精品解析：贵州铜仁市万山区2026-2027学年八年级上学期数学期中试卷

2026—2027学年度第一学期阶段性学情诊断试卷 八年级 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，卷Ⅰ必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；卷Ⅱ必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 第Ⅰ卷 一、单项选择题．（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式xyx的公因式是（ ） A. x B. x1 C. y D. xy 4. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 每到春日，铜仁梵净山的野生山樱花粉随风飘散．据测定，山樱花粉的直径约为，0.0000105用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 8. 若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 缩小2倍 B. 不变 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 9. 如果，，，那么a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则式子的值是（ ） A. B. C. D. 11. 八官溪智慧马拉松赛道是铜仁热门休闲地．小宇沿八官溪赛道跑步，路程为3千米．如果骑共享自行车走完这段路，可比跑步少用15分钟，已知骑车速度是跑步速度的2.5倍．设小宇跑步的速度为x千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 化简二次根式的结果为____________． 14. 若分式的值为0，则x的值为_______． 15. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 16. 已知（且），，，…，，则的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分，第21、22题10分，第23、24小题每小题12分，第25小题14分，共98分） 17. 计算： （1） （2） 18. 因式分解． （1） （2） 19. 已知关于x的分式方程 （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若该分式方程无解，求a的值． 20. 化简，下表是小华和小迪两名同学的部分运算过程： 小华同学： 解：原式 小迪同学： 解：原式 （1）小华同学解法的依据是________，小迪同学解法的依据是________；（填序号） ①乘法分配律 ②乘法交换律 ③等式的基本性质 ④分式的基本性质 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程，并从中选择一个适当的整数代入求值． 21. 计算下面各题： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 22. 梵净山是铜仁标志性旅游名片，研学团队来到梵净山采风，同学们使用照相机记录蘑菇石、高山杜鹃等美景．照相机成像遵循光学原理，即，其中代表相机镜头焦距，代表景物到镜头的距离，代表胶片（像）到镜头的距离．相机焦距固定时，需要根据调节，才能拍出清晰照片． （1）使用焦距的相机，拍摄距离镜头的梵净山蘑菇石，成像清晰，则拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ （2）拍摄高山杜鹃时，若物距满足，求值． 23. 为庆祝中华人民共和国成立77周年，铜仁中南门古城举办国庆民俗展演，傩戏、镲锣等非遗节目尽显本土文化魅力．如左图，是活动现场舞台，抽象为几何图形如右图所示，表演傩戏的舞台是矩形，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽． （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 24. 根据下列素材，探索完成任务： 铜仁抹茶历史悠久、品质独特，是铜仁特色农产品．小明计划去商店购买甲、乙两款铜仁抹茶礼盒，寄给外地朋友们品尝． 素材一：某商店在无促销活动时，乙款抹茶礼盒比甲款抹茶礼盒每盒贵20元，且用600元购买甲款抹茶礼盒的数量和用800元购买乙款抹茶礼盒的数量相同； 素材二：该商店恰逢“铜仁农产品推广月”搞线下促销活动：花费66元购买会员卡，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（小明此前未购买该商店会员卡）；线上该商店在电商平台也有促销：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： （1）任务一：该商店无促销活动时，甲款抹茶礼盒和乙款抹茶礼盒的单价各是多少？ （2）任务二：小明计划在促销期间购买甲、乙两款抹茶礼盒共10盒，则最多购买甲款抹茶礼盒多少盒时，线下购买方式更合算？ 25. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 阅读： 材料1：分式中，分子次数分母次数为假分式，例如：，这样的分式就是假分式；分子次数分母次数为真分式，例如：，这样的分式就是真分式． 材料2：分离常数法：类比假分数化为带分数，将假分式拆成整式与真分式的和（差），以此简化分式运算，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是________分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： __________． （2）若分式的值为非负整数，则整数的值为____________． （3）若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期阶段性学情诊断试卷 八年级 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，卷Ⅰ必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；卷Ⅱ必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 第Ⅰ卷 一、单项选择题．（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的识别，涉及分式定义，根据分式的定义对各选项进行分析即可得到答案．熟记分式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是整式，不符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 多项式xyx的公因式是（ ） A. x B. x1 C. y D. xy 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式是各项都含有的公共的因式即可解得． 【详解】 公因式是：x 故选：A 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是熟悉公因式的概念． 4. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：根据分式的基本性质可得：从左到右的变形正确的是， 故选：D． 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A：，故该选项不正确，不符合题意； B：，故该选项正确，符合题意； C：，故该选项不正确，不符合题意； D：，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 7. 每到春日，铜仁梵净山的野生山樱花粉随风飘散．据测定，山樱花粉的直径约为，0.0000105用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 8. 若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 缩小2倍 B. 不变 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：把分式中的x、y都扩大2倍后为， ∴把分式中的x、y都扩大2倍，分式的值不变， 故选：B． 9. 如果，，，那么a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，，． ∵， ∴． 10. 已知，则式子的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知方程变形为二次项用一次式表示的形式，代入分式降次后化简求值． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 11. 八官溪智慧马拉松赛道是铜仁热门休闲地．小宇沿八官溪赛道跑步，路程为3千米．如果骑共享自行车走完这段路，可比跑步少用15分钟，已知骑车速度是跑步速度的2.5倍．设小宇跑步的速度为x千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一时间单位，根据跑步与骑车的时间差列方程． 【详解】解：15分钟=小时， 跑步速度为千米/时，骑车速度为千米/时， 跑步用时为小时，骑车用时为小时， ∵骑车比跑步少用15分钟， ∴． 12. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程得到，根据分式方程的解为正整数，求出a的可能取值；再求出不等式组的解集，根据不等式组只有4个整数解确定a的取值范围，进而确定a的取值即可得到答案． 【详解】解：解分式方程， 去分母得， 整理得， 当时，方程无解， 故，解得， ∵方程的解为正整数， ∴是正整数， ∴或或或 ∴或或或， 又∵原方程不能有增根， ∴， ∴且， ∴且， ∴； 解不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为0，1，2，3， ∴， 解得， 满足条件的整数为，和为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 化简二次根式的结果为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 14. 若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，分式值为0需要满足分子为0且分母不为0，据此列出关系式求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ∴，， 解得：． 15. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴得出的取值范围，判断与的符号，然后利用二次根式的性质及绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ ． 16. 已知（且），，，…，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查式子规律，根据已知式子，找准规律是解决问题的关键． 根据前面几个式子的化简结果，得到规律是计算结果是以、、为循环节进行循环，由，即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， 计算结果是以、、为循环节进行循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分，第21、22题10分，第23、24小题每小题12分，第25小题14分，共98分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、化简绝对值与算术平方根，再合并计算； （2）利用幂的运算法则化简乘方、负整数指数幂，再做同底数幂除法，最后改写成分式形式． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 因式分解． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知关于x的分式方程 （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若该分式方程无解，求a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入分式方程，然后解关于a的方程即可； （2）先将原分式方程化简为，然后分两种情况讨论：，，得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵分式方程的根是， ， 解得； 【小问2详解】 解：去分母，并化简得， 当，即时，方程无解，则分式方程也无解， 当，即时， ∵分式方程无解， ， 或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 解得， 综上，当或时，分式方程无解． 20. 化简，下表是小华和小迪两名同学的部分运算过程： 小华同学： 解：原式 小迪同学： 解：原式 （1）小华同学解法的依据是________，小迪同学解法的依据是________；（填序号） ①乘法分配律 ②乘法交换律 ③等式的基本性质 ④分式的基本性质 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程，并从中选择一个适当的整数代入求值． 【答案】（1）④；① （2）选择小华同学的解法． 完整的解答过程如下： 原式 ． 由题意可得，，0，1， 所以当时，原式（或当时，原式）． 选择小迪同学的解法． 完整的解答过程如下： 原式． 由题意可得，，0，1， 所以当时，原式（或当时，原式）． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 计算下面各题： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【小问1详解】 解：∵，， ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ∴ ∴， 解得. 22. 梵净山是铜仁标志性旅游名片，研学团队来到梵净山采风，同学们使用照相机记录蘑菇石、高山杜鹃等美景．照相机成像遵循光学原理，即，其中代表相机镜头焦距，代表景物到镜头的距离，代表胶片（像）到镜头的距离．相机焦距固定时，需要根据调节，才能拍出清晰照片． （1）使用焦距的相机，拍摄距离镜头的梵净山蘑菇石，成像清晰，则拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ （2）拍摄高山杜鹃时，若物距满足，求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把已知的焦距、物距代入成像公式，通过分式运算求出像距； （2）将代入公式，化简变形，求出的值． 【小问1详解】 解：已知， 将，代入， 可得， 即， 解得， 故拍摄时胶片到镜头的距离是． 【小问2详解】 解：将代入， 可得，即， 则， 可得， 故值为． 23. 为庆祝中华人民共和国成立77周年，铜仁中南门古城举办国庆民俗展演，傩戏、镲锣等非遗节目尽显本土文化魅力．如左图，是活动现场舞台，抽象为几何图形如右图所示，表演傩戏的舞台是矩形，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽． （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】（1）米 （2）140平方米 【解析】 【分析】（1）利用矩形宽等于面积除以长，代入面积、长进行二次根式除法运算，化简后得到舞台的宽为米． （2）在原舞台长、宽的基础上，长宽各增加倍的，算出新矩形的长和宽，再相乘并化简二次根式，求出装饰后矩形舞台的总面积为 140 平方米． 【小问1详解】 解：根据矩形面积公式，矩形的宽=面积÷长 舞台的宽 （米） 答：这个舞台的宽为米． 【小问2详解】 解：装饰后大矩形的长和宽分别为： 长 （米） 宽 （米） 总面积 （平方米） 答：装饰后矩形舞台的总面积为140平方米． 24. 根据下列素材，探索完成任务： 铜仁抹茶历史悠久、品质独特，是铜仁特色农产品．小明计划去商店购买甲、乙两款铜仁抹茶礼盒，寄给外地朋友们品尝． 素材一：某商店在无促销活动时，乙款抹茶礼盒比甲款抹茶礼盒每盒贵20元，且用600元购买甲款抹茶礼盒的数量和用800元购买乙款抹茶礼盒的数量相同； 素材二：该商店恰逢“铜仁农产品推广月”搞线下促销活动：花费66元购买会员卡，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（小明此前未购买该商店会员卡）；线上该商店在电商平台也有促销：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： （1）任务一：该商店无促销活动时，甲款抹茶礼盒和乙款抹茶礼盒的单价各是多少？ （2）任务二：小明计划在促销期间购买甲、乙两款抹茶礼盒共10盒，则最多购买甲款抹茶礼盒多少盒时，线下购买方式更合算？ 【答案】（1）甲款单价60元，乙款单价80元 （2）最多购买甲款抹茶礼盒6盒时，线下购买方式更合算 【解析】 【分析】（1）设无促销时甲款礼盒单价为元，根据“乙款单价比甲款贵20元”表示出乙款单价，再利用“600元买甲的数量和800元买乙的数量相同”的等量关系列分式方程，求解并检验后得到两款礼盒的单价． （2）设购买甲款礼盒的数量为盒，用含的式子分别表示出线下购卡打折的总花费、线上九折的总花费，根据“线下购买更合算”的不等关系列一元一次不等式，结合正整数的实际限制，求出甲款礼盒的最大购买数量． 【小问1详解】 解：设甲款抹茶礼盒单价为元，则乙款为元． 由题可知 解得， 经检验，，是原分式方程的解，且符合题意 乙：（元） 答：所以甲款单价60元，乙款单价80元． 【小问2详解】 解：设购买甲款盒，则乙款盒． 由题可知 线下： 线上：九折： 线下更合算： 则 解得 因为取正整数，所以 最多购买甲款6盒． 答：最多购买甲款抹茶礼盒6盒时，线下购买方式更合算． 25. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 阅读： 材料1：分式中，分子次数分母次数为假分式，例如：，这样的分式就是假分式；分子次数分母次数为真分式，例如：，这样的分式就是真分式． 材料2：分离常数法：类比假分数化为带分数，将假分式拆成整式与真分式的和（差），以此简化分式运算，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是________分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： __________． （2）若分式的值为非负整数，则整数的值为____________． （3）若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】（1）①真，② （2） （3）27 【解析】 【小问1详解】 解：①由题意可知，分式是真分式； ②． 【小问2详解】 解：， ∵分式的值为非负整数， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：， 又， ，， ， ，， ； ， ； 的最小值为27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $