根式的化简，熟练掌握被开方数的小数点移动与算术平方根小数点移动的关系是解题的关键．本题可先将变形为与已知相关的形式，再利用算术平方根的性质和已知近似值进行计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 11．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 12．与最接近的整数是______． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． 13．已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及算术平方根，熟练掌握无理数的估算及算术平方根是解题的关键；首先估算的取值范围，由于，因此，即，从而确定连续整数，；然后计算，并化简为，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 14．若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 15．规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【答案】2 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．根据题目先判断的整数部分，再根据加减法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 16．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 17．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． 【答案】/ 【详解】解：由图可得正方形的边长为，即到点表示的数的距离为， ∴点表示的数为. 18．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算，先计算算术平方根、开立方和绝对值，后计算加减． 【详解】解： ． 20．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，由题意得，推出，即可求解. 【详解】解： 或 或 所以原方程的解为或. 21．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，最后根据平方根的概念即可得出答案． 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 22．若是有理数，且满足，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算．由于x和y是有理数，方程中含有无理数，因此将方程按有理部分和无理部分拆分，得到两个方程分别求解出，，代入计算，进而求其算术平方根即可． 【详解】解：原方程为， 展开并整理得， ∵x，y是有理数， ∴有理部分和无理部分系数分别相等， 即，， 由，得， 代入，得， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为． 23．灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)厘米 (2) 解：不能剪出想要的圆形纸片，理由如下： 设圆的半径为厘米， 则， 则， ∵ ∴直径大于厘米，此时直径大于长方形的宽， ∴不能剪出想要的圆形纸片． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算等知识点． （1）由题意设长方形彩纸的长为，宽为，根据长方形面积公式列方程，然后根据平方根的性质解方程求出，再求出长和宽即可求解周长； （2）设圆的半径为，则，利用平方根的性质解方程求出半径，在求出直径与长方形的宽比较即可． 【详解】（1）解：由题意设长方形彩纸的长为厘米，宽为厘米， 则， 解得：或（舍）， ∴长为（厘米），宽为（厘米）， ∴周长为：（厘米） （2）略 24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，只要三个负数的绝对值都是一个完全平方数即可满足这三个数是一组“完美组合数”，据此求解即可； （2）根据算术平方根的定义可得这三个数中有两个数的乘积为144，再根据这三个数互不相同可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴是一组“完美组合数”； （2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这三个数中有两个数的乘积为， ∵这三个数互不相等，且， ∴， ∴． 25．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $