精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

上海中学2025学年第一学期期中考试 数学试卷 高三______班 学号______ 姓名______ 成绩______ 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，则______ 2. 已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 3. 分式不等式的解集为______ 4. 已知，为正实数，且，则的最小值为______． 5. 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 6. 设集合，集合，若集合A，B满足，，且集合中元素是整数，则的值是__________ 7. 方程有两根，，且，则的取值范围为______. 8. 设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有______个零点. 9. 对任意的实数，的最小值为______ 10. 已知，，的最小值为______ 11. 若函数（为常数，且），已知是上的严格增函数，则的最大值为______ 12. 已知实数，，满足，，则的最小值为______ 二、选择题（共18分） 13. 已知集合，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 记表示，，，三个数中的最小数，若方程有解，其中，，均为正数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 三.解答题（共78分） 17. 如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形. （1）若，求. （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 18. 某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. （1）已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. （2）根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 19. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的最大值. （2）若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 21. 已知函数. （1）求出函数所有的极值点. （2）设函数的图象上存在两点，满足以为直径的圆过原点，且该圆的圆心在轴上. ①证明：，两点在直线的两侧. ②求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2025学年第一学期期中考试 数学试卷 高三______班 学号______ 姓名______ 成绩______ 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 2. 已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 3. 分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【解析】 【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集. 【详解】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 4. 已知，为正实数，且，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解. 【详解】，为正实数，且， ， 当且仅当，即时，等号成立，又， 故时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4 5. 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6. 设集合，集合，若集合A，B满足，，且集合中元素是整数，则的值是__________ 【答案】3或-3. 【解析】 【分析】首先得，结合题意得或，分两种情况求出即可. 【详解】若集合A，B满足，，则，即， 所以方程和方程的二次项系数、一次项系数和常数项对应成比例， 所以，所以， 而方程的判别式，两根之积为， 若集合中元素是整数，则或， 若，则，此时， 若，则，此时. 故答案为：3或-3. 7. 方程有两根，，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，易得，依题意可得，解之即得. 【详解】令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 故答案为：. 8. 设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有______个零点. 【答案】 【解析】 【分析】由已知求出函数的周期为，结合，可得，再，求出的范围，即可得解. 【详解】∵是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， 又是关于的奇函数， ∴关于对称，∴关于对称； ∴， ∴，∴， 即的周期为. 又易知，∴， ∴，， 即，的一个零点恰为． ∵，令，解得， 又，所以， 所以在区间至少有个零点． 故答案为： 9. 对任意的实数，的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即可，另外要特别注意等号成立的条件. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，且，即且时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，则， 当且仅当，且，即且时等号成立， 所以， 当且仅当且时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 10. 已知，，的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 11. 若函数（为常数，且），已知是上的严格增函数，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】有题意可得导数恒成立，令，求导数并通过导数求得函数的单调区间，即可得到，令得到关系，从而得到不等式，再令，通过导数求得函数的单调区间及最大值，即的最大值. 【详解】，则， 由题意可知恒成立. 令，则， ∵，令，， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， ∴函数， ∴ ∴， ∴， 令，则， ∴时，，单调递增，时，，单调递减， ∴. ∴的最大值为. 故答案为：. 12. 已知实数，，满足，，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用换元方法整理化简为二次函数问题，结合基本不等式和二次函数的性质以即指数对数函数得性质和运算求解. 【详解】设，则， 由得 ， 其中. ，，当时取等号. ，，， 设， 其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递增， 当时， 因为,所以，所以， 当且仅当，即取到最小值. 故答案为：. 二、选择题（共18分） 13. 已知集合，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式得到集合，从而得到.讨论集合是否为空集，得到不等式（组）解得的取值范围. 【详解】令，则，所以或， 即或，可得， 而，分如下情况讨论， ①，即，则， ②，则，则， ∴，即. 故选：A. 14. 在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可表示出，，根据大小关系可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 15. 已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、、结合导数求解即可. 【详解】当时，，满足不等式恒成立； 当时，易得在单调递减，值域为， 令，， 则， 当时，，单调递增，值域为，满足题意； 当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的值域为， 当，即时，， 而在中， 此时存在，不符合题意； 所以，此时要使关于的不等式恒成立， 只需，即，可得． 综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为． 故选：A. 16. 记表示，，，三个数中的最小数，若方程有解，其中，，均为正数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程有解得到，不妨设，从而得到，然后由作差法确定的值，然后由不等式的基本性质求得最大值. 【详解】，则， 若，则，故 ∴， ， ∴，当且仅当时取等号. 同理若，则，故 ∴， ， ∴，当且仅当时取等号. 同理若且，∵，故. ∴， ， ∴， 当且仅当时取等号. 综上所述：的最大值为. 故选：B. 三.解答题（共78分） 17. 如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形. （1）若，求. （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，再根据正弦定理即可求得结果； （2）利用余弦定理求得，根据动点的位置得出自变量的取值范围，可求得. 【小问1详解】 由，，可知， 因此， 所以， 由正弦定理可得， 由可得. 【小问2详解】 如下图： 由题可知，又， 在中，由余弦定理可知， 因此可得，又在线段（不含端点）上，所以， 所以. 18. 某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. （1）已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数. （2）根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：，. 【答案】（1）8.25 （2） 列联表如下： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 【解析】 【分析】（1）先根据题意计算出和的值，再依据百分位数的计算方法求解即可； （2）先根据题意计算出服务改进前好评订单的数量，进而完成列联表，进行独立性检验时，提出零假设，计算，根据与临界值大小关系即可判断结论. 【小问1详解】 根据题意，这100个好评订单评分的极差为2， 因此，解得， 又有，解得， 因为， 所以这100个好评订单的第40百分位数为服务评分按从小到大的顺序排列后的第40个订单和第41个订单服务评分的平均数，即. 故这100个好评订单的第40百分位数为8.25. 【小问2详解】 根据题意，服务改进前好评订单的数量为，由此可得列联表如下： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 零假设：订单获得好评与服务改进无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.05. 19. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的最大值. （2）若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数，得，则，然后由配方法得到的最大值； （2）由函数为偶函数，得，则，令，令并由基本不等式求得的范围，由题意得，分离常数后令，由函数单调性得到的最大值，即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 当函数为奇函数， 则，∵，则， ∴ 故的最大值为9. 【小问2详解】 函数为偶函数， 则，∵不恒为0，∴， 令， ， 令中， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴，， 即，令函数， ∵在上单调递减，在上单调递减， ∴在上单调递减， ∴， 即. 20. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式即可； （2）①将不等式恒成立转化为，利用换元法得到的最小值即可得到，然后分，，三种情况讨论即可； ②将，都存在以为三角形的三条边长转化为为所包含的任意子区间，然后通过求最值得到，最后根据定义计算即可. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数， ，且， 当时， ， 综上，的解析式为：. 【小问2详解】 ①， 令，， 在上单调递增， ∴当时，， ∴不等式恒成立，转化为：， i当时，恒成立， ii当时，恒成立， iii当时，，则， 由i，ii，iii知： 不等式恒成立的m的取值范围是. ②不妨设 依题意中的“，都存在以为三角形的三条边长”， 等价于， 等价于所包含的任意子区间． 由（2）知，，令，则． 又，当时，有， ∴所有符合条件的区间D上，满足， 即为：，等价于，等价于， 综上，，有. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： ①恒成立； ②恒成立. 21. 已知函数. （1）求出函数所有的极值点. （2）设函数的图象上存在两点，满足以为直径的圆过原点，且该圆的圆心在轴上. ①证明：，两点在直线的两侧. ②求a的取值范围. 【答案】（1）极小值点为0和1，极大值点为 （2） ①设， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 又以为直径的圆的圆心在轴上，所以 显然两点不能同在直线的右侧，且均不能为1， 假设两点同在直线的左侧，即， 不妨设，易知， 因为，所以， 所以，故， 则， 这与矛盾，所以假设不成立， 故两点在直线的两侧. ②. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求的单调性，即可得出极值点； （2）①设，根据题意可得，，据此分析两点不能同在的左或右两侧，从而得证； ②由①可得，据此分离参数后知方程在上有解，利用导数，求出方程右边的取值范围即可得解. 【小问1详解】 ，定义域为R， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值点为0和1，极大值点为； 【小问2详解】 ①略 ②由①可知，两点在直线的两侧， 不妨设，，则，， 由得 则关于的方程在上有解. 令，则， 所以在上单调递增，所以 则解得 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $