4.5.3 函数模型的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，涵盖指数型、对数型及拟合函数模型，通过放射性元素衰减、牛顿冷却规律等实际问题导入，衔接已学函数知识，搭建从具体实例到抽象模型的学习支架。 其亮点在于以习题讲评式教学为主，结合鲑鱼游速、电动汽车耗电量等真实案例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理运算、用数学语言构建模型的能力。学生能提升实际问题解决能力，教师可通过针对训练与课时检测高效开展教学。

4.5.3 函数模型的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 能利用已知函数模型求解实际问题.能根据实际需要构建指、对数型函数模型解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　指数型函数模型 题型(二)　对数型函数模型 题型(三)　建立拟合函数解决 实际问题 4 课时检测 题型(一)　指数型函数模型 01 [例1]　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； 解：最初的质量为500 g. 经过1年，w=500(1-10%)=500×0.9； 经过2年，w=500×0.92； 由此推知，t年后，w=500×0.9t. (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位，参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48). 解：由题意得500×0.9t=250， 即0.9t=0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t=lg 0.5，即tlg 0.9=lg 0.5， ∴t==≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年. |思|维|建|模| 指数型函数模型问题的求解策略 (1)对于平均增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解. (2)函数y=c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数. 针对训练 1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T-Ta=(T0-Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间? 解：由题意知40-24=(88-24)×，即=，解得h=10. 故原式可化简为T-24=(88-24)×，当T=32时，代入上式，得32-24=(88-24)×，即===，∴t=30. 因此，需要30 min可降温到32 ℃. 题型(二)　对数型函数模型 02 [例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3，单位是m/s，θ是表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少? 解：由v=log3可知， 当θ=900时，v=log3=log39=1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍. 解：由v2-v1=1，即log3-log3=1，得=9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍. [变式拓展] 若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100个单位时，它的游速是多少? 解：将θ=8 100代入函数解析式，得v=log381=×4=2(m/s)， 所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s. (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. 解：令v=0，得log3=0，即=1，则θ=100， 所以一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100. |思|维|建|模| 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 基本 类型 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解 求解 策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义 针对训练 2.设小丁单次持续背单词所花时间y(分钟)与背出单词数x(个)之间满足函数表达式y=k·lg，其中常数k，b∈R且k，b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词，100分钟背出了30个单词.问：小丁持续背200分钟约能背出多少个单词?(精确到个位) 解：由题意，得两式相除，得=， 即1-=，解得b=40.所以k=，即y=·lg. 当y=200时，解得x=37.5≈38(个)， 所以小丁200分钟约能背出38个单词. 题型(三)　建立拟合函数解决 实际问题 03 [例3]　随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位： km/h)的数据如下表所示. 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型可供选择：M(v)=v3+bv2+cv，M(v)=1 000·+a，M(v)=300logav+b. v 0 10 30 70 M 0 1 325 3 375 9 275 (1)当0≤v<80时，请选出你认为最符合表格所列数据的实际函数模型，并求出相应的函数解析式； 解：对于M(v)=300logav+b，当v=0时，无意义，所以不符合题意； 对于M(v)=1 000·+a，显然是个减函数，所以不符合题意. 故选M(v)=v3+bv2+cv. 根据提供的数据，有 解得b=-2，c=150.故当0≤v<80时，M(v)=v3-2v2+150v. (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为400 km，若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量(单位：Wh)最小，并计算出该最小值. 解：由车速为v km/h，得所用时间为 h， 所耗电量f(v)==10(v2-80v+6 000)=10(v-40)2+44 000. 要使得续航里程最长，则耗电量达到最小， 即v=40 km/h.所以当本次测试的车速为40 km/h 时，该电动汽车电池所需的容量最小，为44 000 Wh. |思|维|建|模|　建立拟合函数与预测的基本步骤 针对训练 3.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表： (1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式； 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 解：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图. 根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个 地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型. 取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系. (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常? 解：将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 (　 ) A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1 √ 解析：分裂一次后由2个变成2×2=22个，分裂两次后变成4×2=23个，…，分裂x次后变成y=2x+1个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.有一组实验数据如下表所示： 则能体现这些数据关系的函数模型是(　 ) A.u=log2t B.u=2t-2 C.u= D.u=2t-2 √ t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示. 由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t=3时，2t-2=23-2=6，排除选项B.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.某市的房价(均价)经过6年时间从12 000元/m2增加到了48 000元/m2，则这6年间平均每年的增长率是 (　 ) A.600元 B.50% C.-1 D.+1 √ 解析：设6年间平均年增长率为x，则有12 000(1+x)6=48 000，解得x=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y=cekx，其中c，k为常量.已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93) (　 ) A.9.4×104 Pa B.9.4×106 Pa C.9×103 Pa D.9×105 Pa √ 解析：依题意得1.01×105=ce0=c，0.90×105=ce1 000k，因此e1 000k= ≈0.89，因此当x=600时，y=1.01×105e600k=1.01×105·(e1 000k)0.6= 1.01×105×0.890.6≈9.4×104.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车 (　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 √ 解析：设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则60(1-25%)x<20，∴<，当x=3时，=>；当x=4时，=<；结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于 (　 ) A.lg B.lg C. D. √ 解析：由题意得a(1-8%)t=，所以0.92t=0.5.两边取对数得lg 0.92t= lg 0.5.所以tlg 0.92=lg 0.5.故t=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 (　 ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 √ √ √ 解析：因为Lp=20×lg随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以≥，所以p1≥p2，故A正确；由Lp=20×lg，得p=p01，因为=40，所以p3=p01=100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p01> 10p01，所以1>10，所以->20，由题中表格数据知不可能成立，故B错误；因为==1≥1，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时 钟，用原子数表示时间t为___________.  t=-ln 解析：因为N=N0e-λt，所以=e-λt，两边取以e为底的对数，所以t=-ln. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k=______，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为_______.  2ln 2 1 024 解析：由题意知，当t=时，y=2，即2=，所以k=2ln 2，所以y=e2tln 2.当t=5时，y=e2×5×ln 2=210=1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为______.  75 解析：由已知得a=a·e-50k，即e-50k==. 所以a=·a=(e-50k·a=e-75k·a，所以t=75. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t=-144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.则当N=40时，t=_______ (参考数据：lg 2≈ 0.301，lg 3≈0.477).  36.72 解析：当N=40时，t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)=-144(1- lg 2-2lg 3)≈36.72. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(15分)某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x(吨)最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y(元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为=++40，x∈[70，120]，++40≥2+40=2×40+40=120. 当且仅当=，即x=80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低， 因为120>100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案. 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2 300元； 方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元. 如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴?为什么?(9分) 解：若该企业采用补贴方案一，设该企业每日获利为y1， y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900. 因为x∈[70，120]，所以当x=70吨时，企业获得最大利润，为850元. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 若该企业采用补贴方案二，设该企业每日获利为y2， y2=100x+40x-=-x2+100x-3 200=-(x-100)2+1 800. 因为x∈[70，120]，所以当x=100吨时，企业获得最大利润，为1 800元. 结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润850元； 选择方案二，当日加工处理量为100吨时，获得最大利润1 800元. 所以选择方案二进行补贴. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼， 现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个 每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关 系，要求如下：(1)函数的图象接近图示； (2)每天运动时间为 0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分； (4)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+b(k>0)；②y=k·1.2x+b(k>0)；③y=klog2+n(k>0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；(3分) 解：第一步：分析题中每个模型的特点. 对于模型一，当k>0时，匀速增长； 对于模型二，当k>0时，先慢后快增长； 对于模型三，当k>0时，先快后慢增长. 第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型. 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型， 故选y=klog2+n(k>0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(7分) 解：将(0，0)，(30，3)代入解析式得到 即解得k=3，n=-3，即y=3log2-3. 完善模型是否合适，当x=90时，y=3log2(6+2)-3=6， 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为y= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数).(5分) 解：由y=3log2-3≥4.5，log2≥2.5=log2， 得+2≥=4≈5.656，得x≥54.84. 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $