精品解析：北京市第六十六中学2026－2027学年第一学期期中质量检测八年级数学试题

北京市第六十六中学2026—2027学年第一学期期中质量检测 初二数学 试卷说明： 1．本试卷共三道大题，共6页． 2．卷面满分100分，考试时间100分钟． 3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 数学和物理联系紧密，在下列物理图例中，是轴对称图形的是（ ） A. 砝码 B. 正弦波 C. 二极管 D. 衰减器 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ，∴ A错误； ∵ ，∴ B错误； ∵ ，∴ C正确； ∵ 与不是同类项，不能合并，∴ D错误． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】通过比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，不能组成三角形． 5. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 6. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【详解】解：观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线． 7. 如图，，，．连接，，，．已知，中边上的高为4，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点G，过点B作，交的延长线于点M，过点E作，交的延长线于点N，设与的延长线交于点H，证明，得到，同理可证明，证明，得到，则可证明，求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点G，过点B作，交的延长线于点M，过点E作，交的延长线于点N，设与的延长线交于点H， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵中边上的高为4，， ∴， ∵， ∴中边上的高为． 8. 如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（ ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解． 过点分别作、、的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点到、的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ①平分，平分，于点，于点， ，， ， 平分，故①正确，符合题意； ②，， ， ， ， 错误，故②错误，不符合题意； ③在与中， ， ， ， 同理可得， ， ， 故本小题正确，符合题意； ④平分，平分， ，， ， 故本小题正确，符合题意． 综上所述，①③④符合题意． 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 10. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】分腰长为2和腰长为4两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴2，2，4不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴2，4，4能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为； 综上，等腰三角形的周长为． 11. 配方：______=（x-______）2． 【答案】 ①. 9 ②. 3 【解析】 【分析】加上一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解：x2-6x+9=（x-3）2， 故答案为：9，3． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是能够了解如何配方，难度不大． 12. 如果，，那么的值为________． 【答案】 10 【解析】 【分析】已知，，需通过同底数幂的乘法运算法则将待求式变形为已知幂的乘积形式，代入数值计算即可． 【详解】解：． 13. 如图，已知，请再添加一个条件______，使（无需添加任何辅助线或点）． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件或或，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：添加， 理由是：在和中， ， ∴； 添加， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，垂直平分于，交于，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等边对等角和三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 根据证明可得，再根据垂直平分线的性质可得，最后结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵垂直平分于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分于， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知的周长是10，分别平分和于D，且，则的面积是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，过O作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案． 【详解】解：过O作于E，于F， ∵分别平分和于D，且， ， 即， ∵的周长为10， ， ， 故答案为：10． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点在第一象限，以为边作等腰直角，则点的坐标为_________（请写出所有情况）． 【答案】或或 【解析】 【分析】设，由题意可得，，再利用勾股定理，并结合等腰直角三角形的性质，分情况计算即可得出结果． 【详解】解：设， ∵点在第一象限， ∴，， ∵，， ∴，，， ∵为等腰直角三角形， ∴当时，，且， ∴， 解得（负值不符合题意，舍去）， 此时； 当时，，且， ∴， 解得（负值不符合题意，舍去）， 此时； 当时，，且， ∴， 解得（负值不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题（本题共68分，第17题20分，第18、19、22题各4分，第20、24题各7分，21题6分、第23、25题各5分、26题6分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】展开整式乘法，合并同类项得到最简式，将已知的整体代入计算即可． 【详解】 解： 原式 当时，原式． 19. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证． 【答案】 证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌（）． ∴． 【解析】 【分析】由可得，结合条件可利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 20. 已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【答案】（1） 补全图形如图所示； （2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；； 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知作法作图即可； （2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线是经过点，并且垂直于轴的直线． （1）在图中画出与关于直线对称的图形，并写出点的坐标：          ；内有一点，点关于直线对称点的坐标          ； （2）连接，，直接写出的面积； （3）若轴上存在一点，使得最小，在图中画出符合条件的点，并写出点的坐标：             ．(保留画图痕迹) 【答案】（1）如图，即为所求作的图形，其中；点． （2）的面积为． （3）如图，点即为所求作的点． 【解析】 【分析】（1）由对称轴上各点的横坐标都是，用两对称点横坐标之和为、纵坐标不变定出、、，再顺次连接得到对称图形； （2）连接、后，取水平线段为底，用点到的距离作高，代入三角形面积公式； （3）作点关于轴的对称点，把折线和最小化为两点之间线段最短，连接对称点与后由交点定出点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知． 连接、，得． 由、的纵坐标相同，得轴． ． 点到的距离为． ∴． 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，则． 点在轴上，故． ∴． 当、、三点共线时，最小． 连接交轴于点，由网格图读出． 22. 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．且，．求证：． 【答案】 证明：延长到，使，连结， ∵， ∴， ∴，． 又， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴∥． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理，通过作辅助线构造全等三角形是解题关键． 延长到，使，连结，证明，可得，，然后根据及可得，问题得证． 【详解】略 23. 如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，写出，，之间的一个等量关系              ； （2）利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值； （3）利用上述结论，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别分析大正方形整体面积和组成部分的面积，根据“大正方形的面积等于四个小长方形面积加上中间小正方形面积”建立等量关系； （2）根据（1）得出的结论，将，代入计算即可求解； （3）要求的值，可以先求出的值，再利用完全平方公式变形求解． 【小问1详解】 解：图2中，大正方形的边长为，所以大正方形的面积为． 图2由四个全等的小长方形和一个中间的小正方形组成，四个小长方形的面积总和为，中间小正方形的边长为，面积为． 由题意得：． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 将，代入得： ∴． 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴ ． 24. 如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 补全图形如图1， （2） ，． 证明：延长至点，使，连接，如图2． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ∵点与点关于直线对称， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据题意补全图形，根据对称的性质得直线垂直平分，再根据垂直平分线的性质得，，推出，再根据求解； （2）延长至点，使，连接，如图2，分别证明、得到，，再根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 25. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于x的二次多项式的特征系数对为______； （2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； （3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值是解题的关键． (1 )根据特征系数对的定义即可解答； (2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； (3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案． 【小问1详解】 解：关于x的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为， ； 【小问3详解】 解：根据题意得， 令，则， ， ， ． 故答案为：4． 26. 在平面直角坐标系中，对于直线，线段和点，给出如下定义： 记点关于直线的对称点为，若线段上存在点，，使得，且，则称点是线段的“可及点” （1）如图，直线为轴，点，，在点，，中，线段的“可及点”是                 ； （2）已知点，，直线经过点且垂直于轴，点，，若线段上存在线段的“可及点”，直接写出的取值范围； （3）已知是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且垂直于轴，点，，当时，对于的每一个值，的三条边上的所有的点都是线段的“可及点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别将关于y轴对称，根据图象可得线段的“可及点”是； （2）根据题意得出直线，由点F，G得以为底边作等腰直角与，再分别求出点D，E关于直线l的对称点，作出相关图象，得出当正方形的端点N与重合时和当与重合时的m值，并最终求出m的取值范围； （3）根据题意作出分别沿直线与y轴对称，得到与，由点得出以为边的等边需全部包含住到的所有等边三角形，分情况讨论当过边时和当过边时，列出方程求解n的值，最终求得n的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，分别将关于y轴对称， 由图象可知，符合题意， ∴线段的“可及点”是； 【小问2详解】 解：∵直线过点且垂直于x轴， ∴直线， ∵，， ∴以为底边作等腰直角与， ∴线段的“可及点”在与的内部或边上（不包括上）， 若线段上存在线段的“可及点”，则关于直线的对称线段与正方形有交点即可， ∴， 如图，当正方形的端点N与重合时，此时， 当正方形的端点M与重合时，此时，即， 当与重合时，此时， 综上，m的取值范围是且； 【小问3详解】 解：∵直线l经过点且垂直于x轴， ∴当时，将分别沿直线与y轴对称，得到与， ∵点，的三条边上的所有点都是线段的“可及点”， ∴以为边的等边需全部包含住到的所有等边三角形， 如图，当过边时，此时过点与Q分别作轴，轴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理，当过边时，如图， 则有； 综上，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第六十六中学2026—2027学年第一学期期中质量检测 初二数学 试卷说明： 1．本试卷共三道大题，共6页． 2．卷面满分100分，考试时间100分钟． 3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 数学和物理联系紧密，在下列物理图例中，是轴对称图形的是（ ） A. 砝码 B. 正弦波 C. 二极管 D. 衰减器 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 6. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 7. 如图，，，．连接，，，．已知，中边上的高为4，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（ ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 计算：______． 10. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 11. 配方：______=（x-______）2． 12. 如果，，那么的值为________． 13. 如图，已知，请再添加一个条件______，使（无需添加任何辅助线或点）． 14. 如图，在中，，垂直平分于，交于，，则的度数为______． 15. 如图，已知的周长是10，分别平分和于D，且，则的面积是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点在第一象限，以为边作等腰直角，则点的坐标为_________（请写出所有情况）． 三、解答题（本题共68分，第17题20分，第18、19、22题各4分，第20、24题各7分，21题6分、第23、25题各5分、26题6分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证． 20. 已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线是经过点，并且垂直于轴的直线． （1）在图中画出与关于直线对称的图形，并写出点的坐标：          ；内有一点，点关于直线对称点的坐标          ； （2）连接，，直接写出的面积； （3）若轴上存在一点，使得最小，在图中画出符合条件的点，并写出点的坐标：             ．(保留画图痕迹) 22. 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．且，．求证：． 23. 如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，写出，，之间的一个等量关系              ； （2）利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值； （3）利用上述结论，直接写出的值． 24. 如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 25. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于x的二次多项式的特征系数对为______； （2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； （3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 26. 在平面直角坐标系中，对于直线，线段和点，给出如下定义： 记点关于直线的对称点为，若线段上存在点，，使得，且，则称点是线段的“可及点” （1）如图，直线为轴，点，，在点，，中，线段的“可及点”是                 ； （2）已知点，，直线经过点且垂直于轴，点，，若线段上存在线段的“可及点”，直接写出的取值范围； （3）已知是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且垂直于轴，点，，当时，对于的每一个值，的三条边上的所有的点都是线段的“可及点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $