精品解析：贵州省铜仁市万山区2025-2026学年上学期八年级期中数学试题

贵州省铜仁市万山区2025-2026学年上学期八年级期中数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2.答题时，卷Ⅰ必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；卷Ⅱ必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3.本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4.考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，共36分） 1. 在中，分式的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的识别，关键是分母必须含有字母，分母为常数的表达式不是分式．根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：，，的分母都含有字母，是分式；，，的分母不含字母，不是分式； ∴ 分式有、、，共3个． 故选：B． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据把一个多项式分解为几个整式的乘积的形式的过程为因式分解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； B、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； C、属于因式分解，故该选项符合题意； D、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需分母 ，解出的取值范围即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母 ， ∴ ， 故选：A． 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 5. 下列等式从左到右成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 6. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：0.0000033用科学记数法表示为． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，再把代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 8. 若最简二次根式与可以合并，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知若最简二次根式与是同类二次根式，即被开方数相同，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵与都是最简二次根式，且可以合并， ∴与是最简的同类二次根式， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 9. 若，其中为整数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先计算二次根式的减法，然后进行无理数的估算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 10. 货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：C． 11. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. B. a C. D. b 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴得，进而判断出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故选：C． 12. 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据材料方法进行分组分解，最后根据多个因数之积为0，得出边长关系即可． 【详解】解：由题意： ∵， ∴， ∵a、b、c是△ABC的三边， ∴， ∴，即：， ∴△ABC的形状是等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解的实际应用，掌握材料介绍的因式分解方法，并且理解多个因数乘积为0时的情况是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题4分，共16分） 13. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 14. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 【答案】3x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】3x3﹣12x =3x（x2﹣4） =3x（x+2）（x﹣2）， 故答案为3x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握处理增根问题的步骤：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，把代入整式方程计算求出m的值即可． 【详解】解： ， 由分式方程有增根，得到，即， 将，代入上式得，． 故答案为：． 16. 一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为___________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据“美满数”的定义列出关于、的方程组． 先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得，求出、的值，进而得出的值． 【详解】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为， 新数与原数是4752的一个美满分解，， 又， 将，代入， 可得：（均为正整数） 此方程有两组符合题意的解， 分别为：或 当时，， ， 当时，， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，共98分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内的，再计算除法即可； （2）原式先计算乘方，再进行加减运算 即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分式方程的解法计算即可； （2）根据分式方程的解法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； 【小问2详解】 解：， ， 解得：， 当时，， 是增根，分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 20. 如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔． （1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示） （2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积． 【答案】(1) 2（a2﹣b2）；(2)456. 【解析】 【分析】（1）影部分面积等于大长方形的面积减去中间两个正方形的面积； （2）把a＝15.7，b＝4.3带入（1）中的最终结果，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）； （2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）＝2（15.7+4.3）（15.7﹣4.3）＝456． 【点睛】本题主要考查了矩形面积的计算以及因式分解中的公式法，熟练矩形面积的计算以及因式分解的方法是解题关键． 21. 已知是的算术平方根，是的立方根，将关于的多项式分解因式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解二元一次方程组，分解因式，根据立方根和算术平方根的定义可得方程组，解方程组得到，再把代入所求式子中并利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 当时，． 22. 先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： （1）_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮， （2），2025 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解题即可； （2）根据二次根式的性质化简，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵当时，，由二次根式的性质可得： ，即小亮的计算是错误的， ∴小亮的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；； 【小问2详解】 解：原式, ∴原式 ． 23. 为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务． （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ （2）已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由． 【答案】（1）甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天 （2）单独租甲车的租金最少且不耽误工期，理由： 若甲乙两车合作需要（天）， 设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元， 根据题意，得， 解得， 租甲乙两车需要费用为：元； 单独租甲车的费用为：元； 单独租乙车的费用为：元； 综上可得，单独租甲车的租金最少且不耽误工期． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，理清题意，正确列出分式方程以及二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天，根据题意所述等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元，根据“两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元”列出二元一次方程组，解出甲、乙两车每天的租金，再结合（1）的结论，分别计算出三种方案各自所需的费用，然后比较即可． 【小问1详解】 解：设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意 ， 答：甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天； 【小问2详解】 略 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1） （2）最大值是5 （3）2＋，当时，分式运算的结果是整数 【解析】 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， 【小问3详解】 解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 25. 【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】 （1）若．理由：， ， ， ； （2）； （3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由： 甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）略 （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①略 ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省铜仁市万山区2025-2026学年上学期八年级期中数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2.答题时，卷Ⅰ必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；卷Ⅱ必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3.本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4.考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，共36分） 1. 在中，分式的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若最简二次根式与可以合并，则的值为（    ） A. B. C. D. 9. 若，其中为整数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A. B. C. D. 11. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. B. a C. D. b 12. 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题4分，共16分） 13. 若分式的值为0，则x的值是______． 14. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______． 16. 一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，共98分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔． （1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示） （2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积． 21. 已知是的算术平方根，是的立方根，将关于的多项式分解因式． 22. 先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： （1）_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； （2）先化简，再求值：，其中． 23. 为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务． （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ （2）已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由． 24. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 25. 【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $