精品解析：天津市西青区2026-2027学年高一上学期学业质量中期监测数学试题

2026~2027学年度第一学期________学校学业质量中期监测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，则.    2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”为全称量词命题， 因此该命题的否定为：，. 3. 已知下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，，其定义域为， ，为奇函数，不合题意. 对于B，，定义域为， ，为偶函数； 当时，，其图象为一条射线且在该区间上单调递增，符合题意. 对于C，，定义域为， ，为奇函数，不合题意. 对于D，为二次函数，且只含偶次项，为偶函数； 但其图象开口向下，对称轴为，故在上单调递减，不合题意. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】先解不等式，等价于，解得， 设集合，集合， 中的元素不在集合内，故， 中有元素如不在集合内，故， 所以是的既不充分也不必要条件. 5. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，因为，若，，则，故A错误； 对于B选项，因为，若，，则，，故B错误； 对于C选项，，因为，所以，所以，故，故C正确； 对于D选项，因为，若，，则，，故，故D错误. 6. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【详解】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 7. 幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 8. 已知，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值是3. 故选：B. 9. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.那么函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设函数的对称中心为，再根据函数为奇函数，求出参数即可得解. 【详解】解：设函数的对称中心为， 则函数为奇函数， 由， 得， 整理得， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心是. 故选：C 10. 是定义在上的奇函数，对任意，且，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据奇偶性、单调性的定义和性质可确定在上单调递增；将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，解不等式可求得结果． 【详解】不妨令，则由得：， ， 设，则在上单调递增， 又， 为定义在上的奇函数，在上单调递增， 由得：， 即， ，解得：或． 第Ⅱ卷（80分） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 11. 函数y =的定义域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得定义域. 【详解】由可知：，解得或. 所以函数y =的定义域是. 【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题，注意结果写成集合（或区间）的形式. 12. 已知下图中给出了①，②，③，④四个幂函数的图象，按照图象从左往右的顺序，则函数的大致对应依次为______________．（用数字序号表示） 【答案】 ④①③② 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性以及图象的分布特征，将四个函数解析式与图象一一对应即可． 【详解】对于函数①，其定义域为，且，该函数为偶函数，图象关于轴对称，且过原点，对应图中从左往右数的第二个图象； 对于函数②，其定义域为，图象不过原点，且分布在第一、三象限，对应图中从左往右数的第四个图象； 对于函数③，其定义域为，图象只分布在第一象限（含原点），对应图中从左往右数的第三个图象； 对于函数④，其定义域为，且，该函数为奇函数，图象关于原点对称，且过原点，在第一象限内增长较快，对应图中从左往右数的第一个图象； 综上所述，按照图象从左往右的顺序，函数的大致对应依次为④①③②． 13. 已知集合，，若定义集合，则集合中包含_________个元素． 【答案】3 【解析】 【详解】根据题意，依次选取和计算比值： 当时，可取或，得到或； 当时，可取或，得到或. 由上可知，所有可能的取值为. 根据集合中元素的互异性，. 因此集合中共有个元素. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 15. 已知函数，，，若对，用表示，中的较大者，记为，则函数的解析式为______________． 【答案】 ． 【解析】 【分析】先求解两函数的交点，再分区间比较两函数值的大小，根据最大值函数的定义写出分段解析式． 【详解】令，即，整理得，解得或， 两个交点将实数集划分为、、三个区间， ， 当时，，即，因此； 当时，，即，因此； 当时，，即，因此； 综上，的解析式为． 16. 已知函数，则______________（用含的式子表示）；若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求函数值时注意自变量的取值范围；第二问由题等价转化为函数为定义域上的减函数，列出不等式求解即得. 【详解】由题得. ∵函数满足对任意实数，都有成立. ∴函数在上单调递减，故有，即. 三．解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 17. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式求集合，再由集合的并补运算求集合； （2）应用分类讨论求集合，结合包含关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，集合，而， 所以，； 【小问2详解】 由， 对于集合： 当时，， 要使，只需，解得； 当时，，显然，故满足； 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知函数，． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）恒成立问题先按二次项系数是否为0分类， 时直接验证； 时用“开口向上且判别式小于零”两条锁定参数范围； （2）含参一元二次不等式先因式分解求出两根，再比较两根大小，分三类讨论求解不等式的解集. 【小问1详解】 ，不等式对一切实数恒成立， 当时， 对一切实数 恒成立，符合题意； 当时， 是二次函数，要使 对全体实数恒成立，则，解得， 综上，实数的取值范围为； 【小问2详解】 由，得，即，即， 因为 ，对应方程的两根为， 二次项系数为正，开口向上， 当时，，解得 或 ； 当时，，解得； 当时，，解得 或 ； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 19. 已知是一次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设一次函数的一般形式，代入后利用多项式对应系数相等求解参数； （2）代入后得到开口向上的二次函数，按对称轴与区间的左、中、右三种位置关系分类讨论最小值. 【小问1详解】 设（），则， 由，比较对应项系数得，解得，， 因此； 【小问2详解】 将代入得， 该函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故； 当，即时，在对称轴处取最小值，故； 当，即时，在上单调递减，故； 综上， 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）用函数单调性定义证明函数在上的单调性； （3）设，若对，对，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明：由（1）知，，任取，且， 则， 由，得，， 因此，即，所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再由求出. （2）由（1）的结论，利用函数单调性定义推理判断. （3）由（2）求出函数的最大值，再由已知并结合一次型函数的图象性质列式求出范围. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 则，解得，由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数在上单调递增，得， 由对，使得恒成立， 得，恒成立，而， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期________学校学业质量中期监测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 7. 幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 8. 已知，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.那么函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 10. 是定义在上的奇函数，对任意，且，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 第Ⅱ卷（80分） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 11. 函数y =的定义域是____________. 12. 已知下图中给出了①，②，③，④四个幂函数的图象，按照图象从左往右的顺序，则函数的大致对应依次为______________．（用数字序号表示） 13. 已知集合，，若定义集合，则集合中包含_________个元素． 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 15. 已知函数，，，若对，用表示，中的较大者，记为，则函数的解析式为______________． 16. 已知函数，则______________（用含的式子表示）；若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为______________． 三．解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 17. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集． 19. 已知是一次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）用函数单调性定义证明函数在上的单调性； （3）设，若对，对，使得恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $