精品解析：河北唐山市海港高级中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性测试数学试题

海港高级中学高二年级第一次阶段性测试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简，然后利用求模公式计算即可. 【详解】由，则. 2. 已知向量，，若，，则的值是（ ） A. 或1 B. 3或1 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 3. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式以及余弦的二倍角公式分析即可. 【详解】因为， 所以，所以. 4. 若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围． 【详解】点在圆外， 且， 解得． 故选：C． 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 6. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 7. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点，  当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合条件，利用基本不等式，可得为的中点，再取中点，连接，利用线面垂直的性质和判定，可得为二面角的平面角，即可求解. 【详解】设，因为，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 又，且，所以当时，的体积取最大值， 即为的中点时，的体积取最大值， 取中点，连接，因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 则，所以平面与平面的夹角的正切值为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的平行和垂直以及距离公式依次判断4个选项即可. 【详解】对于A， ，两直线重合，错误； 对于B， ，正确； 对于C，若 ，则，解得或.当时，，重合， 当时， ，∴的方程为，的方程为，，间的距离为，正确； 对于D，由，可得恒过点，所以原点到的距离的最大值为，正确； 故选：BCD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D. 【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确. 故选：AD. 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断B. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若两条直线与平行，则与间的距离是______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用两直线平行的公式求出参数，再用两平行线间距离公式求距离即可. 【详解】两条直线与平行, 解得， 经检验时，,两直线不重合； 所以， 则与间的距离, 故答案为：. 13. 过点与圆相切的直线方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则与平面所成角的正弦值是 ________ 【答案】 【解析】 【分析】过B、D分别作，，垂足分别为F、E，进而可得各个长度，因为，两边同时平方，根据数量积公式，可得二面角B-AC-D的大小为，过D作平面ABC，垂足为G，连接EG、BG，在中，求得DG长，在中，根据三角函数的定义，即可得答案. 【详解】过B、D分别作，，垂足分别为F、E，如图所示， 因为，， 所以， 因为， 所以， 则， 所以， 因为， 所以 根据矩形的对称性可得，与互补， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即二面角B-AC-D的大小为. 过D作平面ABC，垂足为G，连接EG、BG，如图所示， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解； （2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解. 【小问1详解】 解：直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形， 底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）如图所示: 取的中点为，连接， 在三角形中，为的中点，且，， 又为的中点，,且, 与平行且相等，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可. （2）先计算与的面积，然后利用等体积法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示； 连接，， 底面，平面，平面，平面， ，，， 底面是边长为的正方形，，， ，平面，平面，， 在中，， ，， 设点到平面的距离为， 由，，即， ，点到平面的距离为. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）若AB边上的中线CD长为，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，结合范围求解； （2）在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，两者联立求出，利用面积公式求； （3）由正弦定理，可得，由锐角三角形求出范围，解得取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得. 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 已知，是边上的中线，所以， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得（1）. 由正弦定理，， 所以，又，所以， 所以， 所以， 将代入（1）整理得， 因为，所以，所以, 解得，又，所以， 所以是等边三角形， 【小问3详解】 由（2）， 所以. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 即的取值范围为. 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 19. 已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点． （1）求点E的轨迹方程； （2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；点N为 【解析】 【分析】（1）根据相关点法求出点E的轨迹方程即可； （2）斜率不存在时显然成立；斜率存在时，设直线的方程为，，，，将若x轴平分，转化为，再通过联立方程结合韦达定理将转化为含与的等式即可求解. 【小问1详解】 设，因为P是圆C上动点，所以， 因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以， 设，因为E是中点，所以，即， 所以，即， 所以点E的轨迹方程为. 【小问2详解】 当直线轴时，x轴平分. 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若x轴平分，则， ∴，∴， ∴， ∴， 所以当点N为时，能使得x轴平分总成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海港高级中学高二年级第一次阶段性测试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知向量，，若，，则的值是（ ） A. 或1 B. 3或1 C. D. 1 3. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若两条直线与平行，则与间的距离是______. 13. 过点与圆相切的直线方程为____________． 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则与平面所成角的正弦值是 ________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形， 底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）若AB边上的中线CD长为，求的面积； （3）求的取值范围． 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 19. 已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点． （1）求点E的轨迹方程； （2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $