4.5.2 用二分法求方程的近似解-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过娱乐节目猜价格情境导入，引导学生从“猜800高、400低后猜中点600”的实例，直观感受逐步逼近思想，衔接函数零点存在定理，构建从生活实例到数学概念的学习支架。 其亮点在于以问题驱动整合生活与数学逻辑，猜价格案例培养数学眼光，例2生产成本降低问题用二分法解决实际应用，体现数学思维的程序化与推理。课堂小结明确适用条件，规范数学语言。学生提升实际问题解决能力，教师可借实例增强互动。

4．5.2　用二分法求方程的近似解 课标要求 1.了解二分法的原理及其适用条件．　2.掌握二分法的解题步骤．　3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 返回导航 在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格， 若猜中了，就把物品奖励给选手．某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”． 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　如果是你，你知道接下来如何竞猜吗？ 提示：接下来应猜“600”，即区间(400，800)的中点值． 思考2　通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示：可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格． 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 知识点　 1 1 应用点一 2 应用点二 3 知识点　二分法的概念 第一部分 5 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点_________的方法叫做二分法． 提醒　二分法的依据是函数零点存在定理，仅适用于函数的变号零点(函数图象通过零点时函数值的符号改变，如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法). 一分为二 近似值 返回导航 即时练 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)任何函数都可以用二分法求零点．(　　) (2)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (3)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (4)达到精确度后，所得区间内任意数均可视为零点的近似值．(　　) × × × √ 返回导航 2．(多选)(2026·永州期末)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求其零点的是(　　) AC　 返回导航 解析：由二分法的定义知，若函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)＜0，则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值，对于选项B，D中函数零点两侧函数值同号，不能用二分法求函数零点，选项A，C中函数零点两侧函数值异号，能用二分法求函数零点． 返回导航 返回导航 【感悟提升】　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)函数零点两侧的函数值异号． 注意　只有同时满足上述两个条件，才可以用二分法求函数零点． 返回导航 应用点一　用二分法求方程的近似解 第二部分 12 例1　(对接教材例2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1) 【解】　令f(x)＝2x3＋3x－3， 因为f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0， f(0)f(1)＜0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点． 即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0， 又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 返回导航 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解． 返回导航 母题探究　若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结果又如何？ 解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解． 返回导航 【感悟提升】　用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 返回导航 训练 　 (多选)(2026·上饶月考)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：   则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　) A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 BC　 f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0．215 f(2.562 5)≈0．066 返回导航 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域内单调递增，结合题表中数据可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解所在区间可以是(2，3)，(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)，(2.5，2.562 5)， 上述区间的长度分别为1，0.5，0.25，0.125，0.062 5，根据精确度为0.1，可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在区间(2.5，2.562 5)内，故可在区间[2.5，2.562 5]内任选一个值作为该方程的近似解，故选BC. 返回导航 第三部分 应用点二　二分法的实际应用 例2　随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2021年平均每台电动车的生产成本为1 500元，并以纯利润15%标定出厂价.2022年开始，公司加强管理，降低生产成本.2025年尽管平均每台电动车的出厂价仅是2021年出厂价的75%，但却实现了纯利润40%的高收益．若以2021年的生产成本为基数，用二分法求2022～2025年生产成本平均每年降低的百分数．(精确度为0.01.参考数据：0.554≈0.091 5，0.74＝0.240 1，0.84＝0.409 6，0.854≈0.522 0，0.8754≈0.586 2，0.887 54≈0.620 4，0.94＝0.656 1，0.881 254≈0.603 1) 返回导航 【解】　设2025年平均每台电动车的生产成本为M元，依题意得M(1＋40%)＝1500×(1＋15%)×75%， 解得M≈924，所以2025年平均每台电动车的生产成本约为924元． 设2022～2025年生产成本平均每年降低的百分数为x， 根据题意，得1 500(1－x)4＝924(0<x<1)，令f(x)＝1 500(1－x)4－924，作出x，f(x)的对应值表： x 10% 15% 20% 30% 45% f(x) 60.15 －141 －309.6 －563.85 －786.75 返回导航 返回导航 【感悟提升】　二分法的思想在生活中应用广泛，不仅可以用于线路、水管、煤气、管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等． 返回导航 训练 　在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量较轻)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币． 解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在较轻的那6枚硬币里面．将较轻的6枚硬币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在较轻的那3枚硬币里面．从较轻的3枚硬币中任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则较轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币． 3 返回导航 课堂巩固自测 C　 返回导航 B　 返回导航 3．某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分________次后，所得近似值的精确度达到0.1. 5 返回导航 据此数据，方程3x－x－4＝0的一个近似解可取_______________．(精确度为0.01) 解析：函数f(x)的零点即为方程3x－x－4＝0的解．因为f(1.562 5)＞0，f(1.556 2)＜0，且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，所以区间[1.556 2，1.562 5]内的任意实数均是方程3x－x－4＝0的一个近似解，不妨取近似解为1.56. 4．(教材P146T1改编)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： 1.56(答案不唯一) x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0 f(x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060 返回导航 课堂小结 1．已学习：二分法的概念；利用二分法求函数零点、方程的近似解；二分法在实际生活中的应用． 2．须贯通：利用二分法求零点就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点． 3．应注意：二分法并不适合求所有函数的零点，只能求连续函数的变号零点． 返回导航 (a，b) 中点c f(a) f(b) f (0，1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5)＜0 f(0.75)＞0 f(0.625)＜0 (0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)＜0 f(0.75)＞0 f(0.687 5)＜0 (0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1 $