精品解析：内蒙古鄂伦春自治旗大杨树第一中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

2026—2027学年第一学期九年级试题 数　学 （人教版　测试范围：第二十五章 一元二次方程 · 第二十六章 二次函数 · 第二十七章 反比例函数第二十八章旋转） 全卷共 18小题，满分 100 分，建议用时 90分钟 一、选择题（本题共 8小题，每小题 3 分，共 24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，进行解答，即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：当时，为一元一次方程，故A不符合题意． ∵， ∴，是一元一次方程，故B不符合题意． 分母含有未知数，不是整式方程，故C不符合题意． ∵， ∴， 整理得，是一元二次方程，故D符合题意． 3. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当2为底，5为腰时，②当5为底，2为腰时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可． 【详解】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0 解得：， 当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12； 当5为底，2为腰时，则无法构成三角形， 故选：A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】移项后提取公因式因式分解求解即可． 【详解】解：移项，得． 提取公因式，得． 整理，得． ∴或． 解得，． 5. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题，熟练掌握移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴， 故选：B． 6. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A； B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能； C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能； D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系． 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵k>0， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵-2<-1<3， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 8. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】 ①根据开口方向、对称轴位置、与轴交点，判断、、的符号；②结合对称轴的范围，推导的符号；③根据时的函数值分析；④求出和时的函数值，再由平方差公式求解即可． 【详解】解：由图象可知开口向下，则， 对称轴，可得， 图象与轴的交点在正半轴，则， ，故①错误； 由图象可知， ， ， ， ，故②错误； 时，对应的函数值小于0，即，故③错误； ∵时，，时，， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的只有个． 二、填空题（本题共 4小题，每题3分，共 12分） 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程的定义（二次项系数不为0）和有两个不相等实数根的条件（根的判别式大于0），联立两个条件求解的取值范围 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 展开计算得， 整理得， 解得． 联立两个条件，可得的取值范围为且． 10. 如图，点是反比例函数的图象在第二象限一支上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值是 ____________　　 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义作答即可． 【详解】解：由题意设， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． 11. 某校“图书漂流站”2024年的图书借阅量是1200册，2026年增加到1728册．若这两年的年平均增长率相同，设为，则可列方程____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知2024年的初始借阅量、2026年的最终借阅量，且两年的年平均增长率固定，需根据连续增长的数量关系建立等量方程． 【详解】解：∵2024年图书借阅量为1200册，设年平均增长率为． ∴2025年的图书借阅量为册． ∵2026年的借阅量在2025年的基础上仍以相同增长率增长． ∴2026年的图书借阅量为册． 又∵2026年实际图书借阅量为1728册． ∴可列方程． 12. 如图是二次函数 （）图象的一部分，它与 轴的一个交点是 ，对称轴是直线 ．不等式 的解集是 ________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的另一个交点，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数 （）图象的一部分，它与 轴的一个交点是 ，对称轴是直线 ， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：不等式的解集为 或 ． 三、解答题（本题共 6小题，共 64 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 解下列一元二次方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 两边加 1 得 ， 即 ， 所以 ， 解得：，． 【小问2详解】 解： 这里，，，， ， 所以 ， 解得：，． 14. 在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形；并写出各点的坐标； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求： ，， （2） 解：如图，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键． （1）分别找出关于原点对称的点，再顺次连接即可； （2）先由，确定平移方式，再作图即可； （3）连接，交点即为旋转中心，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，交点即为旋转中心，可得旋转中心坐标为． 15. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，一次函数的图象与轴交于点，为坐标原点． （1）求、的值及点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． （3）在轴上是否存在一点，使得的值最小？若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；， （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把点坐标分别代入反比例、一次函数解析式求出$k，b$，联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标； （2）结合这个限制条件，观察图象，反比例图象在一次函数上方对应的自变量范围即为不等式解集； （3）利用轴对称求最短路径，作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为，求出直线解析式后求它与轴交点坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得． 将代入，得，解得． 反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 联立方程组： 可得，整理得， 解得，． 当时，， ． 【小问2详解】 解：，由图象可得，反比例函数图象在一次函数图象上方时，或． 不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：存在． 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小． 设直线的解析式为，把，代入： 解得． 直线解析式：． 当时，， ． 16. 某文创店购进一批国风笔记本，每本进价12元．试销发现：当每本售价为20元时，每天可售出60本；每本售价每上涨1元，每天的销量就减少5本．设每本售价上涨元（为非负整数），每天销售这种笔记本的利润为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）每本售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该店希望每天获得495元的利润，且尽可能让利于顾客，那么每本售价应定为多少元？ 【答案】（1），且为整数 （2）每本售价定为22元时每天利润最大，最大利润是500元 （3）每本售价应定为21元 【解析】 【分析】（1）先表示单件利润和日销售量，根据总利润=单件利润×销售量列出二次函数，结合销量大于等于0求出自变量取值范围； （2）把二次函数化成顶点式，根据二次函数开口方向，结合自变量取值范围求利润最大值以及对应的售价； （3）把代入函数解析式解方程，根据“尽可能让利顾客”选择更小的上涨量，算出对应售价． 【小问1详解】 解：每本的利润为元， 每天的销售量为本． 由且，为非负整数， 解得且为整数． ，且为整数． 【小问2详解】 解：， ，抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为500． 此时售价：（元）． 答：每本售价定为22元时，每天的利润最大，最大利润是500元． 【小问3详解】 解：令， 整理得 ， 解得 ，． 要尽可能让利于顾客，售价要尽量低，则取较小值， 此时售价：（元）． 答：每本售价应定为21元． 17. 如图，正方形内有一点P，且，，．将绕点B顺时针旋转得到． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，得到、旋转角为，判定是等腰直角三角形，借助勾股定理求的长度． （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，再结合等腰直角三角形底角，求出，最后利用旋转对应角相等得到． 【小问1详解】 解：连接， 由旋转的性质可知： ，，． 是等腰直角三角形． 在中， 的长为． 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ． ∴是直角三角形，． 是等腰直角三角形， ． ． 由旋转性质，， ． 18. 如图，抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点． （1）写出、、三点的坐标； （2）当时，求函数值的取值范围． （3）求线段长度的最大值及此时点的坐标； （4）在抛物线上是否存在点(不与点重合)，使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，． （2）． （3）最大值为，． （4）存在，点坐标为、或． 【解析】 【分析】（1）令求抛物线与轴的交点，令求与轴的交点，再由点在点左侧定出对应关系； （2）把解析式配方，判断顶点横坐标是否在给定的范围内，再比较顶点与两个端点的函数值； （3）先求直线的解析式，用同一个字母表示、的横坐标，把写成纵坐标之差并配方求最大值； （4）以为底把面积化成点纵坐标的绝对值，分与两支代入抛物线求解，并舍去与点重合的解． 【小问1详解】 解：令，得． ∴． ∴． ∴或． ∵点在点的左侧． ∴． 令，得． ∴． 【小问2详解】 解：∵． ∴抛物线的顶点为，开口向下． ∵在的范围内． ∴当时取得最大值． ∵时时． ∴当时取得最小值． ∴． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为． 将、代入，得且． ∴，直线的解析式为． 设点的横坐标为)，则． 由题设轴，点是与直线的交点． ∴． ∴． ∵． ∴当时取得最大值，此时． 【小问4详解】 解：∵． ∴． 设点的坐标为． ∵在轴上． ∴． 由得． ∴，即或． 当时，，即． ∴或，其中对应点，舍去，得． 当时，，即． ∴或． ∴点的坐标为、或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级试题 数　学 （人教版　测试范围：第二十五章 一元二次方程 · 第二十六章 二次函数 · 第二十七章 反比例函数第二十八章旋转） 全卷共 18小题，满分 100 分，建议用时 90分钟 一、选择题（本题共 8小题，每小题 3 分，共 24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 4. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共 4小题，每题3分，共 12分） 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________ 10. 如图，点是反比例函数的图象在第二象限一支上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值是 ____________　　 11. 某校“图书漂流站”2024年的图书借阅量是1200册，2026年增加到1728册．若这两年的年平均增长率相同，设为，则可列方程____________． 12. 如图是二次函数 （）图象的一部分，它与 轴的一个交点是 ，对称轴是直线 ．不等式 的解集是 ________． 三、解答题（本题共 6小题，共 64 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 解下列一元二次方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法）． 14. 在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形；并写出各点的坐标； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 15. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，一次函数的图象与轴交于点，为坐标原点． （1）求、的值及点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． （3）在轴上是否存在一点，使得的值最小？若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 16. 某文创店购进一批国风笔记本，每本进价12元．试销发现：当每本售价为20元时，每天可售出60本；每本售价每上涨1元，每天的销量就减少5本．设每本售价上涨元（为非负整数），每天销售这种笔记本的利润为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）每本售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该店希望每天获得495元的利润，且尽可能让利于顾客，那么每本售价应定为多少元？ 17. 如图，正方形内有一点P，且，，．将绕点B顺时针旋转得到． （1）求的长； （2）求的度数． 18. 如图，抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点． （1）写出、、三点的坐标； （2）当时，求函数值的取值范围． （3）求线段长度的最大值及此时点的坐标； （4）在抛物线上是否存在点(不与点重合)，使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $