精品解析：广东惠州市惠阳区中山中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026—2027学年度第一学期九年级数学期中考试卷 惠阳中山中学 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排除含两个未知数的选项，再排除未知数最高次数为1的选项，即可得到答案． 【详解】解： A选项中含两个未知数，不是一元二次方程． B选项中整理为，只含一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程． C、D选项中的方程整理后未知数最高次数均为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】D 【解析】 【分析】分别把各点代入反比例函数 求出y1、y2、y3的值，再比较出其大小即可．也可以画出函数的大致图像，根据函数的增减性来判断． 【详解】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数的图象上， ∴， ∵-2<3<6， ∴y3< y2< y1． 故选D． 3. 若方程的两个实数根为，，则，分别等于（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先找出一元二次方程中二次项系数，一次项系数及常数项，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：方程中，，，， 由根与系数的关系得 ，． 4. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0与根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上：的取值范围是且． 5. 二次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，结合顶点位置确定图象经过的象限． 【详解】解：二次函数的一般形式为（），二次项系数a的符号决定开口方向：当时，抛物线开口向下．本题中函数为，其中，因此抛物线开口向下． 对于形式的二次函数，对称轴为直线（即y轴），顶点坐标为，即原点． 抛物线开口向下，顶点在原点，因此当时，函数值： 当时，对应点横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限； 当时，对应点横坐标为负、纵坐标为负，位于第三象限． 因此该二次函数图象经过第三、四象限． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，对称轴 B. 开口向上，有最大值3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，有最小值3 【答案】C 【解析】 【详解】已知抛物线解析式为，， 则的开口向下，有最大值3， 故选项B、D错误． 的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，C正确． 7. 已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】对于反比例函数，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴该函数的图象必在第二、四象限． 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：当反比例函数图象在一三象限时，，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项A、B错误； C、当反比例函数图象在二四象限时， ，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D选项正确． 9. 如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 10. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（ ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用交点坐标求出的值确定解析式，再根据二次函数性质及坐标计算逐一判断四个结论． 【详解】解：把代入得， ， 解得， ． ①， ， ，故正确； ②令，得， 解得， ， ， 令，得， 解得， ， ， ，故②正确； ③令，得， ， ， 与互相垂直平分且， 四边形为正方形，故③正确； ④， ， 随的增大而减小，故④不正确． 综上所述，正确的结论有3个． 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解． 【详解】解：开平方得， 即． 12. 已知二次函数，当x______时，y随x的增大而增大． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的性质可得二次函数的开口向上，对称轴为直线（即轴），从而即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线（即轴）， ∴当时，y随x的增大而增大． 13. 二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出二次函数，当时x的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 或， ， 线段长为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点和点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为和， ∵不等式表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方， ∴观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 15. 如图，已知二次函数y=的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上方存在一点P，同时点P在对称轴上，若以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，点P的坐标为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 三、解答题一（每题7分，共3题，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 解：由， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴． 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求关于的函数解析式； （2）若点在这个图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接把点代入反比例函数即可得出结论； （2）把代入已求出的解析式即可求得n的值． 【小问1详解】 解：把代入中， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴． 18. 如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图象写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 四、解答题二（每题9分，共3题，共27分） 19. 琪琪在装裱店装了一幅周长为米的矩形油画，装裱费为每平方米元． （1）若该油画的装裱费为元，求该矩形油画的宽； （2）求该油画装裱费的最高值． 【答案】（1）该矩形油画的宽为米； （2）该油画装裱费的最高值为元． 【解析】 【分析】由装裱费求出矩形面积为平方米，设矩形油画的宽为米，则长为米，列出方程，然后解方程并结合实际意义取舍根得到宽； 设矩形油画的宽为米，面积为平方米，则长为米，所以，然后通过二次函数的性质求面积最大值，进而计算最高装裱费． 【小问1详解】 解：由题意得矩形油画的面积为（平方米）， ∵矩形周长为米， ∴长与宽的和为（米）， 设矩形油画的宽为米，则长为米， ∴， 整理得， 解得，， ∵宽需小于长，即， ∴， 答：该矩形油画的宽为米； 【小问2详解】 解：设矩形油画的宽为米，面积为平方米，则长为米， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为（平方米）， 此时最高装裱费为（元）， 答：该油画装裱费的最高值为元． 20. 国庆节期间，正是瑞丽水晶柚成熟之际，某商家购入一批柚子，柚子进价为每个元．经市场调研：当售价为每个元时，每天销售量为个，若售价每提高元，每天销售量就会减少个，请回答以下问题： （1）用函数解析式表示该柚子销售量（个）与售价（元）之间的函数关系，其中； （2）当售价定为多少时，商家每天获得利润最大？每天的最大利润是多少． 【答案】（1）（）． （2）当售价定为元时，商家每天获得利润最大，每天的最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每提高元，销量减少个，先求出售价相比元增加的金额，再用基础销量减去减少的销量，列出与的关系式，同时结合自变量取值范围完成函数解析式书写． （2）先根据单件利润等于售价减进价，总利润等于单件利润乘以销售量，列出利润关于售价的二次函数，再利用二次函数的性质，结合自变量取值范围求出利润最大值以及对应的售价． 【小问1详解】 解：， ∴（）， 【小问2详解】 解：设每天利润为元． ， ，抛物线开口向下，对称轴为，， 当时，， 答：当售价定为元时，商家每天获得利润最大，每天的最大利润是元． 21. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 【答案】每轮平均1人传播给6人 【解析】 【分析】根据两轮传播后总知晓人数为等量关系列一元二次方程，结合实际意义取正根． 【详解】解：设每轮平均1人传播给人， ∵初始有1人知晓，第一轮传播后知晓人数为，第二轮传播后知晓人数为， ∴可列方程 ， 解得，， ∵传播人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 答：每轮平均1人传播给6人． 五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点C的坐标； （3）将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）点落在反比例函数的图象上．理由如下： 把点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为， 而当时，， ∴平移后点能落在反比例函数的图象上 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据四边形为平行四边形，得到，再根据点的坐标，得到，从而可知，即可求解； （3）先求得点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为，再将点代入中，即可判定． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ， ∵点A，D，B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 略 23. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式． （2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2）存在，点坐标为． （3）存在，点的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． 【小问3详解】 解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级数学期中考试卷 惠阳中山中学 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 3. 若方程的两个实数根为，，则，分别等于（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 二次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，对称轴 B. 开口向上，有最大值3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，有最小值3 7. 已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 10. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（ ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 方程的根是___________． 12. 已知二次函数，当x______时，y随x的增大而增大． 13. 二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 15. 如图，已知二次函数y=的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上方存在一点P，同时点P在对称轴上，若以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，点P的坐标为_________． 三、解答题一（每题7分，共3题，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求关于的函数解析式； （2）若点在这个图象上，求的值． 18. 如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图象写出关于的不等式的解集． 四、解答题二（每题9分，共3题，共27分） 19. 琪琪在装裱店装了一幅周长为米的矩形油画，装裱费为每平方米元． （1）若该油画的装裱费为元，求该矩形油画的宽； （2）求该油画装裱费的最高值． 20. 国庆节期间，正是瑞丽水晶柚成熟之际，某商家购入一批柚子，柚子进价为每个元．经市场调研：当售价为每个元时，每天销售量为个，若售价每提高元，每天销售量就会减少个，请回答以下问题： （1）用函数解析式表示该柚子销售量（个）与售价（元）之间的函数关系，其中； （2）当售价定为多少时，商家每天获得利润最大？每天的最大利润是多少． 21. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点C的坐标； （3）将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由． 23. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式． （2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $