4.4.3 不同函数增长的差异-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦三种函数模型（指数、对数、线性）的增长差异，通过“兔子繁殖”现实案例导入，结合函数图像观察搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的核心含义。 其亮点在于以现实情境和数据为载体，通过图像对比与表格梳理培养数学思维，结合市场价格、工厂产量等实例引导用数学语言选择模型，提升学生建模能力，为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

4．4.3　不同函数增长的差异 课标要求 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．　2.理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义．　3.能根据具体问题选择合适的函数模型． 返回导航 1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，不到100年，兔子数量达到100亿只，整个澳大利亚“兔”满为患，可见兔子在适宜的环境下，其繁育的数量呈“爆炸性增长”．你知道这种增长规律如何用函数模型表示吗？本节课我们一起来探究． 返回导航 新课导入 观察函数y＝x，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象． 思考1　这三个函数在区间(0，＋∞)内的单调性是怎样的？ 提示：都是单调递增的． 思考2　当x趋于正无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度最快？哪一个最慢？ 提示：一次函数y＝x匀速增长，指数函数y＝2x增长速度最快，对数函数y＝log2x增长速度最慢． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点　 1 1 应用点一 2 应用点二 3 知识点　三种常见函数模型的增长差异 第一部分 6 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 ________ ________ ________ 图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度 不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大____y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax__kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有__________________ 单调递增 单调递增 单调递增 超过 < ax>kx>logax 返回导航 × √ 即时练 × √ 返回导航 2．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x2 D．y＝6x 解析：D中一次函数的增长速度不变； A，C中函数的增长速度越来越快； 只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． B 返回导航 3．三个变量y1，y2，y3随着变量x变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2 C 返回导航 解析：由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数． 返回导航 【感悟提升】　常见的函数模型及其增长特点 线性函 数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变 指数函 数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸” 对数函 数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓 幂函数 模型 幂函数模型y＝xn(n>0)的增长速度介于指数爆炸和对数增长之间 返回导航 应用点一　函数增长速度的比较 第二部分 13 例1　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.   (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 【解】　曲线C1对应的函数为g(x)＝x3，曲线C2对应的函数为f(x)＝2x. 返回导航 (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小关系． 【解】　因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2 026>x2， 由题图可知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 026)>g(2 026). 又因为g(2 026)>g(6)，所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6). 返回导航 【感悟提升】　利用不同函数增长的差异求范围的步骤 (1)根据题意，作出不同函数增长的图象，确定交点的坐标； (2)结合图象，根据不同函数的相对位置，求出变量的取值范围． 返回导航 训练 　　　　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数； 解：由题图知，曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x. 返回导航 (2)比较两函数的增长差异，并以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较． 解：观察题图可知，函数f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都单调递增，随着x的增大，f(x)的增长速度越来越慢，g(x)的增长速度保持不变． 当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 返回导航 第三部分 应用点二　函数模型的选择 例2　某产品近日开始上市，通过市场调查，得到每件该产品的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表： 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 返回导航 (1)根据上表数据，从下列函数模型中选取一个恰当的函数模型来描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由； ①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝alogbx(a≠0，b>0，且b≠1). 【解】　因为随着时间x的增加，y的值先减小后增大，而所给的函数模型中y＝ax＋b(a≠0)和y＝alogbx(a≠0，b>0，且b≠1)都是单调函数，不满足题意，所以选择y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 返回导航 (2)利用你选取的函数模型，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格． 返回导航 【感悟提升】　建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． 返回导航 训练 　　　　某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 月份 1 2 3 月产量(千件) 50 52 53.9 为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，a>0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y(单位：千件)与月份x的关系．请问：用以上哪个函数模拟较好？说明理由． 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 B x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 解析：在直角坐标系中描出各点(图略)，知最接近的函数模型为y＝a＋bx(b>0且b≠1). 返回导航 A 2．(2026·深圳期末)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是(　　) A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x2 C．y＝30＋lg (x＋1) D．y＝50x 解析：指数函数y＝1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数y＝x2、对数函数y＝lg (x＋1)、一次函数y＝50x增长的速度都快，所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是y＝10×1.05x. 返回导航 3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案： 甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择_____________方案． 解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出． 乙、甲、丙 返回导航 4．(教材P139T2改编)已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为____________．(用“>”连接)  解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象恒在函数g(x)＝2x图象的上方，则当x∈R时，f(x)>g(x). f(x)>g(x) 返回导航 课堂小结 1．已学习：三种常见函数模型：指数型函数增长模型、对数型函数增长模型、线性函数增长模型． 2．须贯通：不同的函数模型，其增长速度具有差异．选取数学模型时，需抓住问题中蕴含的数学信息，恰当、准确地分析原始数据的变化规律，选择与原型有“相似性”的数学模型． 3．应注意：不同的函数模型增长速度的差异． 返回导航 $