培优专题02 整式的乘法2考点15题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册
|
2份
|
77页
|
5人阅读
|
0人下载
内容正文：
专题02 整式的乘法
常考题型·精准突破
考点一 整式的乘法
题型1 单项式乘法
题型2 多项式乘法
题型3 整式乘法中的字母求值
题型4 整式乘法的实际应用
题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（高频）
题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（高频）
题型7 多项式乘法中无关型问题（几何类）（难）
题型8 多项式乘法的化简求值（高频）
题型9 多项式乘多项式与图形面积（高频）
题型10 多项式乘法中的规律性问题（难）
题型11 整式乘法中的新定义运算（难）
题型12 整式乘法中的整体性思维（难）
考点二 整式的除法
题型1 单项式除以单项式
题型2 多项式除以单项式
题型3 整式四则混合运算
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 整式的乘法
◆题型1 单项式乘法
1．（26-27七年级上·上海虹口·期中）计算：．
【答案】
【分析】先算单项式乘以单项式，再进行整式的加减运算即可．
【详解】解：．
2．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么________．
【答案】
【分析】先根据单项式的乘法法则化简等式左边，再根据等式两边相同底数的幂的指数相等，列出二元一次方程组，求解得到和的值后计算乘积．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
4．（26-27八年级上·吉林·期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算，然后计算加法时合并同类项即可．
（2）先计算和，利用整式运算法则直接计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴，
∴．
（2）解：，，
∴，，
．
◆题型2 多项式乘法
5．（26-27八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项，然后把代入到化简后的结果中计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
6．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值．
【答案】，
【详解】解：
，
因为展开式中不含项和x项，
所以，，
所以，．
7．（2026七年级上·上海·专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】原式通过计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号合并同类项即可得到结果.
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
8．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲、乙的错误分别写出对应的整式乘法算式，利用多项式相等时对应项系数相等列方程，联立求解，的值；
（2）将，的值代入原式计算，得到正确的整式乘法结果．
【详解】（1）解：∵甲抄错的符号，
∴甲计算的整式为，
，
∵甲的结果为，
∴①，
∵乙漏抄第二个多项式的系数，即第二个多项式变为，
∴乙计算的整式为，
，
∵乙的结果为，
∴②，
②①得：，
解得，
将代入②得，
解得，
∴；
（2）解：将，代入原式，
．
◆题型3 整式乘法中的字母求值
9．（23-24六年级下·山东青岛·阶段检测）已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：，
∵与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式．
10．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读：已知，求的值．
分析：由于，的取值较多，不能逐一代入，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
，
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值．
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】将所求代数式展开，整理为含的幂的形式，整体代入计算；
由已知等式推出，将所求代数式降次后整体代入求值．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴原式
；
（2）解：∵，
∴
将代入，得
原式
．
11．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值．
【答案】2
【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案．
【详解】解：，
∵恒成立，
∴恒成立，
即：恒成立，
∴，，，
解得：，，，
∴
．
12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）设实数满足，若，则的值为（ ）
A． B．14 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意，设，
，
，
，，，
，
故选：B．
◆题型4 整式乘法的实际应用
13．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上（）．
(1)用、表示阴影部分的面积；
(2)计算当，时，阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据阴影部分的面积为两个直角三角形的面积之和，即可求解；
（2）把，代入（1）中的结果，即可求解．
【详解】（1）解：，
即阴影部分的面积为；
（2）解：当，时，
14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在学习了“整式的乘法“相关内容后，创新学习小组的同学进行了下面的数学研究活动．如图所示的是高度相同的两个长方体铆件甲和乙，已知甲长方体底面的长比宽多4，乙长方体底面的长比宽多2，且两个底面的周长相等（甲、乙长方体的底面宽分别为a，n，高为h）．
(1)甲长方体底面的长为__________，乙长方体底面的长为__________．（分别用含a，n的代数式表示）
(2)用含n的代数式表示a．
(3)哪个长方体的体积大？请判断并说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)解：乙长方体的体积大，理由如下：
甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，
，
∴甲长方体的体积小于乙长方体的体积，即乙长方体的体积大．
【分析】（1）根据甲长方体底面的长比宽多4，乙长方体底面的长比宽多2可得答案；
（2）根据两个长方体的底面的周长相等建立等式求解即可；
（3）分别求出两个长方体的体积，再利用作差法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，甲长方体底面的长为，乙长方体底面的长为；
（2）解：∵两个长方体的底面的周长相等，
∴，
∴；
（3）略
15．（25-26七年级下·山西太原·期中）为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形．
(1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）．
(2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）．
【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积
(2)元
【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可；
（2）结合（1）中所求结果列式计算即可．
【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积
．
文化体验区的面积
．
绿化休息区的面积．
（2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用
元．
16．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或
(1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________；
(2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值；
(3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答；
（2）利用（1）的结论求解即可；
（3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答．
【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为，
所以．
（2）解：设，则
，
，
∵，
∴ ，
解得：．
（3）解：由图可知：，
设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为；
长方形的长为 ，宽为；
∴长方形的面积为，长方形的面积为，
∴长方形面积与长方形的面积差为，即．
◆题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（高频）
17．（25-26七年级下·重庆·期末）若，则的值为________．
【答案】2
【分析】利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算的值．
【详解】解：将等式左边展开得，
由题意得，
根据多项式相等对应项系数相等，可得，
解方程组得，
则．
18．（25-26八年级下·四川成都·期中）若等式恒成立，则______ ．
【答案】
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据已知条件列出关于，的方程，解方程求出，，然后求出答案即可．
【详解】解：
，
∵恒成立，
即恒成立，
∴，，
解得：，，
∴．
19．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．
例如：对于多项式，，，，因为
所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为．
任务：
(1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子；
(2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值．
【答案】(1)
(2)或或．
【分析】（1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子；
（2）根据定义先计算多项式的乘法运算，再分类讨论的值即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
，
所以平衡因子是；
（2）解：∵①，，
②，，
③，，
∵多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，
当是一组平衡多项式时，
∴，解得：，
当是一组平衡多项式时
，
∴，解得，
当是一组平衡多项式时
，
∴，解得：，
综上：或或．
20．（20-21七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题：
(1)计算：①_____；
②______；
③_____．
(2)总结公式：_____．
(3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果：
①______；②______；
(4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______．
【答案】(1)①；②； ③；
(2)；
(3)①；②
(4)7或或5或
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
（1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子；
（2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式；
（3）利用（2）总结的公式直接计算；
（4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值．
【详解】（1）解：①
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
③
；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：①
；
②
；
（4）解：因为，
所以，．
因为，均为整数，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
所以的所有可能值为7或或5或．
◆题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（高频）
21．（2026八年级上·全国·专题练习）一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________．
【答案】
【分析】根据长方形面积公式得到两个多项式的乘积，展开合并同类项后，利用不含一次项即一次项系数为，列方程求解．
【详解】解：∵长方形的长为，宽为，
∴长方形面积为，
∵面积中不含x的一次项，
∴x的一次项的系数为0，即，
解得．
22．（26-27七年级上·上海虹口·期中）已知整式、满足，．
(1)当时，；当时，求的值；
(2)如果的结果不含的一次项，用含的式子表示的二次项系数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用时，可求出的值，再将代入求A值即可；
（2）先展开并合并同类项，根据不含一次项可得一次项系数为0，推导p与q的关系，再代入二次项系数化简即可．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，即，
当时，．
（2）解：
，
∵的结果不含的一次项，
∴，即，
将代入二次项系数，即x的二次项系数为．
23．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若关于x的代数式：的展开式中，含x的二次项系数为1且不含x的一次项，求a、b的值．
【答案】，
【分析】先化简得出，再根据的展开式中，含x的二次项系数为1且不含x的一次项，列出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】解：
，
∵的展开式中，含x的二次项系数为1且不含x的一次项，
∴，
解得：．
24．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）根据以下素材，完成下列任务：
素材
在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为，即原式，其中，则．
素材
多项式与多项式相乘后，若积中指定次数项不出现（说明合并后该项系数为）．若积中指定项系数为给定数值，同样依靠合并同类项，根据系数条件列方程求解．
问题解决
(1)任务：特例求解
当________，________时，关于的多项式不含项和项．
(2)任务：探究关系
已知，且的值与的取值无关，求的值．
(3)任务：进阶探究
已知二次三项式与多项式（、为常数）相乘．积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值．
(4)拓展应用
月崇明金沙橘正当上市，上海某鲜果门店计划购进甲、乙两种橘子礼盒共盒进行销售，甲种金沙橘礼盒每盒进价元，每盒售价元；乙种普通蜜橘礼盒每盒进价元，销售利润率为．购进礼盒后，门店决定：每售出一盒甲种金沙橘礼盒，返还顾客现金元，乙种礼盒售价不变．设购进甲种金沙橘礼盒盒，当该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
(4)
【分析】（1）根据项和项的系数为，即可解答；
（2）化简，再让的系数为，即可解答；
（3）将乘积化简，根据积中不出现二次项，且一次项系数为，列二元一次方程即可解答；
（4）表示出利润，再根据该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时，求得的值即可．
【详解】（1）解：关于的多项式不含项和项，
，
解得；
（2）解：
，
的值与的取值无关，
，
解得；
（3）解：
积中不出现二次项，且一次项系数为，
，
解得；
（4）解：根据题意可得利润为,
当该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时，
解得．
◆题型7 多项式乘法中无关型问题（几何类）（难）
25．（26-27七年级上·广东佛山·期中）代数式学习中，存在一类问题：“代数式的值与x的取值无关，求 a的值”．常规解法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则．
请参考上述解法，解决下列问题：
(1)若关于x的多项式不含项，则_____；
(2)已知，，且的化简结果与y的取值无关，求x的值；
(3)用6张长为a，宽为b的长方形纸片按图所示不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，若长度变化时，的值始终不变，求a与b之间的数量关系．
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）先整理该多项式，再由项系数为零求解即可；
（2）先化简，由题意得，解方程即可；
（3）设，依题意，得到，由求解即可．
【详解】（1）解：
，
∵此多项式中不含项，
∴，解得；
（2）解：
由条件可知，
所以
（3）解：设，
依题意，，，
∴
，
因为当的长发生变化时，的值始终保持不变，
所以，即．
26．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下：
解：原式．
代数式的值与x的取值无关，
，解得．
【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则．
（1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值；
（2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系．
【详解】解：（1），，
．
的值与x的取值无关，
，
解得；
（2）设，由图可知，，
．
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与x的取值无关，
，
．
27．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段检测）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
【理解应用】的值与无关，求的值；
【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．
【答案】理解应用：；能力提升：
【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键．
理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得．
【详解】解：理解应用：
，
∵的值与无关，
∴，
∴．
能力提升：设，则，，
∴
，
∵当的长变化时，的值始终保持不变，
∴的值与无关，
∴，
∴．
28．（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：．
请解答下列问题：
(1)填空： = ；
(2)若的代数式中不含的一次项时，求的值；
(3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积．
(4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高．
（1）直接根据新运算定义代入计算即可；
（2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解；
（3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)；
（4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值．
【详解】（1）解：根据新运算，
对于；
故答案为：．
（2），
∵代数式中不含x的一次项，
∴一次项系数，
∴解得；
（3），
可得：，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
阴影部分面积为两个三角形面积和；
（4）∵，
∴，，
∵
∴，
即，
∴
．
◆题型8 多项式乘法的化简求值（高频）
29．（25-26八年级上·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
；
【分析】本题考查了整式的混合运算、代数式化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据多项式乘以多项式法则计算并合并同类项，化简完毕后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
上式
．
30．（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简再求值：，其中且．
【答案】，
【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可．
【详解】原式
；
且，
，解得，代入得，
故化简式为，其值为．
31．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，．
(1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值；
(2)在（1）的条件下，求的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值；
（2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案．
【详解】（1）解：，，
，
∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，
，
解得：；
（2）解：
，
把代入，则．
32．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据多项式乘以多项式的法则，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，利用整体思想，代入求值即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∴，
∴原式．
◆题型9 多项式乘多项式与图形面积（高频）
33．（26-27八年级上·北京·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米，b米（如图所示）．
(1)求音乐喷泉池的占地面积S（用含a，b的式子表示）；
(2)若，，求出该音乐喷泉池的面积S．
【答案】(1)米
(2)156米
【分析】（1）用代数式表示音乐喷泉的长与宽，即可求得其占地面积；
（2）求代数式的值即可．
【详解】（1）解：由图知，音乐喷泉池的长为米，宽为米，
则音乐喷泉池的面积米；
答：音乐喷泉池的占地面积S为米；
（2）解：当，时，（米）；
答：当，时，米．
34．（26-27七年级上·北京·期中）如图所示，池塘边有块长为20米，宽为10米的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地．
(1)用含的代数式表示菜地的长为___________，宽为___________，面积___________；
(2)当时，求图中空白土地的面积．
【答案】(1)米，米，平方米
(2)平方米
【分析】（1）中间菜地的长总长两条小路的宽，中间菜地的宽总宽一条小路的宽，再根据长方形的面积公式即可得出菜地的面积；
（2）图中空白土地的面积大长方形土地的总面积中间菜地的面积．
【详解】（1）解：由题意可得，菜地的长为米，宽为米，
故面积平方米；
（2）解：由题意可得空白土地的面积（平方米），
当时，空白土地的面积（平方米）．
35．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片的张数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】先算出大长方形的面积，然后根据C类卡片的面积，确定C类卡片的数量即可得到答案．
【详解】解：由题可知，大长方形的面积为：
，
∵C类卡片的面积为，
∴需要类卡片为7张．
36．（26-27八年级上·吉林长春·期中）若代数式的值与的取值无关，则含的项的系数为．即，解得．
【理解应用】
(1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________．
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【能力提升】
(3)张如图的小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】代数式的值不受某个字母影响，则该字母所有项的系数都为，即“无关型”问题．
（1）一次式，合并同类项后令的系数为即可，属于最基础的模型识别；
（2）整式乘法展开后出现与两项，必须同时令两个系数为，列方程组求解，考查“不漏项”的严谨性；
（3）把几何问题转化为代数问题：用表示的长，分别写出、关于的表达式，作差后整理为“含项常数项”的形式，由“值不变”得含项系数为，从而得到与的关系．本题的难点有二：一是正确数出图形的拼接方式（上半个竖放、下半个横放行列），二是把“面积差不变”翻译成“与无关”．
【详解】（1）解：合并同类项：
代数式的值与的取值无关，
的系数为：
（2）解：先展开化简：
的值与的取值无关，
项、项的系数都为：
由得；代入第二式：，得．
答：的值为．
（3）解：设．
上半部分：左侧竖放个小长方形，每个宽、高，故的宽为，高为：
下半部分：右侧横放个小长方形，排成行列，每列宽，共占宽、高，故的宽为，高为：
当（即）的长度变化时，的值始终保持不变，即该式与无关，
的系数为：
答：与的等量关系为．
◆题型10 多项式乘法中的规律性问题（难）
37．（26-27八年级上·海南海口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．若，则________．
【答案】2
【分析】从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键：分别令和，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
即：；
当时，，即：，
∴，
∴．
38．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察各式：；；；…根据规律计算：________．
【答案】
【详解】解：；
；
；
…
，
．
39．（26-27八年级上·北京海淀·期中）【阅读观察】
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作从特殊到一般．如下所示：
①；
②；
③；
【归纳猜想】
(1)由此可得_________；
【问题解决】
请运用上面的结论，解决下列问题：
(2)计算的值；
【迁移拓展】
(3)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察已知等式，归纳得到一般规律；
（2）利用（1）的结论，将式子乘后计算；
（3）先利用（1）的结论化简、，再通过幂的乘方变形比较大小．
【详解】（1）解：，
，
，
．
（2）解：令，，代入（1）的结论，
得，
，
．
（3）解：化简：令，，代入（1）的结论，得，
，
；
化简：令，，代入（1）的结论，得，
，
．
比较大小：，，，
，即，
，
，
．
40．（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读：
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】：①；
②；
③；
(1)【归纳】由此可得________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：
①计算：________
②计算：
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）观察给出的特殊情形等式，对比等式左边第二个多项式的最高次数与右边结果的次数，归纳一般规律；
（2）①将所求式子与归纳得到的公式对比，对应公式中、的情况，构造乘以该式后套用（1）中规律计算即可；
②同①构造（1）中规律公式，据此解答即可．
【详解】（1）解：观察给出的特殊式子：
①，
②，
③，
以此类推，；
（2）解：①由（1）知，
，
，
②，
即，
，
．
◆题型11 整式乘法中的新定义运算（难）
41．（25-26八年级上·全国·阶段检测）定义新运算：，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用题中的新定义运算以及整式的四则混合运算法则化简即可．
【详解】解：∵，
∴．
42．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”．
(1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由；
(2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值．
【答案】(1)解：B是整式A的“文脉增项式”，理由如下：
∵， ，
∴，
∵的项数为，的项数为，，符合“文脉增项式”的定义，
∴是整式的“文脉增项式”；
(2)或
【分析】（1）计算乘积后对比项数即可判断；
（2）先根据时求出的值，再计算乘积合并同类项后，根据定义要求分类得到系数为的情况，结合的条件求出的值．
【详解】（1）略
（2）解：将，代入，得，
解得，满足
∴，
∴，
∵的项数为，根据定义，的项数应为，该式共有项，其中的系数为，常数项为，均不为，
∴分两种情况： ①当时，解得，符合的要求，
②当时，解得，符合的要求，
∴的值为或．
43．（25-26七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面的任务．
定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”．
(1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由；
(2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”．
①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____；
②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由．
【答案】(1)是，理由如下：
，，
，
的项数比的项数多1，
是的“友好多项式”；
(2)①（答案不唯一）；②乐乐同学的说法正确，
【分析】（1）首先计算、的乘积，再利用“友好多项式”的定义判断即可；
（2）①根据“特别友好多项式”的定义，写出符合条件的二项式即可；
②利用多项式乘以多项式法则计算、的乘积，再利用“特别友好多项式”的定义求解．
【详解】（1）略
（2）解：①∵，
若，
∴，
此时的项数与的项数相同，是的“特别友好多项式”，
∴写出一个符合条件的二项式，即（答案不唯一）；
②乐乐同学的说法正确，理由如下：
若，（，是常数，，），
∴
∵，
∴，
若是的“特别友好多项式”，
∴的项数与的项数相同，即C是二项式，
∴，，
解得，，
∴．
44．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”，
(1)若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）；
(2)若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由；
(3)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________；
(4)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值．
【答案】(1)；减项
(2)B是A的“增项多项式”，理由如下：
，
的项数比A的项数多1项，
B是A的“增项多项式”
(3)2
(4)或
【分析】（1）计算，比较与即可求解；
（2）计算，比较与即可求解；
（3）计算，是的“完美多项式”，则，令的二次项系数和一次项系数等于0，即可求解；
（4）计算，是的“完美多项式”，则，分情况讨论和，求解的值．
【详解】（1）解：，
的项数比A的项数少1项，
∴是的减项多项式；
（2）略
（3）解：，
∵是的完美多项式，
∴，
∵，中和是固定项，
∴，，
解得；
（4）解：
当时，，，，此时，
∴符合题意，
当时，，，要使，则，
而，，其中，，
必须使，
∴，
解得，
综上所述，，或，是的“完美多项式”．
◆题型12 整式乘法中的整体性思维（难）
45．（25-26八年级上·全国·课后作业）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为________
【答案】54
【分析】本题考查了多项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式除以单项式可得原式等于，再利用幂的乘方与积的乘方的逆用计算即可得．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：54．
46．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）阅读：已知，求的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
．
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值．
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值；
（2）先将原式变形为，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：，
．
47．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）“整体思想”在数学中应用极为广泛．
例如：已知，求的值．
解：∵，
∴
∴．
请尝试应用“整体思想”解决以下问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)10
(2)58
【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键．
（1）仿照题例，利用整体代入法解答即可；
（2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
．
（2）解：∵，
∴，
∴
．
48．（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）【阅读】已知，求的值．
分析：由于满足的x，y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入．
解：当时，原式．
【应用】请你用上述方法，解决下列问题：
已知，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)9
(2)
【分析】本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键．
（1） 把转化为，再利用整体代入法计算即可；
（2）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解： ∵，
∴
．
考点二 整式的除法
◆题型1 单项式除以单项式
49．（2026七年级上·上海·专题练习）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值；
（2）先根据积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算．
【详解】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，
【点睛】此题考查了整式的乘除，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
本题考查的是整式的除法、积的乘方与幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
50．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
51．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可得到答案．
（2）将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可得到答案．
【详解】（1） 解:
．
（2）
．
52．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
◆题型2 多项式除以单项式
53．（26-27八年级上·北京东城·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务．
多项式除以多项式
我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得________，这就是多项式除以多项式．
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）．
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
(1)任务一：补全材料中的两个空①_______，②_______．
(2)任务二：仿照例子的做法计算：
①_______；
②_______．
(3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）．
【答案】(1)；
(2)①；②
(3)竖式如图所示：
，商式为
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则得，则，即可作答．
（2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可；
（3）模仿题干的竖式计算过程作答即可；
【详解】（1）解：；
；
（2）解：①如图所示：
；
②如图所示：
；
（3）解：如图所示：
∵的商为整式，且结合上图的竖式过程，
∴，即，
∴此时．
54．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知一个多项式乘以，再加上之后得到的结果是．
(1)求这个多项式；
(2)若，求出该多项式的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）设这个多项式为，根据题意列出式子，利用整式的混合运算进行计算求得；
（2）将代入多项式，即可求解．
【详解】（1）解：设这个多项式为
（2）解：把代入：
55．（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为．
(1)求整式；
(2)求的正确结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可；
（2）根据题意列出式子进行计算即可．
【详解】（1）
，
小马误算为，
故：；
（2）解：
56．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④．
所以①
所以②
所以③
所以④
【理解应用】
(1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：；
(2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式；
(3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍．
（i）求的值；（用含的代数式表示）
（ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)（i），（ii）
【分析】（1）由题中乘法运算的竖式运算方法求解即可；
（2）由题中除法运算的竖式运算方法求解即可；
（3）（i）用大长方形的周长减去小长方形的周长求解即可；
（ii）首先求出长方形B的面积，然后利用题中除法运算的竖式运算方法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
∴；
（2）解：根据题意得，
∴另一个多项式为；
（3）解：（i）根据题意得，，
解得；
（ii）长方形B的长为，宽为，
长方形B的面积，
∵长方形C的一个边长为，
∴长方形C已知边长的邻边长为．
◆题型3 整式四则混合运算
57．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
58．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：．
(1)求所表示的代数式；
(2)求当，时，所表示的代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：当，时，．
59．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
60．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
（5）解：．
（6）解：．
综合攻坚·知能拔高
61．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若，则计算的结果为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式求值，提取公因式.对所求式子的高次项提取公因式，凑出的形式，整体代入降次计算
【详解】解：，
，
，
将代入，
得原式
62．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）小贝家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为米，宽为米，现将长方形的长和宽都增加3米，则面积增大了（ ）
A．9平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
【答案】C
【详解】解：原鱼塘面积为．
长和宽增加3米后，长为，宽为．
新鱼塘面积为．
面积增加量为．
63．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积．
【详解】解：图中阴影部分的面积可表示为：
．
64．（26-27八年级上·四川资阳·阶段检测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是1时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】观察杨辉三角得出展开式的项数及系数和规律，利用完全平方公式及幂的运算性质逐条验证结论．
【详解】由表可知展开式共有项 ．
∵系数和为，系数和为，系数和为，
∴展开式系数和为 ．
故①错误 ．
∵，
∴②正确 ．
∵ ，
∴ ．
∴或 ．
∴或 ．
故③错误 ．
∵ ，
∴展开式中除最后一项外均含有因数 ．
∴能被整除 ．
∴天后相当于往前推天 ．
∴如果今天是星期一，
那么天后是星期天 ．
故④错误 ．
综上所述，正确的有个 ．
故选 A．
65．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）观察下列算式以及运算结果：
①
②
③
……
根据发现的规律计算：的值是（ ）
A．255 B．256 C．128 D．127
【答案】A
【分析】先观察已知算式总结规律得到，再将所求式子变形，利用总结的规律简便计算．
【详解】解：①，
②，
③，
……
∴；
设所求式子为
，
∵，
∴．
66．（26-27八年级上·江西南昌·期中）化简：____________．
【答案】
【分析】按照多项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果．
【详解】解：
．
67．（26-27七年级上·江西南昌·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法：①小长方形的较长边为；②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；③阴影和阴影的周长之和与值无关．④当时，阴影和阴影的面积之和为，其中正确的序号是________．
【答案】①③④
【分析】①由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和．
【详解】解：①由条件可知小长方形的长为，说法①正确，符合题意；
②∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为，
∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误，不符合题意；
③∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴阴影A和阴影B的周长之和与y值无关，说法③正确，符合题意；
④由条件可知阴影A的面积为，阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为，
当时，，说法④正确，符合题意．
68．（26-27八年级上·北京东城·期中）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是__________．
【答案】
【分析】先从确定密码规则是化简后按的指数依次拼接数字，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简得到，最后把指数 20、2、6 依次拼接得到密码 2026．
【详解】解：观察已知式子可知，括号内化简后，按的指数依次排列组成密码．
规律：结果依次是的指数、的指数、的指数拼接而成．
验证：
，符合该规律．
化简密码式子：
的指数为，的指数为，的指数为．
按顺序拼接，得到密码：．
69．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）如果关于x的整式的展开式中不含有一次项，那么m的值为_____________．
【答案】
【分析】将整式按多项式乘法法则展开并合并同类项，根据展开式不含一次项的条件，令一次项系数为0，建立关于m的方程求解．
【详解】解：
∵展开式中不含有一次项
∴一次项的系数为0，即，
解得．
70．（26-27七年级上·上海松江·期中）定义：整式P乘以整式Q，得到整式R．如果整式R的项数正好比整式P的项数多1，那么我们称整式Q是整式P的“增项因式”．
已知：，（a、b均为整数，，），Q是P的“增项因式”且R的一次项系数为负整数，若当时，R的值为5．则整数________．
【答案】
【分析】先可得，由题意可得，，且为整数，再由时，R的值为5，可得，由a为整数，可得或，再分别计算，即可求解．
【详解】解：，
∵Q是P的“增项因式”且R的一次项系数为负整数，，
∴，，
∴，且为整数，
∵当时，R的值为5，
∴，整理得，
∴，
当，即时，，则等式不成立，
∴，
∴，
∵a为整数，
∴或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，此时，则，不符合题意，舍去；
当时，，此时，则，，，符合题意；
当时，，此时，则，不符合题意，舍去；
综上所述，．
71．（26-27八年级上·北京·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
72．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，值为．
【详解】解：
，
代入，，原式．
73．（26-27八年级上·北京东城·期中）两个长和宽均为正整数的长方形A、B，其中长方形A的宽是a，长方形A的长比长方形A的宽多6，长方形B的长比长方形A的长少3，长方形B的宽比长方形B的长少2，两个长方形的面积分别为、（）．
(1)请你判断与的大小，并证明：
(2)若满足条件的整数有且只有6个，求的值．
【答案】(1)解：，证明如下：
∵ 长方形A的宽为，长为，
∴ ，
∵ 长方形B的长比A的长少3，
∴ 长方形B的长为，
∵ 长方形B的宽比B的长少2，
∴ 长方形B的宽为，
∴ ，
∴ ，
∵ 且为正整数，
∴ ，
∴ ；
(2)
【分析】（1）用含a的式子分别表示出两个长方形的长和宽，进而表示出与，作差，即可比较大小；
（2）先化简，再根据整数n的个数建立关于a的不等式，结合a为正整数求解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，
∵ 且为正整数，
∴ ，
∴，且为正整数，
∵满足条件的整数有且只有6个，
∴这6个整数为2026，2027，2028，2029，2030，2031，
∴，
解得，
∵为正整数，
∴．
74．（26-27七年级上·上海虹口·期中）学校劳技教室用大小相同的正方形木板组装收纳格，每1格正面敞开，其余五面各有一块木板，左右相邻或上下相邻的两格共用相邻面上的一块木板．
如图2为一个1行2列的收纳格，它由4块横板、3块竖板和2块背板构成，图3是它从正面看的视图．在扩建时保留原有格子，在上方增加行、右侧增加列，扩建后仍排成完整的长方体．
(1)组装一个2行3列的收纳格，在作图区内画出这个2行3列的收纳格从正面看的视图，并完成填空：它的横板、竖板、背板加起来总共有 块；
作图区：
(2)填空：如果收纳格有行、列，用含、的式子表示所需木板的总数是 ；
(3)劳技老师想扩建一个行、列的收纳格，如果只增加2行，则需要新增98块木板，如果只增加3列，则需要新增57块木板．老师已经购买了160块木板用于扩建这个收纳格，如果同时增加2行、3列是否够用？如果够用，需要退回多少块？如果不够，还需补多少块？
【答案】(1)，23
(2)块
(3)不够用，还需补13块
【分析】（1）先画出从正面看的视图，再分别求出横板、竖板、背板的数量，然后求和即可；
（2）分别求出横板、竖板、背板的数量，再求和即可；
（3）结合（2）的结论，先求出，的值，再分别求出原来、扩建所需木板的总数，由此即可得．
【详解】（1）解：从正面看的视图：略．
它的横板、竖板、背板加起来总共有（块）．
（2）解：当收纳格有行、列时，
则横板的数量：共有层，每层有块，总数为（块），
竖板的数量：共有列，每列有块，总数为（块），
背板的数量：共有块，
则所需木板的总数是（块）．
（3）解：当只增加2行时，收纳格变为行、列，
则此时所需木板的总数是（块），
∴，
解得，
当只增加3列时，收纳格变为行、列，
则此时所需木板的总数是（块），
∴，
解得，
∴原来的收纳格是6行、16列，所需木板的总数是（块），
当同时增加2行、3列时，收纳格变为8行、19列，所需木板的总数是（块），
∵，且（块），
∴不够用，还需补13块．
75．（26-27七年级上·上海虹口·期中）对于一个关于的整式，把其中每个都替换成后，再减去原整式，所得到的整式称为的“移差”，记作．例如，当时，．
【概念理解】
(1)已知，，填空： ； ；
【规律探索】
(2)“爱探究”学习小组进一步研究这个“移差”问题，他们发现，一个关于的整式，把其中每个都替换成后得到的整式可以表示为，同样，一个关于的整式，把其中每个都替换成后得到的整式可以表示为 ，于是得到了
计算后，即验证了：对于任意整式、，有．将上述验证过程中空缺部分填写完整；
【应用迁移】
(3)已知，，其中、为有理数，如果的常数项为，是一个关于的三项式，求满足条件的的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的值为或．
【分析】（1）根据题目中“移差”的概念，进行计算，即可；
（2）根据题目中“移差”的概念，进行验证，即可；
（3）先求出，解出，再求出，根据多项式的条件，进行解答，即可．
【详解】（1）解：
；
，
∴．
（2）解 ：∵一个关于的整式，把其中每个都替换成后得到的整式可以表示为，
∴一个关于的整式，把其中每个都替换成后得到的整式可以表示为；
∴；
验证：
由（1）可得，，，，
，
∴；，
∴，
∴；
故答案为：；．
（3）解：；，
∴
∵的常数项为，
∴
解得：；
∴
把代入可得
，
∵是一个关于的三项式，
∴多项式有一次项系数或者常数项为，
当一次项系数为，则，解得：；
当常数项为，则，解得：；
经验证：当时，常数项不为，符合题意；当时，一次项系数不为，符合题意．
∴的值为或．
1 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
专题02 整式的乘法
常考题型·精准突破
考点一 整式的乘法
题型1 单项式乘法
题型2 多项式乘法
题型3 整式乘法中的字母求值
题型4 整式乘法的实际应用
题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（高频）
题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（高频）
题型7 多项式乘法中无关型问题（几何类）（难）
题型8 多项式乘法的化简求值（高频）
题型9 多项式乘多项式与图形面积（高频）
题型10 多项式乘法中的规律性问题（难）
题型11 整式乘法中的新定义运算（难）
题型12 整式乘法中的整体性思维（难）
考点二 整式的除法
题型1 单项式除以单项式
题型2 多项式除以单项式
题型3 整式四则混合运算
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
考点一 整式的乘法
◆题型1 单项式乘法
1．（26-27七年级上·上海虹口·期中）计算：．
2．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）计算：．
3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么________．
4．（26-27八年级上·吉林·期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求：
(1)的值；
(2)的值．
◆题型2 多项式乘法
5．（26-27八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中．
6．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值．
7．（2026七年级上·上海·专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
8．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
◆题型3 整式乘法中的字母求值
9．（23-24六年级下·山东青岛·阶段检测）已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
10．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读：已知，求的值．
分析：由于，的取值较多，不能逐一代入，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
，
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值．
(2)已知，求代数式的值．
11．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知等式成立，求的值．
12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）设实数满足，若，则的值为（ ）
A． B．14 C． D．6
◆题型4 整式乘法的实际应用
13．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上（）．
(1)用、表示阴影部分的面积；
(2)计算当，时，阴影部分面积．
14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在学习了“整式的乘法“相关内容后，创新学习小组的同学进行了下面的数学研究活动．如图所示的是高度相同的两个长方体铆件甲和乙，已知甲长方体底面的长比宽多4，乙长方体底面的长比宽多2，且两个底面的周长相等（甲、乙长方体的底面宽分别为a，n，高为h）．
(1)甲长方体底面的长为__________，乙长方体底面的长为__________．（分别用含a，n的代数式表示）
(2)用含n的代数式表示a．
(3)哪个长方体的体积大？请判断并说明理由．
15．（25-26七年级下·山西太原·期中）为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形．
(1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）．
(2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）．
16．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或
(1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________；
(2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值；
(3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）．
◆题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（高频）
17．（25-26七年级下·重庆·期末）若，则的值为________．
18．（25-26八年级下·四川成都·期中）若等式恒成立，则______ ．
19．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．
例如：对于多项式，，，，因为
所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为．
任务：
(1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子；
(2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值．
20．（20-21七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题：
(1)计算：①_____；
②______；
③_____．
(2)总结公式：_____．
(3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果：
①______；②______；
(4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______．
◆题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（高频）
21．（2026八年级上·全国·专题练习）一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________．
22．（26-27七年级上·上海虹口·期中）已知整式、满足，．
(1)当时，；当时，求的值；
(2)如果的结果不含的一次项，用含的式子表示的二次项系数．
23．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若关于x的代数式：的展开式中，含x的二次项系数为1且不含x的一次项，求a、b的值．
24．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）根据以下素材，完成下列任务：
素材
在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为，即原式，其中，则．
素材
多项式与多项式相乘后，若积中指定次数项不出现（说明合并后该项系数为）．若积中指定项系数为给定数值，同样依靠合并同类项，根据系数条件列方程求解．
问题解决
(1)任务：特例求解
当________，________时，关于的多项式不含项和项．
(2)任务：探究关系
已知，且的值与的取值无关，求的值．
(3)任务：进阶探究
已知二次三项式与多项式（、为常数）相乘．积中不出现二次项，且一次项系数为，求、的值．
(4)拓展应用
月崇明金沙橘正当上市，上海某鲜果门店计划购进甲、乙两种橘子礼盒共盒进行销售，甲种金沙橘礼盒每盒进价元，每盒售价元；乙种普通蜜橘礼盒每盒进价元，销售利润率为．购进礼盒后，门店决定：每售出一盒甲种金沙橘礼盒，返还顾客现金元，乙种礼盒售价不变．设购进甲种金沙橘礼盒盒，当该门店销售完这盒礼盒的利润与的取值无关时，求的值．
◆题型7 多项式乘法中无关型问题（几何类）（难）
25．（26-27七年级上·广东佛山·期中）代数式学习中，存在一类问题：“代数式的值与x的取值无关，求 a的值”．常规解法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则．
请参考上述解法，解决下列问题：
(1)若关于x的多项式不含项，则_____；
(2)已知，，且的化简结果与y的取值无关，求x的值；
(3)用6张长为a，宽为b的长方形纸片按图所示不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，若长度变化时，的值始终不变，求a与b之间的数量关系．
26．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下：
解：原式．
代数式的值与x的取值无关，
，解得．
【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
27．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段检测）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
【理解应用】的值与无关，求的值；
【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．
28．（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：．
请解答下列问题：
(1)填空： = ；
(2)若的代数式中不含的一次项时，求的值；
(3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积．
(4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值．
◆题型8 多项式乘法的化简求值（高频）
29．（25-26八年级上·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中，．
30．（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简再求值：，其中且．
31．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，．
(1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值；
(2)在（1）的条件下，求的值．
32．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值．
◆题型9 多项式乘多项式与图形面积（高频）
33．（26-27八年级上·北京·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米，b米（如图所示）．
(1)求音乐喷泉池的占地面积S（用含a，b的式子表示）；
(2)若，，求出该音乐喷泉池的面积S．
34．（26-27七年级上·北京·期中）如图所示，池塘边有块长为20米，宽为10米的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地．
(1)用含的代数式表示菜地的长为___________，宽为___________，面积___________；
(2)当时，求图中空白土地的面积．
35．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片的张数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
36．（26-27八年级上·吉林长春·期中）若代数式的值与的取值无关，则含的项的系数为．即，解得．
【理解应用】
(1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________．
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【能力提升】
(3)张如图的小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
◆题型10 多项式乘法中的规律性问题（难）
37．（26-27八年级上·海南海口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．若，则________．
38．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察各式：；；；…根据规律计算：________．
39．（26-27八年级上·北京海淀·期中）【阅读观察】
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作从特殊到一般．如下所示：
①；
②；
③；
【归纳猜想】
(1)由此可得_________；
【问题解决】
请运用上面的结论，解决下列问题：
(2)计算的值；
【迁移拓展】
(3)比较与的大小．
40．（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读：
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】：①；
②；
③；
(1)【归纳】由此可得________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：
①计算：________
②计算：
◆题型11 整式乘法中的新定义运算（难）
41．（25-26八年级上·全国·阶段检测）定义新运算：，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
42．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）在江西文化节的数学创意活动中，同学们定义了一个新运算：整式A乘以整式B，得到整式C，如果整式C的项数正好比整式A的项数多1，就称整式B是整式A的“文脉增项式”．
(1)如果，，判断B是否为A的“文脉增项式”，并说明理由；
(2)已知，都是关于的整式，且a，b均为不等于0的有理数，当时，且B是A的“文脉增项式”，求b的值．
43．（25-26七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面的任务．
定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”．
(1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由；
(2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”．
①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____；
②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由．
44．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”，
(1)若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）；
(2)若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由；
(3)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________；
(4)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值．
◆题型12 整式乘法中的整体性思维（难）
45．（25-26八年级上·全国·课后作业）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为________
46．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）阅读：已知，求的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
．
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
(1)已知，求的值．
(2)已知，求代数式的值．
47．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）“整体思想”在数学中应用极为广泛．
例如：已知，求的值．
解：∵，
∴
∴．
请尝试应用“整体思想”解决以下问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
48．（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）【阅读】已知，求的值．
分析：由于满足的x，y的值比较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入．
解：当时，原式．
【应用】请你用上述方法，解决下列问题：
已知，求：
(1)的值；
(2)的值．
考点二 整式的除法
◆题型1 单项式除以单项式
49．（2026七年级上·上海·专题练习）计算：
(1)
(2)．
50．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
51．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
52．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
◆题型2 多项式除以单项式
53．（26-27八年级上·北京东城·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务．
多项式除以多项式
我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得________，这就是多项式除以多项式．
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）．
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
(1)任务一：补全材料中的两个空①_______，②_______．
(2)任务二：仿照例子的做法计算：
①_______；
②_______．
(3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）．
54．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知一个多项式乘以，再加上之后得到的结果是．
(1)求这个多项式；
(2)若，求出该多项式的值．
55．（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为．
(1)求整式；
(2)求的正确结果．
56．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④．
所以①
所以②
所以③
所以④
【理解应用】
(1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：；
(2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式；
(3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍．
（i）求的值；（用含的代数式表示）
（ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示）
◆题型3 整式四则混合运算
57．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
58．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：．
(1)求所表示的代数式；
(2)求当，时，所表示的代数式的值．
59．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）计算：．
60．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
综合攻坚·知能拔高
61．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若，则计算的结果为（ ）
A．3 B． C．5 D．
62．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）小贝家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为米，宽为米，现将长方形的长和宽都增加3米，则面积增大了（ ）
A．9平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
63．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）
A． B．
C． D．
64．（26-27八年级上·四川资阳·阶段检测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是1时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
65．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）观察下列算式以及运算结果：
①
②
③
……
根据发现的规律计算：的值是（ ）
A．255 B．256 C．128 D．127
66．（26-27八年级上·江西南昌·期中）化简：____________．
67．（26-27七年级上·江西南昌·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法：①小长方形的较长边为；②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；③阴影和阴影的周长之和与值无关．④当时，阴影和阴影的面积之和为，其中正确的序号是________．
68．（26-27八年级上·北京东城·期中）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是__________．
69．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）如果关于x的整式的展开式中不含有一次项，那么m的值为_____________．
70．（26-27七年级上·上海松江·期中）定义：整式P乘以整式Q，得到整式R．如果整式R的项数正好比整式P的项数多1，那么我们称整式Q是整式P的“增项因式”．
已知：，（a、b均为整数，，），Q是P的“增项因式”且R的一次项系数为负整数，若当时，R的值为5．则整数________．
71．（26-27八年级上·北京·期中）计算：
(1)；
(2)．
72．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，．
73．（26-27八年级上·北京东城·期中）两个长和宽均为正整数的长方形A、B，其中长方形A的宽是a，长方形A的长比长方形A的宽多6，长方形B的长比长方形A的长少3，长方形B的宽比长方形B的长少2，两个长方形的面积分别为、（）．
(1)请你判断与的大小，并证明：
(2)若满足条件的整数有且只有6个，求的值．
74．（26-27七年级上·上海虹口·期中）学校劳技教室用大小相同的正方形木板组装收纳格，每1格正面敞开，其余五面各有一块木板，左右相邻或上下相邻的两格共用相邻面上的一块木板．
如图2为一个1行2列的收纳格，它由4块横板、3块竖板和2块背板构成，图3是它从正面看的视图．在扩建时保留原有格子，在上方增加行、右侧增加列，扩建后仍排成完整的长方体．
(1)组装一个2行3列的收纳格，在作图区内画出这个2行3列的收纳格从正面看的视图，并完成填空：它的横板、竖板、背板加起来总共有 块；
作图区：
(2)填空：如果收纳格有行、列，用含、的式子表示所需木板的总数是 ；
(3)劳技老师想扩建一个行、列的收纳格，如果只增加2行，则需要新增98块木板，如果只增加3列，则需要新增57块木板．老师已经购买了160块木板用于扩建这个收纳格，如果同时增加2行、3列是否够用？如果够用，需要退回多少块？如果不够，还需补多少块？
75．（26-27七年级上·上海虹口·期中）对于一个关于的整式，把其中每个都替换成后，再减去原整式，所得到的整式称为的“移差”，记作．例如，当时，．
【概念理解】
(1)已知，，填空： ； ；
【规律探索】
(2)“爱探究”学习小组进一步研究这个“移差”问题，他们发现，一个关于的整式，把其中每个都替换成后得到的整式可以表示为，同样，一个关于的整式，把其中每个都替换成后得到的整式可以表示为 ，于是得到了
计算后，即验证了：对于任意整式、，有．将上述验证过程中空缺部分填写完整；
【应用迁移】
(3)已知，，其中、为有理数，如果的常数项为，是一个关于的三项式，求满足条件的的值．
1 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
