内蒙古杭锦后旗奋斗中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

奋斗中学 2026—2027 学年第一学期高一期中考试 · 数学参考答案 奋斗中学 2026—2027 学年第一学期高一期中考试 数学试题 · 参考答案与解析 扫描件校对说明 原文件为扫描识别稿，存在少量字符错漏。以下答案按题意校正后作答，主要校正项如下： · 第 1 题：B = {x | x³ = x}，选项文字识别错乱，以集合计算结果为准。 · 第 4 题：A、B 选项残缺，按「定义在 R 上的偶函数且在 (0,+∞) 递增」判定。 · 第 9 题：B 中「[I,+∞)」应为「[1,+∞)」；D 中「y = i/x」应为「y = 1/x」。 · 第 10 题：「1ⁿ」应为「1」；「是真命题 22」为识别杂字符。 · 第 11 题：「x∈(0,+∞)|」「x∈(-∞,0)|」中的竖线为识别杂字符。 · 第 14 题：分段函数重复行已合并，定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞)。 · 第 16 题：第一段为 2/x (x<0)，第二段 -x (0≤x≤2)，第三段 x/2 - 3 (x>2)。 · 第 17 题：图象过点 (1, -1/2)。 · 第 18 题：f(x) = x²。 · 原卷解答题排版顺序为 15、16、18、17、19，本答案按 15—19 顺序整理。 答案速查表 题号 答案 题号 答案 1 {-1, 0, 1} 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A 9 ABD 10 ACD 11 ABD 12 [2,4) ∪ (4,+∞) 13 9 14 [4,+∞) 15—19 见下方详解 满分 40+18+15+77 = 150 分 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 答案：{-1, 0, 1} 由 x³ = x 得 x(x-1)(x+1) = 0，故 B = {-1, 0, 1}；又 A = {-4,-1,0,1,2,8}，所以 A∩B = {-1, 0, 1}。（扫描件选项文字有误，选含 {-1,0,1} 的选项） 2. 答案：B 用「竖线检验」：任一条垂直于 x 轴的直线与图象至多有一个交点。A 为圆、D 为开口向右的抛物线，均存在一个 x 对应两个 y；C 在 x = 0 处出现上下两个对应点，不唯一；只有 B 满足。 3. 答案：D A 错：取 a = 1, b = -2，有 a > b 但 a² < b²；B 错：c ≤ 0 时不等号反向或不成立；C 错：a、b 异号时 1/a < 1/b 不成立（如 a = 1, b = -1）；D 对：ac² > bc² 隐含 c² > 0，两边同除以正数 c² 得 a > b。 4. 答案：C f(x) = |x| 定义域为 R，f(-x) = |-x| = |x| 为偶函数，且 x > 0 时 f(x) = x 单调递增。A（含 √x）、D（-1/x²）定义域均不含全体实数；B 选项残缺，按题意不符合。 5. 答案：B f 在 R 上递减且 f(4) = 0，故 f(x) < f(4) ⇔ x > 4，解集为 (4, +∞)。 6. 答案：A f(x) = x² - 2ax + 2 = (x-a)² + 2 - a²，开口向上，递增区间为 [a, +∞)。由 (3,+∞) ⊆ [a,+∞) 得 a ≤ 3，即 a∈(-∞, 3]。 7. 答案：D A 正确：两者定义域均为 [-1,1]，且 √(1+x)·√(1-x) = √(1-x²)。B 正确：x∈[-1,1] 时 2x+1∈[-1,3]，故 f(x) 定义域为 [-1,3]。C 正确：令 t = 2x-1，则 x = (t+1)/2，代入得 f(t) = t²/2 + t/2。D 错误：令 t = √(x²+16) ≥ 4，y = t + 9/t 在 [4,+∞) 上递增，最小值为 4 + 9/4 = 25/4；均值不等式取等需 t = 3，不可达，故最小值不是 6。 8. 答案：A 设 φ(x) = x² - 2x = (x-1)² - 1，在 [0,2] 上最小值为 -1（x = 1）。a < φ(x) 恒成立需 a < min φ(x) = -1；注意 a = -1 时 x = 1 处不满足严格小于，故 a∈(-∞, -1)。 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9. 答案：ABD A 不正确：仅由 f(-1) < f(3) 两点大小不能推出 R 上单调递增。B 不正确：只能说明 [1,+∞) 是函数的一个增区间，不能断定「单调递增区间就是 [1,+∞)」（如 y = x 在 R 上递增）。C 正确：闭区间上的单调函数，最大、最小值必在区间端点取得。D 不正确：单调区间不能用并集表示；且取 x₁ = -1、x₂ = 1 时 f(-1) = -1 < f(1) = 1，在 (-∞,0)∪(0,+∞) 上并不递减，应写为 (-∞,0) 与 (0,+∞) 分别递减。 10. 答案：ACD A 真：x > 1 时 x² > 1。B 假：x² + 1 = 0 无实数解。C 真：1/x < 1 ⇔ (1-x)/x < 0 ⇔ x < 0 或 x > 1；故 x > 1 ⇒ 1/x < 1，反之不成立，「1/x < 1」是「x > 1」的必要不充分条件。D 真：x > 1 且 y > 1 ⇒ x + y > 2；反之 x + y > 2 不必然有 x > 1 且 y > 1（如 x = 3, y = 0），为充分不必要条件。 11. 答案：ABD f 为 R 上奇函数，f(0) = 0；x > 0 时 f(x) = x² + x。 A 对：f(-2) = -f(2) = -(4+2) = -6。 B 对：x < 0 时 -x > 0，f(x) = -f(-x) = -[(-x)² + (-x)] = -x² + x。 C 错：x > 0 时 x²+x 递增；x < 0 时 -x²+x 的导数 -2x+1 > 0 也递增，且 f(0)=0 衔接，故 f 在 R 上为增函数，不是减函数。 D 对：f(2) = 6，由 f 递增得 f(x-1) < 6 ⇔ x-1 < 2 ⇔ x < 3，解集 (-∞, 3)。 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 答案：[2,4) ∪ (4,+∞) 需 x - 2 ≥ 0 且 4 - x ≠ 0，即 x ≥ 2 且 x ≠ 4。 13. 答案：9 由 x + 4y = 12 且 x, y > 0，x·4y ≤ ((x+4y)/2)² = 36，故 4xy ≤ 36，xy ≤ 9；当 x = 4y = 6（即 x = 6, y = 3/2）时取等，最大值为 9。 14. 答案：[4, +∞) x > 0 时 x + 4/x ≥ 2√4 = 4，当 x = 2 时取到最小值 4。x < 0 时 f(x) = a - x，其值域为 (a, +∞)，下确界 a 取不到。若 a < 4，则存在 x < 0 使 a - x < 4，此时函数值可无限接近 a 但取不到，整体无最小值；若 a ≥ 4，则 x < 0 时 a - x > a ≥ 4，全函数最小值由 x = 2 处的 4 取得。故 a ≥ 4。 四、解答题（共 77 分） 15.（13 分） A = {x | x² < 9} = (-3, 3)；B = {x | (x-2)(x-5) ≤ 0} = [2, 5]。 (1) A∩B = [2, 3)。∁_R A = (-∞, -3] ∪ [3, +∞)，故 (∁_R A) ∪ B = (-∞, -3] ∪ [2, +∞)。 (2) C = (m, +∞)，由 A∩C = ∅ 得 (-3,3) ∩ (m,+∞) = ∅，故 m ≥ 3，即 m∈[3, +∞)。 16.（15 分） f(x) = 2/x (x < 0)；f(x) = -x (0 ≤ x ≤ 2)；f(x) = x/2 - 3 (x > 2)。 (1) f(0) = -0 = 0；f(1) = -1，故 f(f(1)) = f(-1) = 2/(-1) = -2。 (2) 分三段求解：x < 0 时 2/m = -1 得 m = -2；0 ≤ x ≤ 2 时 -m = -1 得 m = 1；x > 2 时 m/2 - 3 = -1 得 m = 4。故 m = -2 或 1 或 4。 (3) 图象见下图：x < 0 为反比例函数 2/x 在第三象限的分支（过 (-1,-2)，x→0⁻ 时趋向 -∞）；0 ≤ x ≤ 2 为连接 (0,0) 与 (2,-2) 的线段；x > 2 为从 (2,-2) 出发、斜率 1/2 的射线（过 (6,0)）。 单调区间：单调递减区间为 (-∞, 0) 和 [0, 2]；单调递增区间为 (2, +∞)。注意两段递减区间不能合并——x→0⁻ 时 f(x)→-∞，而 f(0) = 0 出现跳跃，合并后不满足递减定义。 图 1 第16题 f(x) 图象（坐标范围 -6 至 6） 17.（15 分） (1) 图象过点 (1, -1/2)：f(1) = (a - 3)/2 = -1/2，得 a = 2。故 f(x) = (2x-3)/(x+1) = 2 - 5/(x+1)，定义域 {x | x ≠ -1}。 (2) f(x) 在 (-1, +∞) 上单调递增。证明：任取 -1 < x₁ < x₂， f(x₁) - f(x₂) = [2 - 5/(x₁+1)] - [2 - 5/(x₂+1)] = 5(x₁ - x₂) / [(x₁+1)(x₂+1)]。 由 x₁ - x₂ < 0、(x₁+1)(x₂+1) > 0，得 f(x₁) - f(x₂) < 0，即 f(x₁) < f(x₂)，故 f 在 (-1,+∞) 上单调递增。 (3) 由 (2) 知 f 在 [1,4] 上递增，f(1) = -1/2，f(4) = (8-3)/5 = 1，故值域为 [-1/2, 1]。 18.（17 分） (1) f(1) = 1，故 g(1) = 1。设 g(x) = kx + b，由 g(1) = 1、g(3) = 9 得 k = (9-1)/(3-1) = 4，b = 1 - 4 = -3。故 g(x) = 4x - 3。 (2) h(x) = g(x) - f(x) = -x² + 4x - 3 = -(x-2)² + 1，开口向下，对称轴 x = 2 ∈ [-1,3]。故最大值为 h(2) = 1；端点 h(-1) = -1-4-3 = -8，h(3) = -9+12-3 = 0，故最小值为 -8（x = -1）。 (3) 不等式即 x² + (a-1)x - a < 0，因式分解得 (x - 1)(x + a) < 0，两根为 1 与 -a，按根的大小分类： ① 当 -a < 1，即 a > -1 时，解集为 (-a, 1)； ② 当 -a = 1，即 a = -1 时，(x-1)² < 0 无解，解集为 ∅； ③ 当 -a > 1，即 a < -1 时，解集为 (1, -a)。 19.（17 分） (1) f 为偶函数，f(3) = f(-3) = (-3)² + 2(-3) = 9 - 6 = 3。 (2) x > 0 时 -x < 0，f(x) = f(-x) = (-x)² + 2(-x) = x² - 2x。故 f(x) = x² + 2x (x ≤ 0)；f(x) = x² - 2x (x > 0)，亦可写成 f(x) = x² - 2|x|。 (3) x∈[1,2] 时 f(x) = x² - 2x，故 g(x) = x² - 2x - 2ax + 2 = x² - 2(a+1)x + 2，开口向上，对称轴 x = a + 1。 按对称轴与区间 [1,2] 的位置分类： ① a + 1 ≤ 1，即 a ≤ 0：g 在 [1,2] 上递增，最小值 g(1) = 1 - 2(a+1) + 2 = 1 - 2a； ② 1 < a + 1 < 2，即 0 < a < 1：最小值在顶点取得，g(a+1) = -(a+1)² + 2 = 1 - 2a - a²； ③ a + 1 ≥ 2，即 a ≥ 1：g 在 [1,2] 上递减，最小值 g(2) = 4 - 4(a+1) + 2 = 2 - 4a。 综上：g_min = 1 - 2a（a ≤ 0）；g_min = 1 - 2a - a²（0 < a < 1）；g_min = 2 - 4a（a ≥ 1）。边界 a = 0、a = 1 处两式取值一致，分段连续。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $奋斗中学2026一2027学年第一学期高一期中考试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A=(4,-l0,128),B={r3=x,则40B=（) A.0,L2到 B.12,8别 C.1,00 D.(0,I) 2.下图中，能表示函数y=(x)的图象的是() 3.下列结论中正确的是( A.若a>b,则ad2>b2 B.若a>b,则ae>bc C若a>b,则号 D.若ac2>bc2,则a>b 4.下列函数是定义在R上的偶函数且在(0，+∞)上单调递增的是() A.f(x)B.f()=x C.f(x)= D.f=之 5.已知函数y=()是定义在R上的减函数，且f(4)=0,则不等式f(x)<0的解集为() A.(-∞，0] B.(4,+o) C.(-o,0jU(4,+∞】 D.(-m,04,+o 6.如果函数f(x)=x2-2r+2在区间(3，+o)上单.周递增，则a的取值范围为() A.（-m,3) B.[3,+oo) C.(0,2) D.(2 7,下列说法错误的是() A.函数)=+x-x与g(x)=-天是相同的函数 B.已知函数f(2x+1)的定义城为-1，，则函数∫(x)的定义域为[-1,3) c.若x-=2-,则f-号号 D.函数闪-6+6的最小值为6 8.当0sxS2时，若a<x2-2x恒成立，则实数a的取值范围是() A.（0,-) B.（-m,0] C.(-o,0) D.（-o,- 二、选择题：本大愿共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，部分选对的得部分分分，有选错的得0分 9.下列结论不正确的是() A.若定义在R上的函数∫(x),有f(-)<f(3),则函数∫(x)在R上为增函数 B.函数y=f(x)在L,+o》上是增函数，则函数的单调递增区间是L,+o) C,闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 D.函数y=的单调递减区间是(-m,0U(0,+∞) 10.下列说法正确的是() A,命题“若x>1,则x2>1”是真命题 B.命题“3xeR,x2+1=0”是其命题 C.“<1是“x>1”的必要不充分条件 D.“x>1且y>1”是“x+y>2”的充分不必要条件 11.己知(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，+四)时，f（x)=x2+x,则下列说法正确的是() A.f(-2)=-6 B.当x∈(-m,0)时，fx)■-x2+x C,(x)在定义蚊R上为减函数 D.不等式（x-)<6的解集为(-o,3) 三、填空题：本大题共3小愿，每小愿5分，共15分 12.函数/)2+的定义域为 ·(写成区间形式) 13.已知x>0,y>0,且x44y=12,则罗的最大值为一 a-x,x<0 14.已知函数代闪+x>0在定义域内有最小值，则实数▣的取值范围是 四、解答愿：本大题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.(本题13分)已知集合A={xx2<,B={xx2-7x+10≤0，求： (1)AnB,(CRA)U B: (2)若C=>m,且AnC=o,求m的取值范围。 16.(本题15分)已知函数f(x)= -x,0sx52 2x-3x>2 5432 456 (1)求foff): (2)若f(m)=-l,求m的值： (3)在给定的坐标系中，作出函数(x)的图象并求单调区间. 17.(本题15分)包知函数)=x-3 x+1 且函数图象过点引 (1)求函数(x)的解析式： (②)判断函数f(x)在(1，+四)上的单调性并证明： (3)若xeL,4],求函数f(x)的值域. 3 18.(本题17分)已知函数(x)=x2,一次函数g(x)的图象经过点(3,9)，且f()=g(). (1)求g(x)的解析式： (2)求函数(x)=g(x)-(x)在-1,3上的最值. (3)解不等式：fx)+(a-1)x-a<0(a∈R), 19,(本题17分)设函数∫(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，(x)=x之+2红. (1)求f(3)的值： (2)求f(x)的解析式： (3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(xe[1,2,求函数g(x)的最小值. 4