精品解析：天津市西青区2025-2026学年高一上学期期中学业质量检测数学试卷

2025~2026学年度第一学期_____学校中期学业质量检测 高一数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分 第I卷 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 3. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误. 故选：C 4. 设，则“”是“”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】得，再由集合的包含关系即可判断. 【详解】由可得， 由于是的真子集， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 5. 已知、、，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；取，结合不等式的性质可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，不妨取，，则，A错； 对于B选项，若且，则，B错； 对于C选项，若，则，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，不妨取，，则，D错. 故选：C. 6. 已知四个函数①②③④中，既是偶函数又是在区间上单调递减的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式即可直接判断单调性，再由奇偶性的定义即可求解. 【详解】当时，，单调递减， 函数定义域为，显然由，偶函数，符合， 当时，单调递增，不符合， 的定义域为， ，奇函数，不符合 当时，，单调递减， 函数定义域为R， ，偶函数，符合， 故选：C 7. 以下四个命题结论正确的是（ ） A. 幂函数与幂函数的图象均过点，点 B. 当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C. 时的幂函数在其定义域内是减函数 D. 当，，时，幂函数在上为增函数 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的图象、性质逐项分析判断. 【详解】对于A，幂函数的图象不过点，A错误； 对于B，幂函数的图象不经过第三象限，B错误； 对于C，幂函数在定义域内不单调，C错误； 对于D，幂函数在上单调递增，D正确. 故选：D 8. 若一元二次不等式的解集为，则最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立. 因此的最大值为. 故选：B. 9. 已知定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先可得在上单调递增，即可得到在上单调递增，再分类讨论求解不等式，即可得答案. 【详解】不妨令，则， 因，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则上单调递增，又，所以， 当时，不等式等价于，等价于，解得； 当时，不等式等价于，等价于，解得； 当时，，显然不满足，故不符合题意； 综上可得，不等式的解集为. 故选：D 10. 定义 ，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】求的解析式，根据解析式求的最大值. 【详解】由. 所以. 所以：当时，； 当时，； 当时，. 综上可知：的最大值为9，当时取“”. 故选：C 第Ⅱ卷（80分） 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上. 11. 已知集合，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】因，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 12. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助具体函数定义域求法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 即的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数则______. 【答案】11 【解析】 【分析】由解析式即可直接求解. 【详解】由题意可得，则. 故答案为：11 14. 已知幂函数过点，则的解析式为_____________；若，则的最小值为_____________. 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】利用待定系数法求幂函数解析式，由基本不等式求最值. 【详解】设， 因为幂函数过点，则，解得， 所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：；5 15. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 16. 已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为_____________；2025年公司的最大利润为_____________万元.（利润=销售额－成本） 【答案】 ①. ②. 1680 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润函数； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】当时，； 当时，， ． 若，当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 故答案为：；1680. 三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 17. 已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 当时，又， 所以，或. 【小问2详解】 因为，所以， 显然，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求不等式解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接解不等式得到但. （2）变换，考虑，，三种情况，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，，即， 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19. 已知幂函数为偶函数. （1）求幂函数的解析式； （2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数和偶函数的性质求解即可； （2）构造，问题转化为，结合二次函数的性质分析即可； 【小问1详解】 ∵幂函数为偶函数 ∴    即，解得或， 当时，为偶函数，符合条件；   当时，为奇函数，不符合条件； ∴函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，则 由，得，即， 令，依题意，对任意，恒成立， ∴      ∵函数在上单调递减， ∴，故， ∴实数的取值范围是. 20. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （2）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. 【小问3详解】 解：因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足，解得，所以不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期_____学校中期学业质量检测 高一数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分 第I卷 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知、、，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知四个函数①②③④中，既是偶函数又是在区间上单调递减的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ②③ 7. 以下四个命题结论正确的是（ ） A. 幂函数与幂函数的图象均过点，点 B. 当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C. 时的幂函数在其定义域内是减函数 D. 当，，时，幂函数在上为增函数 8. 若一元二次不等式的解集为，则最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 已知定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 10. 定义 ，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 第Ⅱ卷（80分） 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上. 11. 已知集合，若，则的值为__________. 12. 函数的定义域为_____________. 13. 已知函数则______. 14. 已知幂函数过点，则的解析式为_____________；若，则的最小值为_____________. 15. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 16. 已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为_____________；2025年公司的最大利润为_____________万元.（利润=销售额－成本） 三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 17. 已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 19. 已知幂函数为偶函数. （1）求幂函数的解析式； （2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $