精品解析：上海市格致中学2026-2027学年高三上学期期中数学试卷

格致中学高三期中数学试卷 一．填空题 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 2. 设复数，其中为虚数单位，则的虚部为________ 【答案】 【解析】 【分析】通过复数的除法运算化简得到的代数形式，再求出其共轭复数，依据复数虚部的定义得到最终结果. 【详解】， 因此，其虚部为. 3. 若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，圆柱的高为h=4，不妨设底面圆半径为r,所以，.答案： 4. 对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【详解】由得，， 所以，所以. 5. 若的展开式中各项系数之和为64，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】取，则各项系数之和，解得答案. 【详解】取，则各项系数之和，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题. 6. 已知，则的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据指对互化，表示为，再利用基本不等式求最小值. 【详解】，，且， 即 ， 等号成立的条件是， 又因为 ，解得. 故答案为4. 【点睛】本题考查指对互化，和基本不等式求最值，意在考查转化和计算能力，属于简单题型. 7. 已知为等比数列前项和，若，则______. 【答案】91 【解析】 【分析】利用等比数列的定义与性质计算即可. 【详解】设该数列公比为，由可知， 所以，可得， 而. 故答案为：91 8. 若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，进而列出方程组解出的值，从而求出双曲线方程. 【详解】解：双曲线焦点在轴上，渐近线方程为：， 直线经过点，所以，且直线的斜率为， 所以，解得，所以双曲线方程为. 故答案为： 9. 已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义得出为奇函数，再由函数单调性的加减法得出在上为增函数，由奇函数性质将不等式化为，即可根据单调性的性质结合定义域列出不等式组，解出答案. 【详解】， 为奇函数， 与在上都为增函数， 在上为增函数， ，则， 则，解得：， 故答案为：. 10. 已知，（，），记函数的最小正周期为，若，且的一个零点为，则实数的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦函数的最小正周期公式求出周期，代入结合的取值范围求解，再利用零点条件建立关于的方程，结合的条件找到的最小值. 【详解】对于（），其最小正周期， 得， 结合，得， 由题设是的零点，因此，即， 得，整理得， 结合，可知，当时，；当时，的取值大于等于12， 故满足条件的的最小值为. 11. 已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，，从而可得点A、B的轨迹，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】不妨设，，，， 由， 可得点在以为圆心，半径为的圆上， 由， 可得点在椭圆上， 结合图象，当直线与圆相切，即斜率为1的时候，数量投影最大， 此时作斜率为且与椭圆相切的直线， 设为， 与椭圆：联立， 可得， 令， 得或（舍）， 所以数量投影最大值为. 故答案为： 12. 设函数的定义域为，若对任意的，都有，则称为轴对称函数，其中直线为函数的对称轴．已知为轴对称函数，且，其中，，，则有序数对的个数为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称函数的性质，分三种情况讨论，然后找出符合条件的有序数对. 【详解】轴对称函数的性质：对于奇数个绝对值相加的函数， 若它是轴对称函数，则三个零点中，必有一个零点落在对称轴上， 剩余两个零点关于直线对称，分下列三种情况： ①零点在对称轴上 此时对称轴为，剩余两个零点关于对称，满足， 结合，，共有这种情况， ②零点在对称轴上 此时对称轴为，剩余两个零点关于对称，满足， 结合，，共有这种情况， ③零点在对称轴上 此时对称轴为，剩余两个零点关于对称，满足， 结合，，共有这种情况， 综上，满足条件的有序数对的个数为. 二．选择题 13. 设，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根式与指数幂的互化可判断AB选项；利用特殊值法可判断C选项；利用指数幂的运算性质可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，取，则，，此时，C错； 对于D选项，，D错. 故选：A. 14. 某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（       ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【详解】 则. 15. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 16. 已知中，角，，所对应的边分别为，，，的面积记为（为正整数）．若，，，且，其中，则（ ） A. 为严格减数列 B. 为严格增数列 C. 为严格增数列，为严格减数列 D. 为严格减数列，为严格增数列 【答案】B 【解析】 【分析】先根据递推公式整理得到是以为首项，公比的等比数列，然后令，可得严格递增， 再利用海伦公式求解面积，代入化简整理得，可得到严格递增，从而得到为严格增数列. 【详解】，数列为常数列，记， 又，，两式相减得，即数列是以为首项， 公比的等比数列，其通项公式为，， 记，， ，故是公差为的等差数列，严格递增， 这里我们利用海伦公式求面积，三角形的面积，其中， ， 面积的平方为 ， 与成正比， 严格递增且，故严格递增，从而严格递增，所以严格递增，故为严格增数列. 三．解答题 17. 自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） （3）公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 【答案】（1）0.16；150 （2）4.24 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1，列出方程可求，再根据运动时长在小时的员工有48人，结合频率可求； （2）根据频率分布直方图平均数的公式求解即可； （3）根据题意设事件，再利用条件概率公式求概率即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图可， 解得， 因为运动时长在小时的员工有48人， 所以，解得， 即，． 【小问2详解】 由（1）知， 则平均数为， 所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24． 【小问3详解】 设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件， 选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件， 则， ， ， 所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间内的概率． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 19. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的最大值. （2）若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数，得，则，然后由配方法得到的最大值； （2）由函数为偶函数，得，则，令，令并由基本不等式求得的范围，由题意得，分离常数后令，由函数单调性得到的最大值，即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 当函数为奇函数， 则，∵，则， ∴ 故的最大值为9. 【小问2详解】 函数为偶函数， 则，∵不恒为0，∴， 令， ， 令中， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴，， 即，令函数， ∵在上单调递减，在上单调递减， ∴在上单调递减， ∴， 即. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）证明：当的斜率存在且时，的值为定值； （3）求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）焦距为，离心率为； （2）由（1）可知，，当的斜率存在且时，直线的方程为， 则，得， 设，则， 则 ， 因为，垂足为，所以直线的斜率为， 所以， 故； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程结合焦距、离心率的定义计算求解即可； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，进而得到，代入计算即可得证； （3）在（2）的基础上，得，由基本不等式可得最值，再讨论直线的斜率与不存在两种情况，从而得到四边形的面积的最小值. 【小问1详解】 已知椭圆：，则， 椭圆的焦距为，离心率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当的斜率存在且时， 由（2）可知，四边形的面积， 当且仅当，即时，等号成立； 当直线的斜率时，如图所示： 此时，在中，令，得， 故，此时四边形的面积； 同理，当直线的斜率不存在时，可得四边形的面积； 综上：四边形的面积最小值为. 21. 对于函数，，定义实数集，对于至少有两个元素的实数集合，若任取，都有，称为连通集，特别地，定义为连通集，单元素集为连通集． （1）已知，求证：对任意，均为连通集； （2）已知，若对任意，均为连通集，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，且导函数存在．求证：“对任意，为连通集”是“为严格增函数”的必要不充分条件． 【答案】（1）任取，因为函数在上为严格递增函数， 所以， 显然任取，必有， 所以对任意，均为连通集； （2） （3）必要性：设为严格增函数， 假设存在使不是连通集， 则存在，以及，， 即，，， 对于闭区间，不妨设在处取得最大值， 故，，故， 即，是函数的极大值点，则， 因为函数为严格增函数，故时，， 即函数在区间上是严格单调递减函数，即， 这与矛盾， 所以对任意，为连通集； 充分性：取，定义域为， 因为，故函数在上单调递增， ， 显然任取，必有， 所以对任意，均为连通集； 但，故不是严格增函数， 综上：“对任意，为连通集”是“为严格增函数”的必要不充分条件. 【解析】 【分析】（1）根据连通集定义结合对数函数单调性证明即可； （2）根据连通集的定义，分，，三种情况，结合导数与零点计算求解即可； （3）根据连通集的定义，利用反证法可证明必要性，取，可说明充分性不成立，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，令， 故， 当或时，，当时，， 所以函数在区间，上严格单调递增，在区间上严格单调递减， ， （ⅰ）当时，，，使得， 所以时，，时，， 故函数在区间上严格单调递减，在区间上严格单调递增， 对，存在唯一的，使得， 此时， 显然任取，必有， 所以任意，均为连通集； （ⅱ）当时，，，使得， 所以时，，时，， 故函数在区间上严格单调递减，在区间上严格单调递增， 对，存在唯一的，使得， 当时，，为连通集， 当时，此时， 显然任取，必有， 所以任意，均为连通集； （ⅲ）当时，，， 此时存在唯一，使得， 当时，，当时，， 故函数在区间上严格单调递减，在区间上严格单调递增， 不妨取，使得， 此时存在，，， 使得， 此时， 此时不妨取，，显然，但不是集合的子集， 所以不是连通集； 综上：实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学高三期中数学试卷 一．填空题 1. 已知集合，，则______． 2. 设复数，其中为虚数单位，则的虚部为________ 3. 若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______． 4. 对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 5. 若的展开式中各项系数之和为64，则________． 6. 已知，则的最小值为________. 7. 已知为等比数列前项和，若，则______. 8. 若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为__________. 9. 已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为________． 10. 已知，（，），记函数的最小正周期为，若，且的一个零点为，则实数的最小值为________ 11. 已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为______. 12. 设函数的定义域为，若对任意的，都有，则称为轴对称函数，其中直线为函数的对称轴．已知为轴对称函数，且，其中，，，则有序数对的个数为______ 二．选择题 13. 设，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（       ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 15. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 16. 已知中，角，，所对应的边分别为，，，的面积记为（为正整数）．若，，，且，其中，则（ ） A. 为严格减数列 B. 为严格增数列 C. 为严格增数列，为严格减数列 D. 为严格减数列，为严格增数列 三．解答题 17. 自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） （3）公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 19. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的最大值. （2）若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）证明：当的斜率存在且时，的值为定值； （3）求四边形的面积的最小值． 21. 对于函数，，定义实数集，对于至少有两个元素的实数集合，若任取，都有，称为连通集，特别地，定义为连通集，单元素集为连通集． （1）已知，求证：对任意，均为连通集； （2）已知，若对任意，均为连通集，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，且导函数存在．求证：“对任意，为连通集”是“为严格增函数”的必要不充分条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $