4.4.3 不同函数增长的差异+4.5.3 函数模型的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

null 回顾与展望 一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中，哪些函数在定义域上是增函数？ 展望一下 一次函数与指数函数、对数函数的增长方式存在很大差异．当它们都递增时，增长的一样快吗？ 这就是今天要研究的核心——不同函数增长的差异。 4.4.3 不同函数增长的差异 自主研读 P136~P138，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 教材中用了哪几个具体函数来做比较？ 在比较  与  时，随着  增大，它们图象的交点情况和增长趋势有什么变化？ 在比较  与  时，随着  增大，你发现了什么现象？ 尝试用自己的话概括“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的含义. 问题一：在[0，+∞)上 y＝2x 比y＝2x增长速度快，这种说法对吗？  说法不准确 函数值大小是决定增长快慢的因素吗？  y＝2x增长慢 y＝2x增长先慢后快 y＝2x增长非常快 y＝2x增长速度不变 尽管在x的一定变化范围内， 2x会小于2x ，但由于y＝2x的增长最终会快于y＝2x的增长，即：总会存在一个x0（临界值），当x>x0时，恒有2x >2x 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长 问题二：单调递增的正比例函数和指数函数有几个交点？  与正比例函数的系数有关，交点个数可能为：0，1，2 手工画图时要注意关键的特征点 更加细节的地方在高二“导数”一章中学习 问题三：函数 与y＝lgx有几个交点？  试分析两者增长的差异？  两个交点 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律 问题三：如果将y＝lgx放大1000倍，再对函数y＝1000lgx 和 的增长情况进行比较，仍有上述规律吗？  当x＝105时，1000 lg 105 ＝10005=5000， 一次函数明显反超 “直线上升” “对数增长” 、 “指数爆炸”、的含义： “直线上升” 即“匀速上升” “对数增长” 即“增长越来越平缓” “指数爆炸” 即“增长越来越快” 问题四：函数 y＝2x与y＝x3有几个交点？哪个增长的快？  总有临界点，过此点后y＝2x比y＝x3增长的快 “指数爆炸” 函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画. 面临一个实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 4.4.5 函数模型的应用 自主研读 P148~P154，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 教材中的人口增长案例：为什么教材选择用指数函数模型拟合人口增长？它的依据是什么？ 建模步骤：根据教材，解决函数模型应用问题的一般步骤是什么？请用流程图或关键词概括. 模型检验：教材中是如何判断所建模型是否合理的？如果模型与实际数据偏差较大，应该怎么办？ 函数应用价值：教材最后提到了函数模型的哪些应用领域？对你有什么启发？ 问题五：函数为什么不能随意选？  1. 不能单纯根据现有数据决定，需要结合实际看长期变化趋势. 2. 模型选择不仅要看数据拟合程度，更要考虑实际背景和问题的内在规律.数学模型是实际问题的抽象，必须符合问题的“机理”. 3. 要关注模型的误差是否可接受，必要时对参数进行调整. 典例精析 典例精析 例2．（P150.1 ）已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%． （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？ 典例精析 （2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ （2）根据实际情况,对1650年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而对于1970年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度．可见近几十年，各国为控制人口增长而采取了一定的措施，已经有了一定成效，或者此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况． 典例精析 归纳总结 1. 几类不同增长的函数模型（一次函数、指数函数、对数函数）差异的认识 2. 几类增长函数建模的步骤 列解析式 具体问题 画出图像（形） 列出表格（数） 不同增长 确定模型 预报和决策 控制和优化 常数函数 一次函数 指数函数 对数函数 增长量为零 增长量相同 增长量迅速增加 增长量减少 没有增长 直线增长 指数爆炸 对数增长 解决实际问题的步骤： 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 演算 推理 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 归纳总结 随堂小测 课本P139 1，4 课本P150 2 课本P156 14 课后作业 课本P139 3 课本P141 11 课本P155 9（要过程) 课本P156 10（参考数据：lg2≈0.3010，lg3 ≈ 0.4771) 例1：下面对函数f(x)＝ ，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 $nullnull