4.5.2 用二分法求方程的近似解课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

回顾与展望 零点存在定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解． 作用： 可以证明函数有零点，找出零点所在区间，但不能断定函数无零点或零点个数 进一步的问题： 如何求出这个零点？ 方程 ln x ＋2x－6=0的实数根x0∈(2，3)，即函数在区间(2，3)内存在一个零点．如何求出这个零点呢？ 游戏：购买价格竞猜 98元 　通过游戏，你能想到什么样的方法缩小零点所在的范围呢？ 4.5.2 用二分法求方程的近似解 自主研读 P144~P146，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 什么是二分法？二分法的前提条件是什么？ 二分法的基本步骤有哪些？如何确定近似解满足精确度要求？ 精确度  与区间长度有什么关系？为什么当区间长度小于  时，可以取区间中任意一个值作为零点的近似解？ 二分法能否求出函数的所有零点？为什么？ 问题一：什么是二分法？ 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 问题二：对于函数  在区间 [−1, 1] 上，能否用二分法求零点？为什么？  不能 虽然f(−1)∙ f(1) ＝ (−1)∙ 1 ＝ −1<0 ，但函数在x＝0 处不连续，实际上此函数无零点 二分法对函数有什么基本要求？ 二分法对函数的基本要求： ① 函数在区间上连续 ② 区间端点函数值异号 ③ 零点唯一性并非必须，但区间内需有零点 满足零点存在定理 问题三：在用二分法求方程近似解时，要求精确度为 . 某同学认为：当区间中点  满足  时，就可以停止计算. 这种说法正确吗？请说明理由.  精确度 ε 是指近似解与真实解的误差不超过 ε ，即|x0−c| ≤ε ，而不是函数值的绝对值小于ε 不正确 具体计算时，精确度 ε 的使用方法： 当经历二分法过程后，区间[a，b]的长度满足|a−b| < ε 时，区间[a，b]中任意一个值都是零点 x0 满足精确度的近似值. 问题四： P145 使用二分法时，零点 x0 始终在区间[a，b]内，由|a−b| < ε知区间长度b−a< ε，对区间内任意x∈ [a，b]，有|x−x0|≤b−a < ε，即 x 与真实零点x0的误差小于精确度ε ，也即区间[a，b] 中任意一个值都是精确度的近似值（课本取a（或b）. 问题五：给定精确度 ，用二分法求函数y＝f(x)零点 x0 的近似值的一般步骤？ 3. 计算f(c) ； (1)若f(c)=0，则c就是函数的零点c ； (2)若f(a)·f(c)<0，此时零点x0∈(a,c)，则令b=c; (3)若f(b)·f(c)<0，此时零点x0∈(c,b)，则令a=c; 1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε； 2. 求区间(a,b)的中点c； 4. 判断是否达到精度 ε ，若|a − b|< ε ，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4； 由|a−b|< ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b). 二分法求方程近似解，计算量较大，重复步骤多，这可以让计算机来完成，但是得是人设计好计算程序，由计算机执行，其程序框图为： 开始 定义f(x) 输入ε,a,b b=c a=c a=c 输出解x=a 结束 是 否 是 否 是 否 二分法是算法思想在数学中的重要体现 典例精析 C 典例精析 例2：用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－6零点的近似值时得到下表 则下一个要分析的区间应为_____________，要计算的函数值为______ f(1.1875) (1.125，1.25) 典例精析 例3. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精确度为0.1)为(　　) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054 C 1. 5－1.375＝0.125>0.1，不满足精确度0.1 1. 4375－1.375＝0.0625<0.1，满足精确度0.1 区间[1. 375，1.4375]内的任意一个数都可以作为零点的近似值 典例精析 B 归纳总结 一个方法：二分法 —— 通过不断取中点缩小零点所在区间，逐步逼近精确解。 两个前提： (1)函数在区间上连续 (2)端点函数值异号  3.三个关键： (1)中点：每次取区间中点 (2)判断：根据  的符号确定零点所在区间 (3)精确度：区间长度小于  时停止，取区间内任意一个数（通常取端点）作为近似解 4.两种思想： (1)逼近思想：用有限次操作无限接近真实值 (2)算法思想：程序化、可重复的解题步骤 随堂小测 课本P155 1 课本P160 3（分析零点所在区间） 课后作业 课本P160 5（3） 大本 课本P161 13 例1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 区间(a，b) 中点值eq \f(a＋b,2) f(a) f(b) f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) (1，2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)≈1.33>0 (1，1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)≈0.13>0 (1，1.25) 1.125 f(1)<0 f(1.25)>0 f(1.125)≈－0.44<0 例3.已知f(x)＝eq \f(1,x)－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则最多需要将区间等分的次数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]每次等分区间，都会是区间长度变为原来的一半，而原来长度为1，令 ，求得自然数n最小为4，故选B. $