精品解析：河北唐山市海港中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026-2027海港中学高二10月月考数学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 6. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动员.若动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 10. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 为的中点 B. 与所成的角为 C. 平面 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于 11. 如图所示．已知椭圆方程为，为左右焦点，下列命题正确的是（ ） A. P为椭圆上一点，线段中点为Q，则为定值 B. 直线与椭圆交于R，S两点，A是椭圆上异与R，S的点，e为椭圆离心率且斜率均存在，则 C. 若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D. 四边形为椭圆内接矩形，则其面积最大值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 13. 如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，为的中点，为底面的中心，则异面直线与所成角为__________. 14. 已知直线，则直线恒过定点______，与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是______. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. 已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 16. 如图，正方体的棱长为，为线段的中点，为棱的中点， （1）证明：平面； （2）求多面体的体积. 17. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的长度为时，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027海港中学高二10月月考数学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式，可得，求解即可. 【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且， 所以，解得. 故选：B. 2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，然后利用平行线间的距离公式可算出答案. 【详解】已知直线与直线平行，则，解得. 直线化为；直线为直线. 它们之间的距离为. 故选：A. 3. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为， 所以直线过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为， 故选：D 4. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：B 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 6. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 7. 已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动员.若动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到，即可求解. 【详解】由题意，点动点在直线：上，动点在直线：上， 线段的中点为，可得点在直线上， 又由， 点关于直线对称的点， 则， 所以的最小值为. 故选D 【点睛】本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 8. 已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过题干数据的边长关系，分析出是一个含的直角三角形，并结合椭圆的定义求解. 【详解】 因为，故落在的中垂线上，是的中点，故是斜边的中线，故，不妨设，则，在中，由余弦定理可算出，于是，，结合可得是等边三角形，故 连接，则为直角三角形，在中，由 可得：，根据椭圆定义：，则离心率. 故选：C 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 为的中点 B. 与所成的角为 C. 平面 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，推导出，由四边形是正方形，从而，进而； 在B中，由，得（或其补角）为与所成角，推导出，从而与所成角为； 在C中，推导出，，由此能证明平面； 在D中，设，则，．由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于． 【详解】解：在A中，连结，交于点，连结，则平面平面， ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，故A正确； 在B中，∵，∴（或其补角）为与所成角， ∵平面，平面，∴， 在中，，∴， ∴与所成角为，故B错误； 在C中，∵四边形为正方形，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，、平面， ∴平面，故C正确； 在D中，设，则， ． ∴，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图所示．已知椭圆方程为，为左右焦点，下列命题正确的是（ ） A. P为椭圆上一点，线段中点为Q，则为定值 B. 直线与椭圆交于R，S两点，A是椭圆上异与R，S的点，e为椭圆离心率且斜率均存在，则 C. 若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D. 四边形为椭圆内接矩形，则其面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、直线斜率公式、离心率公式，结合椭圆和矩形的对称性、基本不等式、余弦定理逐一判断即可． 【详解】对于A：连接，如下图： 由椭圆的定义可知，线段中点为Q， 所以，于是有，故A正确； 对于B：由题意作图如下： 直线与椭圆交于R，S两点， 因为直线经过原点，而椭圆是关于原点的中心对称图形， 所以R，S两点关于原点对称，不妨设， 则， 因为A是椭圆上异与R的点，所以有， 两个式相减，得，整理可得， 因此，故B错误； 对于C：由题意作图如下： 椭圆上存在一点M使，在中， 由余弦定理可知：， 即，可得，即， 而，当且仅当时取等号，即M为上（下）顶点时取等号， 可得，，，， 而，所以，故C正确； 对于D：因为矩形和该椭圆的对称轴和对称中心相同， 所以设矩形在第一象限的顶点为，即， 所以矩形的面积为，因为，可得， 当且仅当时取等号，即当时取等号，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 13. 如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，为的中点，为底面的中心，则异面直线与所成角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，分别连接，求得为等边三角形，得到，进而求得异面直线与所成角. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为为正方形中心，可得， 又因为为的中点，可得且， 因为为的中点，可得， 所以为等边三角形，所以, 又因为，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 14. 已知直线，则直线恒过定点______，与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令含参数项为0求得直线定点，整理曲线方程，由数形结合分析，当直线与曲线相切，即直线经过端点时，从而得到答案. 【详解】直线，当时，，所以直线恒过定点， 曲线整理得，，又∵ 即曲线为以为圆心，半径的上半圆，端点 ①当直线与曲线相切时，∵，即为圆的切线， 但此时直线斜率不存在，舍去， 即圆心到直线的距离，即，则， ②当直线与曲线相切时，， 由下图可知，当直线与曲线有且只有一个交点时，斜率， ∴. 故答案为：； 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. 已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程； （2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； 16. 如图，正方体的棱长为，为线段的中点，为棱的中点， （1）证明：平面； （2）求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）计算出点到平面的距离以及四边形的面积，利用锥体的体积公式可求得多面体的体积. 【详解】（1）取的中点，连接、， 、分别为、的中点，且， 在正方体中，且， 为的中点，且，且， 所以，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； （2）连接交于点， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，多面体即四棱锥， 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，， 为的中点，所以，点到平面的距离为， 平面，平面，， 所以，矩形的面积为. 因此，多面体的体积为. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有： （1）通过面面平行得到线面平行； （2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 17. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】（1），圆的方程为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【小问1详解】 将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 【小问3详解】 当切线斜率不存在时，直线方程为， 与圆，圆心到直线的距离为，显然相切， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ， 即，由圆心到切线距离等于半径得， 整理得 ，解得 代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 19. 已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的长度为时，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）. （2） （3）由（2）知. 所以， 所以. 由（1）得， 所以. 即为定值. 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆的定义及离心率公式，确定的值，从而求得的值，得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，根据弦长公式列得关于的方程，求解可得的值，进而根据直线的方程，求得其斜率； （3）结合韦达定理，由斜率公式用表示，化简即可得解. 【小问1详解】 由椭圆的定义及的周长为，得，所以. 由离心率为，得，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，右焦点为，且直线不与轴重合， 所以设直线的方程为：，. 由，得. 恒成立. 所以. 所以 ， 所以，即，. 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $