精品解析：内蒙古乌海三中、八中等校联考2026-2027学年九年级上学期期中数学

2026－2027学年第一学期期中学业质量测试 九年级数学试题 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是( ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴是 D. 二次函数的最小值为6 5. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A. B. C. D. 6. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）． 9. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是______． 10. 如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______． 11. 如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为________． 12. 如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则________． 三、解答题：本题共6小题，共64分． 13. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3） 14. 已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点，都在抛物线上，比较，的大小． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集________． 16. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 17. 草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育馆有一个抛物线型顶棚，横截面如图所示，顶棚底部水平跨度，顶棚最高点距离地面（即）． 素材二 顶棚两侧各安装一盏舞台射灯，，两盏灯垂直向下投影到地面得到投影点，（，在抛物线上且关于对称，，在线段上），测得矩形的周长为．场馆开展设备检修，在，位置搭建高的检修平台．安全规定：检修平台最高点距离舞台射灯至少才满足安全标准． 问题解决 （1）任务一：确定顶棚曲线解析式 分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． （2）任务二：探究方案合理性 请问该检修平台的搭建是否符合安全要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出平台至少应调低多少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期期中学业质量测试 九年级数学试题 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不符合题意； C、未说明，不一定是二次方程，不符合题意； D、含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况． 【详解】∵△＝(﹣2)2﹣4×4×(﹣1)＝20＞0， ∴一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根. 故选B. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握运算法则 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是( ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴是 D. 二次函数的最小值为6 【答案】C 【解析】 【详解】解：二次函数中，， ∴抛物线开口向上，最小值为，A、D错误． 抛物线对称轴为，C正确． ∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大． ∵， ∴当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 故选：C． 5. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 6. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的图像与性质，根据的正负判断的符号，进而得到正确结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∵点，均在反比例函数图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，， ∴，的符号无法确定． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 8. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个． 故选：A． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）． 9. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键． 根据题意将根代入方程，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】2π 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π. 故答案为2π. 11. 如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的二次函数的应用；根据题意表示出长方形的长，由长方形面积即可得到函数式． 【详解】解：由题意知，， ∴； 故答案为：． 12. 如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，过点作轴交于，过点作轴交于，证明则，根据的几何意义可得，进而结合已知条件，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴交于，过点作轴交于 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵点，分别在函数与函数的图象上， ∴， ∴ ∵的面积为，则 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共64分． 13. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴，． 14. 已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点，都在抛物线上，比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知顶点坐标，设顶点式，代入点求出的值． （2）方法一：将和分别代入解析式求出、的值再比较；方法二：利用抛物线的对称性和开口方向，比较两点到对称轴的距离． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：方法一： 点在抛物线上， ， 点在抛物线上， ， ， ． 方法二： ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 又， ． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出． （2）联立两函数解析式求出点的坐标，再求直线与轴交点，利用计算面积． （3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：点在的图象上， ， ， 点在的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：联立， 得， 整理得， 解得，， 当时，， ， 令，得，解得， 设直线与轴交于点，则，， ． 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 不等式的解集为或． 16. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 17. 草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值． 【答案】（1） （2）当时，W最大，最大值为5200元． 【解析】 【分析】此题考查的是一次函数的应用和二次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数的解析式和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据“总利润每千克利润千克数”即可求出W与x的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由已知得： ， ， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大，最大值为元． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育馆有一个抛物线型顶棚，横截面如图所示，顶棚底部水平跨度，顶棚最高点距离地面（即）． 素材二 顶棚两侧各安装一盏舞台射灯，，两盏灯垂直向下投影到地面得到投影点，（，在抛物线上且关于对称，，在线段上），测得矩形的周长为．场馆开展设备检修，在，位置搭建高的检修平台．安全规定：检修平台最高点距离舞台射灯至少才满足安全标准． 问题解决 （1）任务一：确定顶棚曲线解析式 分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． （2）任务二：探究方案合理性 请问该检修平台的搭建是否符合安全要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出平台至少应调低多少米． 【答案】（1）． （2）不符合，平台至少调低米． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性与题给的跨度、最高点高度定出顶点和两端点的坐标，设顶点式后用待定系数法代入端点求出系数； （2）设射灯的横坐标，把矩形的长与宽都用它表示，由周长列一元二次方程并按投影点所在线段取舍，再把射灯与平台的高度差同安全标准比较求出调低量． 【小问1详解】 解：取所在直线为轴、所在直线为轴，两轴交点为原点，得平面直角坐标系． ∵点为顶棚最高点，为抛物线的对称轴，，． ∴点是的中点，，，． ∵抛物线的顶点为，对称轴为轴． ∴设抛物线的解析式为（）． 把代入，得． ∴． ∴所求解析式为． 【小问2详解】 解：设点的横坐标为（），则的横坐标为． ∵、在抛物线上． ∴． ∵四边形是矩形． ∴，． ∵矩形的周长为米． ∴． 整理得． 解得或． ∵点、在线段上，． ∴不合题意，舍去，． ∴． ∵平台最高处为，、分别在、的正下方． ∴平台最高点到射灯的最短距离为米． ∵． ∴该检修平台的搭建不符合安全要求． 设平台调低米，则． ∴． ∴平台至少应调低米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $